精品解析：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024-2025上学期~~期末考试~~高一（市郊联体） 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 若，则的化简结果是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】，，. 故选：C. 2. 若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 3. 某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（ ） A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 2万件 【答案】C 【解析】 【分析】用样本的合格率估计总体的合格率，再估算出合格产品件数． 【详解】由题意合格率为， 因此合格品件数约为（万件）， 故选：C． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指对数运算和对数函数的图象性质可得结果. 【详解】，所以． 故选：A. 5. “韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（ ） A. 至少有1名男生与全是男生； B. 至少有1名男生与全是女生； C 恰有1名男生与恰有2名男生； D. 至少有1名男生与至少有1名女生． 【答案】C 【解析】 【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案. 【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误； 对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误； 对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确； 对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误. 故选：C. 6. 从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，得到不同的对数为，，， ，，，共6个对数，其中为整数的有2个， 所以概率. 故选：B 7. 已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，函数在区间上单调递减， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 8. 已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的运算性质可得AC错误；由对数函数，指数函数以及对数的运算性质可得B错误，D正确； 【详解】对于A、C，因为，所以，故A，C错误； 对于B、D，由题意知，因为函数是增函数，所以，即， 结合基本不等式，， 因为是增函数，所以，故D正确，B错误； 故选：D. 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 学校“校园歌手”唱歌比赛，现场8位评委对选手A的评分分别为15，16，18，20，20，22，24，25.按比赛规则，计算选手最后得分时，要先去掉评委评分中的最高分和最低分，则（ ） A. 剩下的6个样本数据与原样本数据的平均数不变 B. 剩下的6个样本数据与原样本数据的极差不变 C. 剩下的6个样本数据与原样本数据的中位数不变 D. 剩下的6个样本数据的35%分位数大于原样本数据的35%分位数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用平均数，极差，中位数和百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中， 8个数据的平均分为， 去掉最高分和最低分后数据的平均分为，所以A正确； 对于B中，去掉最高分和最低分之前，8个数据的极差为， 去掉最高分和最低分后，6个数据的极差为，所以B错误； 对于C中，去掉最高分和最低分之前，8个数据的中位数为， 去掉最高分和最低分后，6个数据的中位数为，所以C正确； 对于D中，由，所以8个数据的分位数为， 去掉最高分和最低分后，可得，所以6个数据的分位数为， 所以D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】特殊值判断A､C；作差法比较大小判断B；利用不等式性质求的范围判断D. 【详解】对于A，由，但，故A错； 对于B，，又， 所以，即，故B正确； 对于C，由，即，故C错； 对于D，由且，故，故D正确. 故选：BD. 11. （多选）定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 给定常数，当时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，解一元二次不等式，求出定义域，得到；B选项，由基本不等式得到函数值域；C选项，由定义法判断出函数的单调性；D选项，先得到的单调性，进而得到的最小值为或，作差法比较大小，得到答案. 【详解】A选项，，其中，解得， 故，A正确； B选项，，，当且仅当，即时，等号成立， 又，故的值域为，B错误； C选项，任取且， 则 ， 又且，故， 故，即， 故在上单调递增，C正确； D选项，和C选项同理，由定义法可知，在上单调递减， 结合C选项知，给定常数，当时，单调递增， 当时，单调递减， 故的最小值为或， 其中，， 又 ， 由于，，，， 所以，即， 所以的最小值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则________. 【答案】300 【解析】 【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解. 【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人， 则每个学生被抽到的概率为， 可得，解得（人）， 故答案：. 13. 函数的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数定义域,再根据复合函数的单调性即可得解. 【详解】由,解得, 要求函数的单调递增区间， 则应求函数的单调递减区间， 易知函数的单调递减区间为， 结合定义域可得函数单调递增区间为. 故答案为:. 14. 已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；对于方程，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再结合图形得出方程、、的根的个数即可. 【详解】如图，作出函数的图象， 由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点. 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 故实数m的取值范围为； 对于方程，设，则有， 依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题. 作出函数的图象如下图所示： 因为，函数与有个交点， 即有三个根、、，其中、、， 再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根， 综上所述，方程有个不同的解. 故答案为：；. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解指数不等式，然后由交集定义计算即可. （2）根据充分不必要条件得集合间的包含关系，列不等式组，求解即可. 【小问1详解】 由题意得，即，解得， 所以； 当时，，所以. 【小问2详解】 因为“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集， 所以且（两个“”不能同时成立），解得. 所以实数m的取值范围是. 16. 某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本280万元，每生产（千个）电子仪器，需另投入成本万元，且 ，假设每千个电子仪器售价定为800万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完. （1）求出全年的利润（万元）关于年产量x（千个）函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大?最大利润是多少万元? 【答案】（1） （2）全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元 【解析】 【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解. （2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 所以 【小问2详解】 若，则， 当时，； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，此时． 因为， 所以当全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元． 17. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a值和该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率. 【答案】（1）0.030，第75百分位数为82 （2）平均分为71 （3） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数定义结合题意计算即可； （2）根据频率直方图中的平均数计算方法求解即可； （3）利用分层抽样、列举法及古典概型即可求解 【小问1详解】 由题意可得：， 解得：； 因为，， 所以该样本的第百分位数在区间， 所以设该样本的第百分位数为，则可得方程： ， 解得：， 即该样本的第百分位数为. 【小问2详解】 因， 故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为. 【小问3详解】 采用分层抽样从和抽取名同学， 因为， 则应在成绩为的学生中抽取人，记为，； 在成绩为的学生中抽取人，记为，，； 再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下结果， ，，，，， ，，，，共种可能结果； 其中在，各一人的共种； 所以所求概率， 则这名同学分数在，各一人的概率为. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求、的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数在上为减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数性质，列式求参数值，即可得答案； （2）将化为，结合指数函数单调性，即可得出结论； （3）结合函数奇偶性以及单调性，将原不等式化简为存在，成立，结合二次函数的最值，即可求得答案. 【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数，则，解得， 所以，， 因为，， 由奇函数的定义可得，可得，解得， 故，则，下面验证函数为奇函数， 因为函数的定义域为， 则，即函数为奇函数， 因此，满足题意. 【小问2详解】 函数为上的减函数，理由如下： 任取，，且，则， 所以， ，即， 故函数在上为减函数. 【小问3详解】 存在，使， 则，所以，，则， 由题意可得，因此，实数的取值范围是. 19. 若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. （1）函数是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明：函数在上有“飘移点”； （3）若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数没有“飘移点”，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据飘移点的定义，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据飘移点的定义，结合函数零点存在原理进行求解判断即可； （3）根据飘移点的定义，结合对数的运算性质进行参变量分离，利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 函数没有“飘移点”.理由如下： 对于，则，整理得， ，则该方程无解， 函数没有“飘移点”. 【小问2详解】 函数在上有“飘移点”，理由如下： 在上有“飘移点”， 因此有， 即成立，化简，即成立， 记，则在上连续不断，且， 在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. 【小问3详解】 对于，则， 即， ，则， 令，则， ， 又，当且仅当，即时等号成立， 则， ，即， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对进行换元，令， ，然后再应用基本不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025上学期~~期末考试~~高一（市郊联体） 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 若，则的化简结果是（   ） A. B. C. D. 2. 若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A. B. C. D. 3. 某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（ ） A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 2万件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. “韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立是（ ） A. 至少有1名男生与全是男生； B. 至少有1名男生与全是女生； C. 恰有1名男生与恰有2名男生； D. 至少有1名男生与至少有1名女生． 6. 从2，4，8中任取两个不同数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 学校“校园歌手”唱歌比赛，现场8位评委对选手A的评分分别为15，16，18，20，20，22，24，25.按比赛规则，计算选手最后得分时，要先去掉评委评分中的最高分和最低分，则（ ） A. 剩下的6个样本数据与原样本数据的平均数不变 B. 剩下的6个样本数据与原样本数据的极差不变 C. 剩下的6个样本数据与原样本数据的中位数不变 D. 剩下的6个样本数据的35%分位数大于原样本数据的35%分位数 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 11. （多选）定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 给定常数，当时，最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则________. 13. 函数的单调递增区间为______． 14. 已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 16. 某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本280万元，每生产（千个）电子仪器，需另投入成本万元，且 ，假设每千个电子仪器售价定为800万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完. （1）求出全年的利润（万元）关于年产量x（千个）函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大?最大利润是多少万元? 17. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a值和该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求、的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围. 19. 若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. （1）函数是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明：函数在上有“飘移点”； （3）若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $