精品解析：辽宁大连市第二中学2025-2026学年上学期期末考试高一数学试题

2025-2026学年度上学期期末考试 高一数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，故， 又，所以． 故选：D． 2. 设，则函数的零点位于区间 A. （2，3） B. （1，2） C. （0，1） D. （-1，0） 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在R上递增， 函数的零点位于区间（1，2）. 故选：B． 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断奇偶性，结合时单调性，应用排除法确定答案. 【详解】由解析式知定义域为R，，是偶函数，排除A， 当时，是减函数，故排除B，C. 故选：D. 5. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（ ） A. 623 B. 457 C. 368 D. 072 【答案】C 【解析】 【分析】从表中第5行第6列开始向右读取，舍去超出范围和重复的数据，即可得出结果. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取分别为，253，313，457，860舍，736舍，253舍，007，328，623，457舍，889舍，072，368，第8个为368 故选：C 【点睛】易错点睛：本题要舍去超出范围和重复的数据. 6. 甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可. 【详解】由题意可得：， 设被污损的数字为x，则：， 满足题意时，，即：， 即x可能的取值为, 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：. 故选C 【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7. 在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可. 【详解】因为①，②， 由，得，所以， 即，，所以. 故选：D. 8. 设函数，若任意使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的性质，再根据函数性质化简不等式，最后根据不等式恒成立求解实数的取值范围即可. 【详解】函数的定义域为，即恒成立， 的定义域为，关于原点对称， 则 ， ，的图象关于点对称， 又函数和在上均为减函数， 函数在上为减函数， 不等式可化为，即， 恒成立， 当时，不等式化为，舍去； 当，要使恒成立，则需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型的商店的数量之比为，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选项正确的有（ ） A. 1500家商店是总体 B. 样本容量为60 C. 大、中、小型商店分别抽取4、20、36家 D. 被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.利用总体的定义判断；B.利用样本容量的定义判断；C.根据三种类型的商店的数量之比为求解判断；D.由样本的定义判断. 【详解】A. 1500家商店的每日零售额是总体，故错误； B. 从中随机抽取60家商店，则样本容量为60，故正确； C. 因为三种类型的商店的数量之比为，所以大、中、小型商店分别抽取4、20、36家，故正确； D.被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本，故正确， 故选：BCD 10. 已知向量，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项，，不可能有，A错误 B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以，故C错误. D选项，由C选项分析可得，D正确． 11. 已知：函数，若直线与函数的图象有三个交点，，，且，则下列命题中正确的是（ ） A. 函数有两个零点0和2 B. C. 方程有6个不同根 D. 当时，方程有两个不相等的实根 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求出函数的零点可判断A；作出函数的大致图象，由图结合题意可得，即有，结合对数运算化简即可判断B；方程根的问题转化为图象交点的问题，结合图形可判断C，D. 【详解】由题意，令， 当时，，解得；当时，，解得， 则函数有两个零点0和2，故A正确； 作出函数的大致图象，如图， 由图结合题意可知，， 由，可得，即，故B正确； 由可得或， 由图可知，函数的图象与直线及共有4个交点，则方程有4个不同的根，故C错误； 当时， 当时，令，解得， 且由图象可得当时，与只有一个交点。 综上，直线与函数的图象有两个交点，则方程有两个不相等的实根，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的代换计算可得结果. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 13. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据百分位数的计算方法可得答案. 【详解】由题意可得，解得， 将数据排序得，，，，， ，则这组数据的第百分位数为第和第位数的平均数，即. 故答案为：. 14. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数单调性的定义推出在上单调递增，再由分段函数单调性建立关于的不等式，求解即可. 【详解】不妨设，由，可得：，即， 则函数上单调递增， 则，解得，即， 故实数a的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设，是两个不共线的向量，已知，，． （1）求证：，，三点共线； （2）若，且，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，即可得到，从而得证； （2）设，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 所以，即， 又与有公共点，所以，，三点共线． 【小问2详解】 由（1）可知，又， 因为，设， ，又，是两个不共线的向量， 所以，解得． 16. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，． （1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． （2）若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？ （3）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，可求，再由平均数计算公式即可求解； （2）由百分位数计算公式即可求解； （3）确定样本空间，由古典概型概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由， 得， 平均数为 【小问2详解】 前4个矩形面积为： ， 前5个矩形面积为： ， 所以若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号， 则成绩至少要达到 【小问3详解】 区间有人， 区间有人， 设内两人为，内3人为， 则随机抽取2名学生共有： ， 来自不同组的有， 所以这2名学生成绩不在同一分组的概率为. 17. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求实数m的范围. 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 分析】（1）列出不等式，求解即可. （2）利用奇函数的定义求解即可； （3）利用函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由，解得：或，所以定义域为. 【小问2详解】 为奇函数，证明如下： 由（1）可知，定义域关于原点对称 又， 所以为奇函数； 【小问3详解】 因为， 又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，由复合函数的单调性知函数在上为增函数， 所以， 又对于恒成立，所以，所以， 所以实数的范围是. 18. 已知甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是 ，乙答对每道题目的概率都是 ．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响． （1）求甲第二次答题通过面试的概率； （2）求乙最终通过面试的概率； （3）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意甲第二次答题通过为，从而可求解； （2）乙通过最终面试分：第一次答题通过、第二次答题通过、第三次答题通过共三种情况讨论，即可求解； （3）甲、乙两人至少有一人通过面试的对立事件是甲、乙两人都没有通过面试，从而可求解. 【小问1详解】 由题意得：甲第二次通过面试的概率为：， 故甲第二次答题通过面试的概率为. 【小问2详解】 乙通过最终面试分：第一次答题通过、第二次答题通过、第三次答题通过共三种情况： 第一次答题通过的概率为； 第二次答题通过的概率为， 第三次答题通过的概率为， 则乙最终通过面试的概率为. 【小问3详解】 甲、乙两人至少有一人通过面试的对立事件是甲、乙两人都没有通过面试， 则甲、乙两人都没有通过面试的概率为， 所以甲、乙两人至少有一人通过面试的概率为. 故甲、乙两人至少有一人通过面试的概为. 19. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔.对于满足一定条件的连续函数，若存在实数使得，则称为函数不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数的不动点； （2）如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，求m的取值范围； （3）定义在R上的函数满足，且在上单调递减，不等式的解集为A，若函数在A中存在两个不动点，求a的取值范围. 【答案】（1）和3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答； （2）根据稳定点及不动点定义列出方程，分类讨论即可作答； （3）根据函数的单调性结合不动点定义，建立函数关系，求出参数的范围. 【小问1详解】 令，得， 整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为和. 【小问2详解】 令，即，即， 解得 令，得， 即，得， 所以有， 此方程的解只能为1或m. ①当时，方程化为， 仅有一个实数解，满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解1或者m. 故或或， 解得. 综上，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由得 设，那么， 即是奇函数且在R上单调递减. ， 即， 即，所以，解得， 令，那么， 所以， 设又因为在上单调递增，故， 即在上有两个不相等的实数根 结合在的图象可知 所以a的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是先换元应用函数的单调性结合二次函数的值域计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末考试 高一数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设，则函数的零点位于区间 A. （2，3） B. （1，2） C. （0，1） D. （-1，0） 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象可能是（ ） A B. C. D. 5. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（ ） A. 623 B. 457 C. 368 D. 072 6. 甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为 A. B. C. D. 7. 在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若任意使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型的商店的数量之比为，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选项正确的有（ ） A. 1500家商店总体 B. 样本容量为60 C. 大、中、小型商店分别抽取4、20、36家 D. 被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本 10. 已知向量，，则（ ）． A. B. C. D. 11. 已知：函数，若直线与函数的图象有三个交点，，，且，则下列命题中正确的是（ ） A. 函数有两个零点0和2 B. C. 方程有6个不同的根 D. 当时，方程有两个不相等的实根 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，且，则的最小值为__________. 13. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为_____. 14. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设，是两个不共线的向量，已知，，． （1）求证：，，三点共线； （2）若，且，求实数的值． 16. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，． （1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． （2）若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？ （3）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率． 17. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求实数m的范围. 18. 已知甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是 ，乙答对每道题目的概率都是 ．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响． （1）求甲第二次答题通过面试的概率； （2）求乙最终通过面试的概率； （3）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率． 19. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔.对于满足一定条件的连续函数，若存在实数使得，则称为函数不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数的不动点； （2）如果函数“稳定点”恰是它的“不动点”，求m的取值范围； （3）定义在R上的函数满足，且在上单调递减，不等式的解集为A，若函数在A中存在两个不动点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $