精品解析：河南省商丘市睢阳区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度第一学期期末试卷（B） 八年级数学（RJ） 测试范围：全册 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的定义，熟记轴对称的定义是解本题的关键． 根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】解：选项中B，C，D均有对称轴，为轴对称图形， A不是轴对称图形， 故选：A 2. 古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为的小洞．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000052用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. a2•a3＝a6 B. （a2）3＝a5 C. （ab）3＝a3b3 D. a8÷a2＝a4 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算、同底数幂乘方运算、积的乘方、幂的除法运算法则，对选项进行逐一计算即可． 【详解】解：a2•a3＝a5，A选项错误； （a2）3＝a6，B选项错误； （ab）3＝a3b3，C选项正确； a8÷a2＝a6，D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的基本运算，解题关键在于要注意指数在计算过程中是相加还是相乘． 4. 已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 5. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意得：， 解得：． 即这个多边形是四边形． 故选：B． 6. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法运算法则是解题的关键； 根据分式的加法运算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故选：C 7. 如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、含角直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 过点作，交于点，根据角平分线的性质可得，再根据含角直角三角形的性质计算即可解答； 【详解】解：如图，过点作，交于点，如图所示： 点在的平分线上，， ， ，， ； 故选：D 8. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，注意每一项都乘，即可求解； 【详解】解：两边同乘后的式子为：， 故选：D 9. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 10. 如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键； 根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可； 【详解】解：， ， ，分别是线段，的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母， 即． 故答案为：． 12. 如果，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据即可求解 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 13. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】证明，得到，即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 14. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题关键． 先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵方程的解为非负数，且，即， ， 且； 故答案为：且 15. 如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若BPD是直角三角形，则PA＝___． 【答案】2或4 【解析】 【分析】分为点在上和点在的延长线上两种情况画出图形，然后再证明为有一个角为的直角三角形，最后依据列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 如图1所示： 由翻折的性质可知：， ， ， ， ∴若BPD是直角三角形，则， ∴， ， ， 解得； 如图2所示： 由翻折的性质可知：， ， ， ， ∴若BPD是直角三角形，则， ∴， ， ， 解得， 综上所述，的长为2或4， 故答案为：2或4． 【点睛】本题主要考查的是翻折变换、含直角三角形的性质，证得为一个含的直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，负整数指数幂，分式的运算，整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． （1）计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，即可求解； （2）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式计算即可求解； （3）根据积的乘方、负整数指数幂、分式的乘法运算法则计算即可求解； （4）根据分式加减运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. （1）因式分解：； （2）因式分解：． （3）解方程：． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，以及因式分解，注意计算的准确性即可． （1）综合利用提公因式和公式法即可求解； （2）综合利用提公因式和公式法即可求解； （3）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 （3）方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为： 18. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解题的关键； （1）先计算完全平方公式和平方差公式，再利用整式的加减法则计算即可求解； （2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【小问1详解】 解： 当，时， 原式； 【小问2详解】 解： ； 当， 原式 19. 如图，在中，平分交于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质即可求解； （2）由三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：平分，， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， 平分，平分， ，， ， ． 20. 如图，已知中，，． （1）作的平分线，交于点D；过点D作于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示： ； （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴； （3）6； 【解析】 【分析】（1）本题考查作角平分线及垂线，根据画角平分线，根据垂直平分线的性质画垂线即可得到答案； （2）本题考查角平分线性质及三角形全等的判定与性质，证明即可得到答案； （3）本题考查角平分线的性质，根据角平分线性质得到，代入求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， 以为圆心画圆弧交角于两点，分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接交点与点交于一点，即为点，以为圆心为半径画圆交于一点，再以该交点为圆心长半径画圆交于一点，连接此点与D点，交于一点即为点， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 21. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五有并举工作，某中学以体有为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校开展球类活动，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，总费用不超过15600元，学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）足球的单价是60元，篮球的单价是90元 （2）120个 【解析】 【分析】（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，由题意：用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买篮球，则可以购买个足球，由总价单价数量，且购买足球和篮球的总费用不超过15600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元． 【小问2详解】 设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球， 依题意得：， 解得：， 答：学校最多可以购买120个篮球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 把一个长为，宽为的长方形，沿图①中虚线剪开，平均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图②中阴影正方形的面积： 方法1：______________________________； 方法2：______________________________． （2）观察图②，写出、、这三个代数式之间的等量关系：___________________； （3）若，，则____________． （4）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式如图③，把边长为的正方形按如图所示的方法分割成块，它表示的恒等式是_______． 【答案】（1）； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积，运用了等积变换的思想， （1）根据大正方形的面积减去个小长方形的面积即为阴影部分的面积，而阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式； （2）通过观察图形并结合（1）的结论可得等量关系式； （3）根据（2）结论即可求解； （4）仿照（1）的方法：大正方形的面积即为边长为的正方形的面积，也可以看作个边长分别为、、的正方形的面积加上个长方形的面积，据此可得结论； 掌握完全平方公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：阴影正方形的面积可以用两种方法表示： 方法1：大正方形的面积减去个小长方形的面积，即：， 方法2：边长为的小正方形的面积，即：， 故答案为：；； 【小问2详解】 由（1）知：阴影正方形的面积可分别用和表示， ∴， ∴、、这三个代数式之间的等量关系为：， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，， 又∵， ∴， ∴故答案为：； 【小问4详解】 大正方形的面积可以用两种方法表示： 方法1：边长为的正方形的面积，即：， 方法2：个边长分别为、、的正方形的面积加上个长方形的面积，即：， ∴它表示的恒等式是：， 故答案为：． 23. 如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时，___________，___________； （2）线段的长度为何值时，？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1），； （2） 当时，≌，理由如下： ，，， ， ∵， ∴， 在△ABD和△DCE中， ∵， ≌(ASA)； （3）当或时，的形状可以是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求，的度数即可； （2）当时，由“”可证≌即可； （3）分，，三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求的度数． 【小问1详解】 解：，且，， ， ∵，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①若时， ，， ， ， ， ． ②若时， ，， ， ， ， ， ③当，， ∴ 此时不符合题意，舍去． 综上所述：当或时，的形状可以是等腰三角形 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末试卷（B） 八年级数学（RJ） 测试范围：全册 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为的小洞．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. a2•a3＝a6 B. （a2）3＝a5 C. （ab）3＝a3b3 D. a8÷a2＝a4 4. 已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 10. 如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 如果，则的值为______． 13. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 14. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 15. 如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若BPD是直角三角形，则PA＝___． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. （1）因式分解：； （2）因式分解：． （3）解方程：． 18. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． 19. 如图，在中，平分交于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 20. 如图，已知中，，． （1）作的平分线，交于点D；过点D作于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； （2）求证：； （3）若，，求的长． 21. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五有并举工作，某中学以体有为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校开展球类活动，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，总费用不超过15600元，学校最多可以购买多少个篮球？ 22. 把一个长为，宽为的长方形，沿图①中虚线剪开，平均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图②中阴影正方形的面积： 方法1：______________________________； 方法2：______________________________． （2）观察图②，写出、、这三个代数式之间的等量关系：___________________； （3）若，，则____________． （4）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式如图③，把边长为的正方形按如图所示的方法分割成块，它表示的恒等式是_______． 23. 如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时，___________，___________； （2）线段的长度为何值时，？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $