江苏省淮安市2024-2025学年高二上学期1月调研测试数学试题

2024一2025学年度第一学期期末高二调研测试 数学试题出式+句2025.01 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 是( 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题月的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，只要将答题卡交回。 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 的一项是符合题目要求的。 0茶单喜面平 1.已知直线1经过两点A(-4,1),B(0,-1),则直线1的斜率是 只点好，3数曲代年相 A.2 B. 2 C.-1 D.一25曲来(1 2.已知等比数列{a}的公比为2，且前n项和为Sn,a,=1,则S,=( A.15M B.31 干交384C.63 D.127 3.已知函数y=f问在x=六，处可导，且im+-f】- 则"(x)等于 Ax-) Ax 2 A. 9-4 3 2 B. C.1 D. 3 4. 《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差 数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为（)升。 A.+3-=1B.4门 C.5月3xD.6m= 5.设m,n为实数，若点M(m,n)是圆x2+y2=1上的任意一点，则直线mx+四=1 与圆的位置关系是的是定果和台s.行工N大不张《程 A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 6。已知，乃是双自线C:等-广=10>06>0)的左右焦点，这与双曲线实销国 直的直线交双曲线于A,B两点，若△ABF,是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为 A.y=±2x B.y=x C.y=±y2x t D.y2 高二数学试题第1页（共4页） 7.数列{an}满足a1=3(n+1)aa,a=3,数列{a}的前n项和S,为 15n2+9m 1理声成5 A. 2 B.n.3" c.1+Q4n8g-2m0<D.3+- -+ 424 )3+1 图形景候民8人联后 8.己知关于x的方程nx-aex-lna=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 A.(0,e) B.(e,+oo) c.0, D.(,+o0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9,已知某物体运动的位移方程为S(t)=3t2+2（1≤t≤6) tE021 A,该物体位移的最大值为100 B.该物体在[1,4]内的平均速度为15 =和虽前顶选堂随兴火题客反国 C.该物体在1=5时的瞬时速度是32 D.该物体的速度v和时间t时的关系式是间)=6(1≤1≤6)来1 10.己知各项均为正数的等比数列{a,}的公比为g,a5-a1=15,44-a2=6,则 A.9=2 中提湿 B.a6=32 安2 (a.a a142a3 0p1上乙8纪P从大A面个三的O8△以5 D.数列og,a}的前n项和为+m加 可式的从画免：（上 11.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过F的直线交抛物线于A(1,),B(:2,y2)两点， 直线BO交抛物线的准线于点C,设抛物线在点A处的切线为1，且I与x轴的交点为D, 则 代r A.C(x2,-1) 得编头，成样是的闻速号其遵南工第风旺家抛中日阳辞运 B.xx2=-4 )例因音刻致16，向间（似八准面弹道：可过刻莉题家现 C.四边形4COF为梯形八面低5.（八=回-1身、d D.△ACF的面积是△ADF的面积的2倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 。+ （-(. 12.已知两条直线：(m-1)x+y+1=0,2:x-2my+2=0,且4⊥12，则m=一 高二数学试题第2页（共4页） 1+=部员肩民理 13.已知函数f(x)=e-x,则f(x)的单调递增区间为 14.已知么B分别是椭圆C:x 京=1(a>b>0)的左右顶点，点Q是椭圆C上异于 4B的-点。在△480中∠0D-子0网-24-h,则指园C的离心率为 60 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 代0朝阳器表音 15.(13分) += 楼某联5 已知各项为正数的等差数列{an}满足41=1，且41,42,4成等比数列 (1)求数列{4n}的通项公式： (2)若等比数列也}满足b=4,b2=a2,问：数列{an}的前50项中哪些项在等 比数列色}中？ = E=0日 16.(15分) 已知△ABC的三个项点为4A(4,3)B5,2)C1,0),记△ABC外接圆为圆M (1)求圆M的方程： 年+ (2)过点C且斜率为k的直线1与圆M交于另~点D,且CD=V0,求直线I的方 0收点交的解己1日式0鱼 研，门白生的时线父08直 17.(15分) 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础 其定理陈述如下：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，则存在 ea,),使得⑥)-f@=f).已知函数fm=-2x,数列a}满足 b-a fa)-a2-∫2a,+),且4=2.共代量心E东2形 aw+1一an 4十0一1t0=+t+-丽)1@直茶两低5 高二数学试趣第3页（共4页） (1)求a2,a:二高末膜限等一兼窗甲学20S一0 (2)证明：数列{n+1}为等比数列：后单 (3)若数列他}的前n和为Sn,且设b。= 3” ,问：是否存在实数P,q,使得对 的的5自体座正生使阳司 任意n∈N*,总有Sn=p+ 1 成立？ 司首品外轴出能，预道数对回上 93+2 高方海，存名干新出解用，需圆 换大士非发本查识，过中题带酒 ▲中遇登分江只司束无世无 18.(17分) 在平面直角坐标系x0y中，已知点E(-2,0),F(2,0),PF-PF=2V5,点P的 轨迹为曲线C，过点F的直线l与曲线C交于A,B两点(A,B两点均在y轴左侧) (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且BE=5瓦A,求直线的方程：的出5 (3)过点A作x轴的平行线m,直线m与直线BF交于点M,线段AM的中点为N, x到任九=发图世与 若直线1与宜线NF,交于点Q,求证：点2恒在一条定直线上 ▲ 19.(17分) 的培可而士自.于的的继一市限圆同“计大什“中体单 的计面时，班班 已知函数f(x)=ax-xlnx(a∈eR)在点P(e,f(e》处的切线方程为y=一x+e. 1=(1)求实数a的值；团的 (2)若不等式f(x)≥m(x-e)对xe[L,e]但成立，求实数m的取值范围：随目 (3)对neN*,关于x的方程f(x)=(兮)”总有两个不等的实数根x(n),:,(m), 求证： 21x-x(1>en-) 正成8么手，点面，上千曲原交经数塑 士=化 高二数学试题第4页（共4页）高二数学参考答案第 1页（共 9 页） 2024~2025 学年度第一学期淮安市期末调研测试 高二数学试题参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知直线 l经过两点 )1,4(A ， )1,0( B ，则直线 l的斜率是 A． 2 B． 2 1 C． 2 1  D． 2 【答案】C 2．已知等比数列 na 的公比为 2，且前 n项和为 nS ， 11 a ，则 5S A．15 B．31 C． 63 D．127 【答案】B 3．已知函数 )(xfy  在 0xx  处可导，且 2 3)()(lim 00 0     x xfxxf x ，则 )( 0xf  等于 A． 4 9 B． 2 3 C． 1 D． 3 2 【答案】B 4．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差 数列，上面 3节的容积共 6升，下面 3节的容积共 12 升，则第 5节的容积为（ ）升. A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 【答案】A 5．设m，n为实数，若点M (m，n )是圆 122  yx 上的任意一点，则直线 1 nymx 与圆的位置关系是 A． 相交 B． 相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，只要将答题卡交回。 2025.1 高二数学参考答案第 2页（共 9 页） 6．已知 21 ,FF 是双曲线 ：C )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的左右焦点，过 1F 与双曲线实轴垂 直的直线交双曲线于 A， B两点，若 2ABF 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为 A． xy 2 B． xy 2 1  C． xy 2 D． xy 2 2  【答案】C 7．数列 na 满足 nn anna )1(31  ， 31 a ，数列 na 的前 n项和 nS 为 A． 2 915 2 nn  ​ B． nn 3 C． 23)814(1  nn D． 13) 4 1 2 ( 4 3  nn 【答案】D 8．已知关于 x的方程 0lnln  aaex x 有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是 A． ),0( e B． ),( e C． )1,0( e D． ),1(  e 【答案】C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知某物体运动的位移方程为 23)( 2  ttS （ 61  t ） A．该物体位移的最大值为 100 B．该物体在 ]4,1[ 内的平均速度为 15 C．该物体在 5t 时的瞬时速度是 32 D．该物体的速度 v和时间 t时的关系式是 ttv 6)(  【答案】BD 10．已知各项均为正数的等比数列 na 的公比为 q， 6,15 2415  aaaa ，则 A． 2q B． 326 a C． 21111 321  naaaa  D．数列 12log na 的前 n项和为   2 1 nn 高二数学参考答案第 3页（共 9 页） 【答案】ABD 11．已知抛物线 yx 42  的焦点为 F ，过 F 的直线交抛物线于  11, yxA ，  22 , yxB 两点， 直线 BO交抛物线的准线于点C，设抛物线在点 A处的切线为 l，且 l与 x轴的交点为D， 则 A．  1,2  xC B． 421 xx C．四边形 ACOF 为梯形 D． ACF 的面积是 ADF 的面积的 2倍 【答案】BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知两条直线 1l ： 01)1(  yxm ， 2l ： 022  myx ，且 21 ll  ，则 m . 【答案】 1 13．已知函数 xexf x )( ，则 )(xf 的单调递增区间为________________. 【答案】 ),0(  14．已知 BA, 分别是椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的左右顶点，点Q是椭圆C上异于 BA, 的一点，在△ ABQ中， 4  QAB , ABQAQB 2 2  ，则椭圆C的离心率为 ____.【答案】 7 42 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13 分) 已知各项为正数的等差数列 na 满足 11 a ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列 （1）求数列 na 的通项公式； （2）若等比数列 nb 满足 11 ab  ， 22 ab  ，问：数列 na 的前 50 项中哪些项在等 比数列 nb 中？ 高二数学参考答案第 4页（共 9 页） ▲ ▲ ▲ 解（1）等差数列 na 的公差为 d 因为 11 a ，① 又因为 51 2 2 aaa  ， 得    dd 4111 2  ②..................................................2 分 由①②得， 2d 或 0d ..................................................2 分 数列 na 的通项公式为 12  nan 或 1na .................................6 分 （2）由（1）可知 当 1na 时， 1nb ，数列 na 的前 50 项都在等比数列 nb 中.................................7 分 当 12  nan 时， 因为 11 ab  ， 22 ab  ，得 11 b ， 32 b 设等比数列 nb 的公比为 q，得 3q 所以 13  nnb .................10 分 假设数列 na 的前 50 项中存在项在等比数列 nb 中，则 1312  tn ( Nt ) 因为 50n 且 Nn 所以 9912  nan ， 993 1 t ( Nt )，即 5,4,3,2,1t 得到数列 na 的前 50 项中的 1,3,9，27,81 在等比数列 nb 中......13 分 备注：利用枚举法也可以。 16．(15 分) 已知△ ABC的三个顶点为      0,1,2,5,3,4 CBA ,记△ ABC外接圆为圆M （1）求圆M 的方程； （2）过点C且斜率为 k 的直线 l与圆M 交于另一点D，且 10CD ，求直线 l的方 程． 解：（1）设圆M 的方程为 022  FEyDxyx 因为点 CBA ,, 都在圆M 上，所以         01 02925 02534 FD FED FED 解得         5 2 6 F E D .......................5 分 高二数学参考答案第 5页（共 9 页） 故圆M 的方程为 052622  yxyx ............................7 分 （2）设直线 l的方程为 )1(  xky ，则 因为圆心M 到直线 l的距离 1 12 2    k k d ，........................9 分 得 2 22 2         CD rd ，其中 5r ........................11 分 所以 3k 或 3 1  ........................13 分 所以直线 l的方程为 033  yx 或 033  yx ..............15 分 ▲ ▲ ▲ 17. (15 分) 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础. 其定理陈述如下：如果函数 ( )f x 在区间 [ , ]a b 上连续，在区间 ( , )a b 内可导，则存在 0 ( , )x a b ，使得 )( )()( 0xfab afbf    .已知函数 xxxf 2)( 2  ，数列 { }na 满足 )12()()( 1 1n      n nn n af aa afaf ，且 21 a . （1）求 2a ， 3a ； （2）证明：数列 1na 为等比数列； （3）若数列{ }nb 的前 n和为 nS ，且设 1 3   nn n n aa b ，问：是否存在实数 ,p q，使得对 任意 *n N ，总有 23 1   nn q pS 成立？ 解：（1） 26,8 32  aa ..............................3 分 （2）因为 xxxf 2)( 2  ，则   22  xxf 高二数学参考答案第 6页（共 9 页） 由题意得   ,212222 1 1 2 1 2 1       n nn nnnn a aa aaaa ...............5 分 化简得 231  nn aa 又因为    1311  nn aa ......................................7 分 因为 ,0321 a 得到 31 11    n n a a 所以数列 1na 是首项为 3，公比为 3 的等比数列.................9 分 （3）由（2）可得数列{ }na 的通项为 13  n na 因为 nb =              13 1 13 1 2 1 13)13( 3 11 nnnn n ..................12 分 所以                    13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 2 1 13221 nnnS           13 1 2 1 2 1 1n 1322 1 4 1   n ......................14 分 所以存在实数 6 4 1  qp ， ....................................15 分 ▲ ▲ ▲ 18.(17 分) 在平面直角坐标系 xoy中，已知点 )0,2(),0,2( 21 FF  , 32|| 21  PFPF ,点P的 轨迹为曲线C，过点 1F 的直线 l与曲线C交于 BA, 两点( BA, 两点均在 y轴左侧). （1）求曲线C的方程； （2）若点 A在 x轴上方，且 AFBF 11 5 ,求直线 l的方程； （3）过点 A作 x轴的平行线m，直线m与直线 2BF 交于点M ,线段 AM 的中点为 N ， 若直线 l与直线 2NF 交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 高二数学参考答案第 7页（共 9 页） 解：（ 1）由题知 P 点的轨迹是以 1 2,F F 为焦点的双曲线，设曲线 C 方程为 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     ，则 2,2 2 3c a  所以 3, 1, 2a b c   ，则曲线 C 方程为 2 2 1 3 x y  ......................4 分 （2）设直线 1 1 2 2 1: 2, ( , ), ( , )( 0)l x my A x y B x y y   ， 由 2 2 2 1 3 x my x y       得 2 2( 3) 4 1 0m y my    的两根为 1 2,y y 2 2 1 2 1 22 2 4 1, 16 4( 3) 0 3 3 my y y y m m m m            ， ...............7 分 1 15BF F A    2 15y y   解得 m =− 2 2 （舍），m = 2 2 直线 l方程为 2� − � + 2 2 = 0，..........................10 分 （3）直线 22 2 : ( 2) 2 yBF y x x    ，令 1y y ，得 2 1 1 2 2 2 2x y y yx y    M 点坐标为 2 1 1 2 1 2 2 2( , )x y y y y y   N 点坐标为 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2( , ) 2 x y y y x y y y    ，.............................12 分 直线 2NF ： 1 2 2 1 1 2 1 2 2 ( 2) 2 2 y yy x x y y y x y      设 ( , )Q x y ，则 : 2l x my  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 4( ) 2( ) my y my yx x my y y y my y y y          ....................14 分 高二数学参考答案第 8页（共 9 页） 由（2）知 1 2 1 22 2 4 1, 3 3 my y y y m m       ，则 2 2 2 1 2 13 1 42 7 72 3 3 mx mm mx mm m m           ......................16 分 3 2 x   所以点Q恒在定直线 3 2 x   上.................................17 分 ▲ ▲ ▲ 19.(17 分) 已知函数 ( ) ln ( )f x ax x x a R   在点 ( , ( ))P e f e 处的切线方程为 y x e   . （1）求实数 a的值； （2）若不等式 ( )f x mx me  对 [1, ]x e  恒成立，求实数m的取值范围； （3）对 *n N  ，关于 x的方程 1( ) ( ) 2 nf x  总有两个不等的实数根 1 2( ), ( )x n x n ， 求证： 1 2 1 | ( ) ( ) | ( 1) n k x k x k e n     解：（1）因为函数 f(x)在点 ( , ( ))P e f e 处的切线方程为 y x e   因为   1ln'  xaxf ，所以   ,12'  aef 得 1a ..................3 分 （2）因为  exmxxx  ln 对 [1, ]x e  恒成立 当 ex  时， Rm 当  ex ,1 时，等价于 ex xxxm    ln 恒成立....................................5 分 令  ex ex xxxxg ,1,ln)(     得  2 ln)(' ex xxexg    ， 高二数学参考答案第 9页（共 9 页） 令  exxxexh ,1,ln)(  得 01)('  x xe x exh ，则 )(xh 在区间  e,1 上单调递增...................7 分 则 0)()(  ehxh ，即 0)( xg， 在区间  e,1 上恒成立 所以 )(xg 在区间  e,1 上单调递减, 所以 e gm   1 1)1( 所以数m的取值范围为        ， e1 1 ................................................................9 分 (3) 因为  xf 在区间  1,0 单调递增，在  ，1 单调递减，最大值为为 1)1( f ， 记最大值点  )1(1 f， 为 A ,函数  xf 与 x轴的交点  0,e 记为点 B.......................10 分 因为直线 AB：  ex e y    1 1 由（2）知在区间  e,1 上  ex e xf    1 1)( 又因为直线OA : xy  又当在区间  1,0 上时， 0ln)(  xxxf .......................................................12 分 又 xy  与直线 n y       2 1 交点横坐标记为  nx '1 = n       2 1 直线  ex e y    1 1 直线 n y       2 1 交点横坐标记为  nx '2 =   n ee       2 11 ....14 分 所以                            n k kkn k n k eekxkxkxkx 11 ' 21 1 21 2 1)1( 2 1'         n k k ee 1 2 1 =  1 2 1       neeene n ........................................................17 分