江苏省昆山、太仓、常熟、张家港四市2024-2025学年九年级上学期期末阳光测试数学试题

2024~2025学 一学 段性学业 光 试 九 级数学 2025.01 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共 27题，满分 130分，调研时间 120分钟. 一、 择题 ( 大题共 8 题，每 题 3 ，共 24 . 每 题所给出 四个 项中，只 一项 题目 要 ，请 题卡相 上) 1.一元二次方 3x2- 2x- 1= 0 二次项系数为 ( ) A. 3 B. - 2 C. - 1 D. 0 2.已知五个数 :2，2，x，5，8 数 4，现 了一个数 数仍不变， 这个数 ( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 3. 方法解一元二次方 x2- 2x- 1= 0 过 中， 方正 ( ) A. (x- 1)2= 0 B. (x- 1)2= 1 C. (x+ 1)2= 2 D. (x- 1)2= 2 4.如图，某 一自 扶 ，其 斜角∠BAC= 36°，自 扶 长 AB= 15米. 该自 扶 高 BC 于 ( ) A. 15sin36°米 B. 15 sin360 米 C. 15tan36°米 D. 15 tan36° 米 5.如图，⊙O △ABC 外 ，连 OA，OC，若∠OAC= 40°， ∠B 数为 ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 6.下 关于二次函数 y=- (x- 1)2+ 3 图 性质 述，其中正 ( ) A. 图 口 上 B. 图 顶点为 (-1，3) C. 图 可 函数 y=-x2 图 移 D. 图 与 y轴交点为 (0，3) 36° A B C A B C O A B C M N P Q 4题图 5题图 7题图 7.如图， 8× 8 正方 中，点A，B，C，P，Q，M，N都 点上 (正方 顶点即 点)，若⊙ O 以A，B，C为顶点 三角 外 ， 下 点中， ⊙O上 ( ) A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 8.已知二次函数 y=-x2+ 2ax- a2+ 3a- 2(a为 数) 图 上 且仅 两个点 x轴 距离 于 3 个单 长 ， a 取 围 ( ) A. a>- 13 B. - 1 3 < a< 5 3 C. 2 3 < a< 5 3 D. a> 5 3 二、 题 ( 大题共 8 题，每 题 3 ，共 24 .请把 直 写 题卡相 上) 9.计 :2sin30° = . 三数学 1页 共6页 10.若 x= 2 关于 x 一元二次方 x2-mx- 1= 0 一个 ， m 为 . 11.九 级 (1)班 50 学 龄情况如下表所示 (单 : )， 该班级学 龄 中 数为 . 龄 14 15 16 17 人数 3 21 25 1 12.如图，正六边 ABCDEF飞镖游戏 ，对角线AD，CF相交于点O. 设飞镖投中游戏 上 每一 点 可能 (若投中 区域 边 线或 投中游戏 ， 投 1次)，现 该游戏 投 飞 镖 1次， 飞镖投中 区域 概率 . 13.已知 a，b(a≠ b) 方 x2- x- 2024= 0 两个实数 ， 代数 a2- 2025+ b 为 . 14.中国瓦 发 历 悠久，其 风 能 历史时 变化 变.现 一瓦 ，它 一面 扇 一部 ，如图 1所示，其中两边AB，CD所 直线 成 夹角∠AOD= 80°，点O 扇 所 ，AO= DO= 20cm，BO= CO= 10cm，如图 2所示， 该瓦 此面 面积为 cm2.(结 保 π) 15.已知抛物线 y= x2+ 2tx(t为 数，且 t> 0)上两点P(-4t，y1)，Q(m，y2)， 5≤m≤ 6时，y1< y2 恒成 ， t 取 围 . 16.如图，△ABC中，AC= 10，BC= 14，tan∠ACB= 43 ， △ABC绕点C旋转 △DEC，点A，B 对 点 为点D，E，连 AD，若点M，N BC，AD 中点，连 MN， MN长 取 围 . A B C D E F O A B C D O A B C DE M N 12题图 14题图 16题图 图1 图2 三、解 题 ( 大题共 11 题，共 82 .请 题卡 定区域内 ，解 时 写出文字说 ，证 过 或 步骤) 17. ( 题满 5 ) 解方 :(x- 2)2= 3(x- 2) 18. ( 题满 6 ) 已知关于 x 一元二次方 x2+ 6x-m= 0 两个不相 实数 . (1) m 取 围; (2)若其中一个 另一个 2 ， m . 三数学 2页 共6页 19. ( 题满 6 ) 如图, △ABC中,AB=AC,过点B BD⊥AC于点D,AD= 6,tanA= 43 . (1) AB 长; (2) sinC . A B C D 19题图 20. ( 题满 6 ) 某社区为了解决 车 问题，计 一 矩 ABCD改建成一个 车 ，其中 部 为 车 区域，其 部 为宽 x米 路，如图所示.已知AD= 50米，AB= 32米，且 车区域 (即 部 ) 面积为 880米 2， 路 宽 x(米). 21. ( 题满 8 ) 已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a≠ 0)，其中两个变 x与 y 部 对 如下表所 示: x ⋯ -4 -3 -1 m 1 ⋯ y ⋯ 0 -4 -6 -4 0 ⋯ (1) m= .; (2) 该二次函数 表达 ; (3) -3≤ x≤ 1时， y 取 围 . x x x A B C D 20题图 三数学 3页 共6页 22. ( 题满 8 ) 为了 学 保护环 意识， 6 5日“世 环 日” 天，某 七、八 级举行了环保知识 竞赛，现从七、八 级所 参赛学 中 抽取了 10 学 成绩 ( )进行整 ，部 信息如下所示: [说 :七、八 级全 参赛学 竞赛成绩 成了A，B，C，D四个 数段， 数段成绩取 围为 (成绩 x表示，单 : ):A.60≤ x< 70，B.70≤ x< 80，C .80≤ x< 90，D.90≤ x ≤ 100. ] 【收集数据】 七 级 10 学竞赛成绩如下:75，84，78，72，91，79，86，69，72，94 八 级 10 学竞赛成绩中落 C 数段 成绩如下:80，82，82，84，85 【整理数据】七、八 级 10 学 竞赛成绩 四个 数段 如下表所示: 成绩（ ） A 60≤ x< 70 B 70≤ x< 80 C 80≤ x< 90 D 90≤ x< 100 七 级 1 5 2 2 八 级 0 4 5 1 【分析数据】七、八 级 10 学 竞赛成绩 数、中 数、 数、方差如下表: 级 数 中 数 数 方差 七 级 80 78.5 a 64.8 八 级 80 b 82 40.8 【问题解决】 以上信息，解 下 问题: (1) :a=_____，b=_____. (2)若该 七 级共 300 学 参 了知识竞赛，请 计七 级所 参赛学 中成绩达 (满足 x≥ 80即为 ) 人数. (3) 以上数 ， 认为哪个 级所抽取 10 学 竞赛成绩更好？请说 . 23. ( 题满 8 ) 如图，AB 半 直 ，点O为 ，C 半 上一点，连 AC. (1) 无 直 规 图: 半 上 定一点P， PB  =PC  (保 图痕迹); (2) (1) 件下，连 PB，PC，若AB= 10，AC= 6， 四边 ABPC 面积. A B C O 23题 三数学 4页 共6页 24. ( 题满 7 ) 如图，转盘A，B中 个扇 面积 相 ，转盘A 3个扇 中 数字 1，2，3，转盘B 3个扇 中 数字 4，5，6. (1)现任意转 转盘A 1次 (若 针落 扇 边 线上， 转 1次)， 转盘 止转 时， 针 落 数字 1 扇 概率为 ; (2)现任意转 转盘A，B 1次 (若 针落 扇 边 线上， 转 1次)， 转盘 止转 时， 转盘A，B 针所落扇 中 两个数字之 为奇数 概率. (请 状图或 表 方法说 ) 25. ( 题满 8 ) 如图 1，一扇 拉 户，AB为固定 边，AC为该 户 下 一边，可绕点A旋转一 定角 ，MN为支撑 ，其中一端固定 户下 边AC上 点M处，另一端点N 边AB 上滑 ( 户关闭时，AC，MN叠 AB边上)，支撑 MN 长 固定不变. 户打 一定角 ，AC即与AB 成一个旋转角∠CAB，其俯视 面图如图 2所示， 户 旋转角∠CAB 大 一定 围内:0° ≤∠CAB≤ 160°，MN= 20cm. (1)现 户打 至旋转角∠CAB= 45°时， 一次 ∠MNA= 30°， 此时AN 长; (2) (1) 基 上，继续打 户，即AC绕点A 时针旋转，旋转角∠CAB从 45° 始 渐 大， 旋转 点M，N 对 点 为点M ′，N ′，直至 二次 ∠M ′N ′A= 30°时 止， 端点N 此 过 中滑 长 .(结 保 号) 1 2 3 4 5 6 A B24题图 A B C N M 图1 A B C M N 图2 25题图 三数学 5页 共6页 26. ( 题满 10 ) 如图 1，△ABC中，D为AB边上一点，连 CD，∠BCD=∠BAC，以AD为直 ⊙O恰好经过 点C. (1) 证:BC ⊙O 线; (2)若AB= 8 5 ,tan∠ADC= 2. ① ⊙O 半 r; ② 如图 2，若点E AD  中点 (点E，C 直 AD )，连 CE， CE 长. 27. ( 题满 10 ) 如图，已知二次函数 y= a(x+ 1) (x- 3) (a 数，且 a> 0) 图 C1与 x轴交于A，B两点 (点 A 点B 左 )，与 y轴交于点C， 图 C1中 于 y轴左 部 关于 y轴 对称图 ，该 对称图 记为图 C2. (1) 点A 为 ，点B 为 ; (2)若直线 l:y=m(m 数)交图 C1于点D，E(点D 点E 左 )， 与图 C2交于点F，若 DF= 2EF， a与m 数 关系; (3) a= 13 时，连 BC，图 C2上 存 一点P，过点P PQ⊥直线BC， 足为点Q，连 CP， ∠CPQ= 2∠ABC？若存 ， 点P ;若不存 ，请说 . A B C DO 图1 A B C DO 图2 E x y A B C D EF O C1 C2 x y A B C O C1 C2 l 备 图 三数学 6页 共6页 参 一、单 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D A B C D B 二、 9. 1 ；10. 3 2 ；11. 16 ；12. 2 3 ；13. 0 ；14. 200 3 π ；15. 0<t< 5 2 ； 16. 4 2-5≤MN≤4 2+5 ； 四、解 17. x1=2,x2=5 ；18. 1 m>-9; 2 m=-8 ；19. 1 AB=10; 2 sinC= 2 5 5 ；20. x=6 ； 21. 1 0; 2 y=x 2+3x-4; 3 - 254 ≤y≤0 22. 1 72,81; 2 120; 3 ( 之 即可) ①:中 数角 ：八 级竞赛成绩更好，因为两个 级 虽然 一 ， 八 级 中 数比七 级 高； ②:八 级竞赛成绩更好，因为八 级 方差比 七 级 ，说 八 级整组人 成绩更 中 近，故八 级抽取 10 学 竞赛成绩更好. 23. 1  BC中 线；2 32 24. 1  1 3 ; 2  5 9 25. 1  10+10 3 cm; 2 20cm 26. 1  ；2 r=3 5 ; 3 9 2 27. 1 -1,0 , 3,0 ; 2 m=5a; 3 P 7,20  试卷评语（仅 参 ）： 整 试卷 度 中，无偏题怪题，高 不 ，需要细节 严 性. 单 第 8题： 度中上， 点 于理解条件，找 临界，机灵的娃表示我 代入特值 ， 图 析 先 个AD，代入 a= 0再 C，搞定！ 填 第 15题：考察二次函数比 析题， 析能 不 的孩子做 受了，最怕这种要 析 的， 高手 的 学也 有 憾，容 了本身 t> 0的条件； 填 第 16题：糕手表示，要 放 二下学中 线 ，直 秒的，现 嘛， 子里可能容不下它的 置了，高高手还 用 做的； 解答第 21题：不知 有 人因为这题顶点找错拿不 ！！我的学生要 错了等 ！！！ 解答第 25题：不 图的 壳又疼了， 图也 能 哟，要重视起来了，解三角形玩的 6的 不起 它. 解答第 26题：第三问解三角形法 线段我愿称之为“神”！！这个图应该 “老朋友了”. 解答第 27题： 不 中等生 第二问了， 不 高高手 第三问了，不 熟练也不行滴. 三数学 7页 共6页 部 题目解法赏 8.已知二次函数 y=-x2+ 2ax- a2+ 3a- 2(a为 数) 图 上 且仅 两个点 x轴 距离 于 3 个单 长 ， a 取 围 ( B ) A. a>- 13 B. - 1 3 < a< 5 3 C. 2 3 < a< 5 3 D. a> 5 3 如图，两种临界情况：图 1和图 2，此时AB均为 3,故满足-3< y顶点< 3,即-3< 3a- 2< 3,解得： - 13 < a< 5 3 ,答案B. 16.如图，△ABC中，AC= 10，BC= 14，tan∠ACB= 43 ， △ABC绕点C旋转 △DEC，点A，B 对 点 为点D，E，连 AD，若点M，N BC，AD 中点，连 MN， MN长 取 围 4 2-5≤MN≤4 2+5 . 法①:三边关系找最值方法：构造的三角形中两边已知，一边所求， 或是一边已知，两边有关系 如图，探索中找到AC中点Q，则QM和QN均固定可求，则根据三边关 系得出MN范围. 法②:隐圆找范围 如图，△ABC三边固定均可求，M是定点，N在运动，则想办法找点 N 轨迹，由N为中点，则联想到中位线构造，找定边的中点构造中位线，如 图，则由NQ= 5，得到点N的轨迹为以Q为圆心，5为半径的圆，则MN 即为点圆最值问题. x=a x x=a x A B C D A B 图1 图2 A B C DE M N 16题图 Q A B C DE M N 16题图 Q A B C DE M N 16题图 三数学 8页 共6页 25. ( 题满 8 ) (2) (1) 基 上，继续打 户，即AC绕点A 时针旋转，旋转角∠CAB从 45° 始 渐 大， 旋转 点M，N 对 点 为点M ′，N ′，直至 二次 ∠M ′N ′A= 30°时 止， 端点N 此 过 中滑 长 .(结 保 号) 题主要 享下学 解题中如 图. 如图，在转动过程中，要抓住定边  AM  ， 先作出点M的轨迹（铅笔作图，后面要擦除）， 同时要知道点N是在向点A靠近的，MN固定不变， 故只需要找到一个合适的位置作出点M '， 然后作平行线即可. （好好学，多体会，实际作图不用那么精准的，但是要能作出来图） 26. ( 题满 10 ) 如图 1，△ABC中，D为AB边上一点，连 CD，∠BCD=∠BAC，以AD为直 ⊙O恰好经过 点C. (2)若AB= 8 5 ,tan∠ADC= 2.① ⊙O 半 r= 3 5 ; ② 如图 2，若点E AD  中点 (点E，C 直 AD )，连 CE， CE 长. 3 第三问是个老题了，数据变了下，解法多样，不赘述了！ 此处还是得说下，解三角形法求线段，yyds. A B C DO E 法①： 先连接DE,或AE,给它一个△的环境， 然后找条件：(两角一边) 在△CDE中，CD= 3, ∠ECDtan = 12 ,∠ECD= 45°, 则可作万能的垂直求CE，思路秒. A B C DO 图2 E M N 法②： 勾股：如图，给CE边构造Rt△CME,交AB于点N , 相似也可以做，就不一一列举了哈. 法③： 对称性:利用角平分线的性质定理，过E，向两边作双垂 (详略) 法④： 对补角分模型：利用对角互补，加邻边相等，绕 E旋转△CAE (详略) 主要题太老了，小编不想编辑了，自己脑补吧！相信你是最棒 的！ A B C M N 图2 M  N  三数学 9页 共6页 27. ( 题满 10 ) 如图，已知二次函数 y= a(x+ 1) (x- 3) (a 数，且 a> 0) 图 C1与 x轴交于A，B两点 (点 A 点B 左 )，与 y轴交于点C， 图 C1中 于 y轴左 部 关于 y轴 对称图 ，该 对称图 记为图 C2. (2)若直线 l:y=m(m 数)交图 C1于点D，E(点D 点E 左 )， 与图 C2交于点F，若 DF= 2EF， a与m 数 关系; (3) a= 13 时，连 BC，图 C2上 存 一点P，过点P PQ⊥直线BC， 足为点Q，连 CP， ∠CPQ= 2∠ABC？若存 ， 点P ;若不存 ，请说 . 2) 有些中等生其实是差在思维的熟练度，需要刻意强化练习，再灵活的题目，只要是你能抓住条 件去分析，得出一些结论，有时候分析方向有多个，结论有多个，需要你独立尝试 （鸡汤乱入：风景要自己看，美食要自己品，思考的活得自己干） 需要结合问题，对问题有帮助，就能做出来.做不出来可能是缺方法，可能是缺尝试等，多训练多积 累你就行. 3 常规压轴之二次函数角度处理：①处理二倍角怎么求三角函数；②处理二倍角的使用. step1:处理二倍角：将△OBC拎出来 (∠ABC=∠OBC) step2:使用二倍角 法①如图，根据垂直构造 k相似，设出点P和点Q坐标，直接相似可得： 设点P n, 13 n 2+ 23 n-1 ,Q t, 1 3 t-1 ,则由相似比 CQ PQ = 34 得 1 3 t t-n = 3 4 t 1 3 n 2+ 23 n-1- 1 3 t+1 = 34        ⟹ t = 7,P 7,20 ,优点，可一次性求点 P，Q，且方法简单粗暴；缺点：计算量大. 法②转化 tan∠PCQ= 43 ,先求K,再求直线CP，再求交点P. 优点：计算简单一些；缺点：需要转化以及构造直角求K需要熟练度. B C O D B C O D ①中 线 边； ②翻折，另 直角， 终找 二 角 三角函数 tan2∠ABC= tan∠CPQ= 34 ① ② x y A B C O C1 C2 备 图 P Q x y A B C O C1 C2 备 图 P Q K 三数学 10页 共6页