湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考（五）（1月）数学试卷

1 湖南师大附中 2025届高三月考试卷(五) 数 学 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合  0,1,2 , { | }A B x x c   ,若  0,1A B  ,则 c的最大值是（ ） A. 1 B.0 C.1 D.2 2.已知数列 na 的前 n项和公式为 2nS n n  ,则 na 的通项公式为（ ） A. na n B. 2na n C. 2 1na n  D. 2 1na n  3.以边长为 1的正三角形的一边所在直线为旋转轴,将该正三角形旋转一周所得几何体的体积为 （ ） A. 2 B. 2  C. 3  D. 4  4.已知圆 2 2: 4 2 4 0C x y x y     ,直线 : 3 0l mx y m    ,则直线与圆相交弦长的最小 值为（ ） A.4 B.2 C.6 D. 2 2 5.下列命题为真命题的是（ ） A.若 0a b  ,则 2 2ac bc B.若 0a b  ,则 2 2a ab b  C.若 0a b  ,则 2 2a b D.若 0a b  ,则 1 1 a b  6.已知 4cos sin 6 5         ,则 cos 2 3       （ ） A. 18 25 B. 7 25 C. 7 25  D. 18 25  2 7.已知函数   12 , 0, 2 2 ,0 1, ln , 1, x x f x x x x x         若函数      2 22 3 1g x m f x mf x   存在 5个零点,则m （ ） A.1 B. 1 2 C. 1或 1 2 D. 1 8.对于三元点集  1 2 3, ,P P P  ,若对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组  1 2 3, ,   , 使得 1 1 2 2 3 3OP OP OP    p    ,则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的 是（ ） A.    {0,0,0), 1,0,0 , 0,1,0 } B.       1,0,0 , 1,0,0 , 0,0, 1  C.      { 0,1,0 , 0,1, 1 , 0, 1,1 }  D.      { 1,0,0 , 0, 1,0 , 0,0, 1 }  二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分. 9.为了检测某车间生产产品的质量,质检部安排 A、 B两名质检员对该车间产品进行抽样检 查, A质检员从生产流水线上随机抽取 3件产品, B质检员从事先选定的 10件产品中随机抽取 3 件产品.假设该车间生产产品的次品率为 0.2,事先选定的 10件产品中有 2件次品,设 A、 B两名 质检员抽取的产品中次品的件数分别为 ,X Y ,则（ ） A.  1 0.384P X   B.   0.6E X  C.  1 0.45P Y   D.   0.6E Y  2.已知复数 1 2 3, ,z z z 是方程    2i 2 3 0z z z    的三个互不相等的复数根,则（ ） A. 1z 可能是纯虚数 B. 1 2 3, ,z z z 的实部之和为 2 C. 1 2 3, ,z z z 的虚部之积为 2 D. 1 2 3 1 2 3z z z    3 11.在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 190 , 2CAB AC AB AA      ,点 ,M N 分别是 1 1 1,BC A A 的中点,则下列说法正确的是（ ） A.异面直线 1AC 与 1AM 所成的角为 45  B. 11BC AB C.若点 P是 1 1AC 的中点,则平面 BNP截直三棱柱所得截面的周长为 4 5 2 172 3 3   D.点F 是底面三角形 ABC内一动点(含边界),若二面角 1B AM F  的余弦值为 3 3 ,则动点 F 的轨迹长度为 2 2 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12.在  51 ax 的展开式中, 3x 的系数为 80,则 a  . 13.已知定义在R 上的偶函数  f x 满足    2f x f x   ,当  0,1x 时,   2cosf x x .函 数    1 1 3g x x x     ,则  f x 与  g x 的图象所有交点的横坐标之和为 . 14.已知双曲线 2 2 2: 1 yC x b   ,在双曲线C右支上任意一点 P处作双曲线C的切线,交C在第 一、四象限的渐近线分别于 ,A B两点,O为坐标原点.当 1OPAS  时,该双曲线的离心率 为 . 4 四、解答题:本题共 5小题,共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13分) 在 ABC 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,且满足 2 sinbc A   2 2 23 b c a  . (1)求角 A的大小； (2)若 AD为 A 的平分线, 7, 3AD AB  ,求b的值. 5 16.(本小题满分 15分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD与 ABEF均为直角梯形.平面 ABCD 平面 , / / , / / , ,ABEF AD BC AF BE AD AB AB  2 2 2AD AB BC BE    ,且 1AF  . (1)已知点G为 AF 上一点,且 1AG  ,证明: / /BG 平面DCE ; (2)若平面DCE与平面 BDF 所成锐二面角的余弦值为 8 9 ,求点C到平面BDF 的距离. 6 17.(本小题满分 15分) 如图,椭圆   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     过点 31, 2       ,短轴长为 2 3 ,椭圆的左右顶点分别为 1 2,A A ,过椭圆C的右焦点 F 且与 y轴相交的线与椭圆相交于 ,A B两点,与抛物线 2: 4E y x 相交于 ,P Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若 1 2 3 2A AB A PQ S S  ,求直线 l在 y轴上截距的范围. 7 18.(本小题满分满分 17分) 已知函数    ln 2 af x x x a x    R . (2)讨论函数  f x 的单调性; (2)若   2 1f x x a   在  1,  上恒成立,求整数 a的最大值. 8 19.(本小题满分满分 17分) 伯努利试验中,设每次试验中，设每次试验中事件 A发生的概率为 )10(  PP . ① X 表示事件 A发生的次数,即称随机变量发生 X 服从二项分布，记作  ,X B n p . ②若用Y 表示事件 A首次发生所需的试验次数，则称随机变量Y 服从几何分布，记作  Y G p . （1）现有十种外形相同的钥匙，其中只有一把能够打开门.现任意一一试开，试对（Ⅰ）有放 回、（Ⅱ）不放回两种情形求“至多试 3次打开门”的概率. （2）一般地,分别写出服从二项分布的随机变量 X 和服从几何分布的随机变量Y 的分布列及数 学期望; （3）证明：服从几何分布且取值于正整数的随机变量Y 具有无记忆性,即    | ,P Y m n Y m P Y n     其中m和 n为正整数.并结合(1)说明几何分布具有无记忆性的实际意义: 提示:       1 1 lim n n k k E X kP X k kP X k                  .