精品解析：天津市河北区2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷

河北区2024-2025学年度第一学期期末高三年级质量检测 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，月橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：），分别为，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知，是两个平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 是奇函数，递减区间是 B. 是奇函数，递减区间是 C. 是偶函数，递增区间是 D. 是偶函数，递增区间是 6. 已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7 已知（），且，则m等于（ ） A. B. C. D. 6 8. 若函数（），①函数的最小正周期为，则；②当时，在区间上单调递增；③当时，为函数的一个对称中心；④若在上有且只有两个零点，则.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设F是双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上. 3.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上. 10. 若，则复数的虚部是________． 11. 已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为___________. 12. 已知抛物线C：（）的焦点F恰为圆的圆心，点P是C与圆的一个公共点，则点F到直线OP的距离为______. 13. 甲箱中有3个黑球，2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球，2个蓝球和2个红球（除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同）．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以，，表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则_____，____． 14. 如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M为直线与的交点，N为直线与的交点，若，，，且，，，则______，______. 15. 对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，内角A，B，C成等差数列. （1）求a的值及的面积； （2）求值. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，E是AD的中点，，. （1）证明：； （2）求平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值； （3）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 18. 已知直线经过椭圆C：（）的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为. （1）求椭圆C标准方程； （2）椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O：相交于点M（异于点A），M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q（异于点A）.设直线MN，PQ的斜率分别为，，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 19. 已知是首项为1的等差数列，其前n项和为，，为等比数列，，. （1）求数列和的通项公式： （2）求； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数（）. （1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，证明：对于任意，，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2024-2025学年度第一学期期末高三年级质量检测 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，月橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：A. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在性量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，原命题的否定为： . 故选：C 3. 某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：），分别为，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可得解. 【详解】将该组数据从小到大排列：，共8项， 又，所以该组数据的第60百分位数为第5项，即8. 故选：C. 4. 已知，是两个平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一判断四个选项得答案． 【详解】对选项A，若，，则，故A错误； 对选项B，若，，则，，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，则， 即一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，D正确． 故选：D 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数，递减区间是 B. 是奇函数，递减区间是 C. 是偶函数，递增区间是 D. 是偶函数，递增区间是 【答案】B 【解析】 【分析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断 【详解】的定义域为R，且， 所以函数为奇函数， 将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 在上单调递减. 故选：B 6. 已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据下标和性质求出，即可求出、，即可求出，再由求和公式计算可得. 【详解】因为等比数列单调递增，，则，又， 解得或（舍去），所以， 所以. 故选：D. 7. 已知（），且，则m等于（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由可得，进而可得答案. 【详解】因为， 所以 则 又 所以，则解得， 因为，所以， 故选：C. 8. 若函数（），①函数的最小正周期为，则；②当时，在区间上单调递增；③当时，为函数的一个对称中心；④若在上有且只有两个零点，则.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简得到，再由正弦函数的图象与性质逐项判断即可得解. 【详解】由题意可得 ， 对于①，若函数的最小正周期为，则，得，故①错误； 对于②，当时，，若，则， 根据函数在上单调递增， 所以在区间上单调递增；故②正确； 对于③，当时，， 因为， 所以 是函数的对称点，故③正确； 对于④，时，， 若在上有且只有两个零点， 则,即，解得，即，故④错误. 综上，正确结论的个数为2. 故选：C 9. 设F是双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，即， 到渐近线的距离为， ，则直角三角形的内切圆的半径， 如图，设三角形的内切圆与切于，则，， 可得，， 即，则， 所以， 由，，，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：直角三角形内切圆的半径. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上. 3.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上. 10. 若，则复数的虚部是________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】因为，所以, 所以复数的虚部是. 故答案为：. 11. 已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合二项式各项系数和可求得的值，进而可求得该二项式系数之和. 【详解】因为的展开式中，各项系数之和为，令，可得，解得， 因此，二项式系数之和为. 故答案为：. 12. 已知抛物线C：（）的焦点F恰为圆的圆心，点P是C与圆的一个公共点，则点F到直线OP的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得抛物线C：，联立方程求交点坐标，进而可得点F到直线OP的距离. 【详解】圆，即，可知圆心为，半径， 即，则，可得，抛物线C：， 联立方程，解得或， 根据对称性不妨取，则直线OP：， 所以点F到直线OP的距离为. 故答案为：. 13. 甲箱中有3个黑球，2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球，2个蓝球和2个红球（除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同）．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以，，表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则_____，____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式先求出，，，然后利用相互独立事件的概率公式以及条件概率的概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ， 故， ，， 所以， ， 所以． 故答案为：；． 14. 如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M为直线与的交点，N为直线与的交点，若，，，且，，，则______，______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】取为基底表示向量，再利用数量积的定义及运算律计算即得. 【详解】在中，由，得，即， 则，又， 则，所以； 由分别为的中点，得为的重心， 则， 而， 所以 . 故答案为：；. 15. 对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为函数与都是实数集上的增函数， 所以函数在R上单调递增，且， 当时，，所以当时，， 当时，， 由，即当时，恒成立， 即当时，，即恒成立， 设，则， 当且仅当，即，即时，等号成立， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，内角A，B，C成等差数列. （1）求a的值及的面积； （2）求的值. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的中项性质及三角形内角和定理可得，利用余弦定理即可出a的值，再由三角形面积公式即可求解； （2）利用正弦定理求出，根据同角三角函数的商关系求出，然后根据二倍角公式即可得出，最后根据两角和的正切公式即可求解. 小问1详解】 由角A，B，C成等差数列，可得， 结合三角形内角和定理，可得， 由余弦定理 ，代入已知条件得： ，化简得， 解得，或（舍去），所以， 又因为，所以， 由三角形面积公式 ，得：. 【小问2详解】 利用正弦定理，可得， ，则角A为锐角， 所以， 所以，， 故. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，E是AD的中点，，. （1）证明：； （2）求平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值； （3）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)首先证明线线垂直，得到线面垂直，在根据线在面内，得出线线垂直； (2)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求得平面的法向量，利用面面角和法向量夹角的关系，求得两平面夹角的余弦值； (3)借助第(2)小问的坐标系，写出点的坐标，从而求得所求向量的坐标，求出平面的法向量，利用直线与平面夹角的正弦值等于直线与法向量夹角的余弦值的关系，求得答案. 【小问1详解】 如图，连接与交点为,因为,, ,, 由，得,,, 所以,, 所以, 由,, 所以, 因为底面ABCD，平面, 因为,平面, 平面,又因为平面， 所以. 【小问2详解】 因为,,两两垂直，故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则,,, , 设平面的法向量， 则,即， 令，则，， 所以平面一个法向量为， 平面的一个法向量为 设平面PEC与平面BEC的夹角为， 则 【小问3详解】 ，，， ，, 设平面的法向量， 则，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角为， . 18. 已知直线经过椭圆C：（）的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O：相交于点M（异于点A），M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q（异于点A）.设直线MN，PQ的斜率分别为，，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）运用椭圆的几何性质，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程； （2）运用两点的斜率公式，分别计算线的斜率为，直线的斜率为，即可得证. 【小问1详解】 根据题意，，代入椭圆方程得， 得，所以，再根据，可得， 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 据题意，直线的斜率存在，且不为0， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，整理可得，所以或. 所以点的坐标为， 联立和， 整理可得，所以或. 所以点的坐标为. 显然，是圆的直径，故，所以直线的方程为. 用代替，得点的坐标为，即. 直线的斜率， 直线的斜率. 所以，为定值，得证. 【点睛】知识点点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，以及直线与圆的方程联立，解方程求交点，考查直线的斜率公式的运用以及“设而不求，整体代换的思想”，化简整理的运算能力，计算量较大． 19. 已知是首项为1的等差数列，其前n项和为，，为等比数列，，. （1）求数列和的通项公式： （2）求； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求出、的值，根据等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式； （2）求得，结合等差数列的求和公式可求和； （3）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，. 【小问2详解】 因为， ． 【小问3详解】 因为，． 令， 则，（） 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：（3）令，利用研究数列的单调性，从而找到其最大值. 20. 已知函数（）. （1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，证明：对于任意，，有. 【答案】（1）， （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解． （3）先写出函数解析式，再做差化简，再结合定义域范围得出差小于零即可. 【小问1详解】 ，则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得， 由，解得， 【小问2详解】 ，其中，函数定义域， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减， 当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减， 当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问3详解】 当时，, 对于任意的，有 因为,所以即得； 所以,进而得出 所以 所以. 【点睛】方法点睛：第二小问中，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论，分四种情况分别结合导函数的正负得出函数的单调性即可解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $