专题03 函数的单调性（5大题型）-2025年高二数学寒假精髓讲解与强化训练 (人教A2019选择性必修第二册）

专题03 函数的单调性 【题型归纳目录】 题型一：利用导数求函数的单调区间 题型二：函数图象与导函数图象的关系 题型三：已知单调性求参数的取值范围 题型四：判断、证明函数的单调性 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 情形二：函数为准一次函数 情形三：函数为二次函数型 1、可因式分解 2、不可因式分解型 情形四：函数为准二次函数型 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增； ②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 知识点诠释： 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间； 在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：，，，而在R上递增． 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 题型一：利用导数求函数的单调区间 【例1】函数的单调递增区间是 . 【答案】 【解析】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得， 故的单调递增区间是. 故答案为：. 【变式1-1】函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】，， 由，即，解得 ， ，即函数的单调减区间为， 故答案为： 【变式1-2】已知函数，函数的单调增区间为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 则， 由，可得，故函数的单调增区间为. 故答案为：. 【变式1-3】已知函数，写出函数的单调递减区间 ． 【答案】 【解析】，， 令，即，解得或. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 综上可知，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 知识点二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导， （1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减； （3）如果恒有，则函数在内为常数函数． 知识点诠释： （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 题型二：函数图象与导函数图象的关系 【例2】已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 【变式2-1】已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 【变式2-2】设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【解析】若单调递增，则，若单调递减，则， 对于A， 若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系， A正确； 对于B，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，B正确； 对于C，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，C正确； 对于D，若表示图像，恒成立，表示图像，有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系， 若表示图像，恒成立，表示图像， 有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系，D错误. 故选：ABC 【变式2-3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D； 当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B． 故选:A． 题型三：已知单调性求参数的取值范围 【例3】若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D 【变式3-1】函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 【变式3-2】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域是， 所以. 当时，，则在上单调递增，符合题意. 当时，由，得（负根舍去）， 所以当 时，单调递增； 当 时，单调递减. 依题意，函数在区间内存在单调递增区间， 所以，解得. 综上，. 故选：C. 【变式3-3】若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式3-4】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 知识点诠释： 1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集． 2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． 题型四：判断、证明函数的单调性 【例4】证明函数f(x)＝x＋sin x在R上是增函数. 【解析】证明：f′(x)＝1＋cos x， ∵－1≤cos x≤1，∴0≤1＋cos x≤2， 当且仅当cos x＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f′(x)＝0. ∴f(x)＝x＋sin x在R上是增函数. 【变式4-1】证明函数在区间上单调递减． 【解析】因为，所以， 当时，， 所以函数在区间上单调递减． 【变式4-2】已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 【解析】（1）因为， 所以， 依题意可得，即，解得， 所以. （2）证明：由（1）可得，则， 令，，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，即当时， 所以在上单调递增. 【变式4-3】已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增． 【解析】（1）因为， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由（1）知，， 因为，， 所以， 所以 设，则导函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以在上单调递增 知识点四、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 【例5】（2024·全国·高二专题练习）已知函数，求函数的单调区间． 【解析】由题意知：定义域为，； ①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式5-1】（2024·四川眉山·高二校考）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围． (2)求的单调区间. 【解析】（1）的定义域为，， 当时，，在单调递增，满足题意； 当时，令，解得（舍去）或，要使在上单调递增，则，所以. 综上，的取值范围为. （2）由（1）可知，当时，在单调递增， 当时，在单调递增， 令，解得，在单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式5-2】（2024·甘肃武威·高二统考）已知函数. (1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值； (2)求函数的单调区间． 【解析】（1）由已知可得，. 根据导数的几何意义可知，，即，所以. （2）由（1）知，，的定义域为. 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，由可得，. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 综上所述，当时，则在上单调递增；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 情形二：函数为准一次函数 【例6】已知函数.讨论的单调性； 【解析】∵，∴， ①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【变式6-1】（2024·云南师大附中模拟预测）已知函数，其中． 讨论的单调性； 【解析】 函数的定义域为，． 当时，由于在上单调递增，所以至多有一解； 又，则当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增． 【变式6-2】（2024·云南师大附中高三阶段练习）已知函数． 讨论的单调性； 【解析】 函数的定义域为，． 令，解得， 则有当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增． 情形三：函数为二次函数型 1、可因式分解 【例7】求函数的单调递减区间. 【解析】函数的定义域是，. ①当时，在上恒成立，故在上单调递减. ②当时，若，则； 若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可知，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为. 【变式7-1】已知函数，讨论的单调性. 【解析】函数的定义域为. . 当时，，若，则； 若，则0，所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，若或，则， 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，若或，则； 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式7-2】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【解析】（1）当时，，定义域为， ， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2），定义域为， ，令，得或. ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减； ③当时，对恒成立，所以在单调递增； ④当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增. 【变式7-3】设函数，其中．讨论的单调性． 【解析】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 2、不可因式分解型 【例8】已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）若，， 则，   所以函数在单调递增，   又，故有唯一的零点1. （2）因为， 令， ①当时，，在上，，所以单调递增． ②当时， 当时，， 在上恒成立，所以单调递增．   当或时，，令， 得， 当时，注意到， 所以当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．   当时， 注意到， 所以当或时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．    综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 【变式8-1】已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【解析】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 故切线方程为，即，所以恒过原点． （2）由（1）得， ①时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 令，则 ②且，即时，，在上单调递增， 时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减， 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增； 在上单调递减． 【变式8-2】（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性． 【解析】由题意知，定义域为，； 令，则. ①当，即时，（当且仅当，时取等号）， 在上单调递减； ②当，即时，令，解得，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 情形四：函数为准二次函数型 【例9】已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【解析】（1） ． （2）由题， 由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，， 在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 故当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 【变式9-1】已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 【变式9-2】设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【解析】（1）若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 【强化训练】 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 3．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 4．函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【解析】函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故选：C 5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得. 令，得，即函数的减区间为， 因为在区间上单调递减，所以， 所以，解得. 故选：B. 6．设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，即. 设，则，. ，，. 当时，， 在上单调递增，所以. 故选：B. 7．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设，，则， 由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，，即成立. 当成立时，可能有，，此时. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 9．若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知求导得：， 因为函数在区间上具有单调性， 所以或在上恒成立， 则在区间上，或， 因为在上递增，在上递减， 且， 所以的最大值为，的最小值为， 所以或. 故答案为： 10．函数的单调递增区间是 . 【答案】 【解析】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得， 故的单调递增区间是. 故答案为：. 11．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的取值范围是. 故答案为： 12．函数是上的单调增函数，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数求导得：， 因为函数是上的单调增函数， 所以，即， 又由，则，解得， 故答案为：. 13．函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数求导， 因为在区间上不单调，所以在区间内有零点. 又因为为偶函数，所以在上最多只有1个根. ，因为，， 所以. 故答案为： 14．已知函数，写出一个满足“在区间上单调递增，且”的区间为 ． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】由题意可知：函数的定义域为， 且， 令，解得， 可知的单调增区间为， 若满足“在区间上单调递增，且”，则， 例如，则符合条件的区间可以为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【解析】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 16．已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 【解析】（1）由题意知. ①当时，恒成立， 所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得， 即a的取值范围是. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. 17．已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【解析】（1）由题可得， 所以，即，切线方程为， 所以. 所以；. （2）由（1）得，，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的单调性 【题型归纳目录】 题型一：利用导数求函数的单调区间 题型二：函数图象与导函数图象的关系 题型三：已知单调性求参数的取值范围 题型四：判断、证明函数的单调性 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 情形二：函数为准一次函数 情形三：函数为二次函数型 1、可因式分解 2、不可因式分解型 情形四：函数为准二次函数型 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增； ②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 知识点诠释： 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间； 在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：，，，而在R上递增． 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 题型一：利用导数求函数的单调区间 【例1】函数的单调递增区间是 . 【变式1-1】函数的单调递减区间为 . 【变式1-2】已知函数，函数的单调增区间为 . 【变式1-3】已知函数，写出函数的单调递减区间 ． 知识点二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导， （1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减； （3）如果恒有，则函数在内为常数函数． 知识点诠释： （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 题型二：函数图象与导函数图象的关系 【例2】已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（  ） A．   B．   C．   D．   【变式2-3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   题型三：已知单调性求参数的取值范围 【例3】若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-2】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 知识点诠释： 1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集． 2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． 题型四：判断、证明函数的单调性 【例4】证明函数f(x)＝x＋sin x在R上是增函数. 【变式4-1】证明函数在区间上单调递减． 【变式4-2】已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 【变式4-3】已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增． 知识点四、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 【例5】（2024·全国·高二专题练习）已知函数，求函数的单调区间． 【变式5-1】（2024·四川眉山·高二校考）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围． (2)求的单调区间. 【变式5-2】（2024·甘肃武威·高二统考）已知函数. (1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值； (2)求函数的单调区间． 情形二：函数为准一次函数 【例6】已知函数.讨论的单调性； 【变式6-1】（2024·云南师大附中模拟预测）已知函数，其中． 讨论的单调性； 【变式6-2】（2024·云南师大附中高三阶段练习）已知函数． 讨论的单调性； 情形三：函数为二次函数型 1、可因式分解 【例7】求函数的单调递减区间. 【变式7-1】已知函数，讨论的单调性. 【变式7-2】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【变式7-3】设函数，其中．讨论的单调性． 2、不可因式分解型 【例8】已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【变式8-1】已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【变式8-2】（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性． 情形四：函数为准二次函数型 【例9】已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【变式9-1】已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式9-2】设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【强化训练】 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 9．若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 10．函数的单调递增区间是 . 11．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 12．函数是上的单调增函数，则a的取值范围是 . 13．函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是 . 14．已知函数，写出一个满足“在区间上单调递增，且”的区间为 ． 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 16．已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 17．已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 学科网（北京）股份有限公司 $$