专题04 函数的极值与最大（小）值（12大题型）-2025年高二数学寒假精髓讲解与强化训练 (人教A2019选择性必修第二册）

专题04 函数的极值与最大（小）值 【题型归纳目录】 题型一：求函数的极值 题型二：由极值求参数的值或取值范围 题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 题型四：不含参函数的最值问题 题型五：含参函数的最值问题 题型六：由函数的最值求参数问题 题型七：导数在解决实际问题中的应用 题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题 题型九：利用导数研究恒成立问题 题型十：利用导数研究不等式问题 题型十一：利用导数证明不等式 题型十二：利用导数研究零点问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 知识点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较． （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 知识点诠释： ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 题型一：求函数的极值 【典例1-1】下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值为0 B．有极小值，且极小值为 C．有极大值，且极大值为0 D．有极大值，且极大值为 【变式1-1】已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 题型二：由极值求参数的值或取值范围 【典例2-1】当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 【典例2-2】若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-1】已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 【典例3-1】已知函数. (1)求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【典例3-2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内有且只有一个零点，求的值． 【变式3-1】已知，函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数的减区间是，求a的值； (3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 【变式3-2】已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 知识点二、函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 知识点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得． ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 知识点诠释： ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可． ②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值． （三）最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 题型四：不含参函数的最值问题 【典例4-1】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 【典例4-2】已知函数，． (1)求的单调递增区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【变式4-1】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最值． 【变式4-2】已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)求函数在上的值域． 【变式4-3】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 题型五：含参函数的最值问题 【典例5-1】已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【典例5-2】已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 【变式5-1】已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 题型六：由函数的最值求参数问题 【典例6-1】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【典例6-2】若函数在上的最小值为4，则 ． 【变式6-1】已知函数，且的最小值为0，则的值为 ． 【变式6-2】若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 . 题型七：导数在解决实际问题中的应用 【典例7-1】现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 【典例7-2】对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本y（单位：万元）和生产收入z（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，分别为，. (1)试写出该企业获得的生产利润w（单位：万元）与产量x之间的函数关系式； (2)当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？ 【变式7-1】某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，）的税收．设每件产品的售价为x元，根据市场调查，日销售量与（e为自然对数的底数）成反比．已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件． (1)求该商店的日利润元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该商品的日利润最大，并求出的最大值． 【变式7-2】某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题 【典例8-1】已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【典例8-2】已知函数. (1)若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 【变式8-1】设函数． (1)讨论的单调性； (2)已知为的两个极值点，证明：． 【变式8-2】已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 知识点三、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 题型九：利用导数研究恒成立问题 【典例9-1】已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 【典例9-2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【变式9-1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 【变式9-2】设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 题型十：利用导数研究不等式问题 【典例10-1】定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知可导函数的导函数，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 知识点四、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 题型十一：利用导数证明不等式 【典例11-1】已知函数. (1)若，且恰有3个零点，求的取值范围； (2)若，证明:当时，. 【典例11-2】当时，证明：. 【变式11-1】已知函数． (1)当时，证明：存在唯一零点； (2)当时，证明：． 【变式11-2】已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式： 知识点五、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 题型十二：利用导数研究零点问题 【典例12-1】已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 【典例12-2】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 【变式12-1】已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 【变式12-2】已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【强化训练】 1．已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 4．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 5．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为 . 8．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 9．已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 10．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 11．已知函数. (1)当时，求曲线上过点的切线的方程； (2)若__________，求实数的取值范围. ①在区间上单调递减； ②在上存在单调递减区间； ③在区间上存在极小值. 从这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 12．已知函数． (1)若，证明：； (2)若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 13．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 14．已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)求函数在上的最小值. 15．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 16．已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； 17．函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 18．已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数的极值与最大（小）值 【题型归纳目录】 题型一：求函数的极值 题型二：由极值求参数的值或取值范围 题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 题型四：不含参函数的最值问题 题型五：含参函数的最值问题 题型六：由函数的最值求参数问题 题型七：导数在解决实际问题中的应用 题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题 题型九：利用导数研究恒成立问题 题型十：利用导数研究不等式问题 题型十一：利用导数证明不等式 题型十二：利用导数研究零点问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 知识点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较． （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 知识点诠释： ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 题型一：求函数的极值 【典例1-1】下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 【典例1-2】已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值为0 B．有极小值，且极小值为 C．有极大值，且极大值为0 D．有极大值，且极大值为 【答案】D 【解析】由，得， 令， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以时，函数有极大值为 故选：D 【变式1-1】已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得， 但是时，不一定是函数的一个极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件， 故选：B 【变式1-2】函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 题型二：由极值求参数的值或取值范围 【典例2-1】当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题设，则，又， 所以，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 所以为极大值点，满足题设， 故. 故选：B 【典例2-2】若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 【变式2-1】已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B 【变式2-2】若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 当时，二次函数开口向上，且， 此时，即恒成立， 所以在上单调递增，此时不存在极大值，故不满足题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故符合题意； 当时，或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2-3】若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为既有极大值又有极小值， 且， 所以有两个不相等的正实数解，所以且，解得且. 故选：B 题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 【典例3-1】已知函数. (1)求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为， 且 令，解得或，则函数在上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 则，， 且当时，，当时，， 要使得函数有三个零点，则需满足， 解得， 综上可得，实数的取值范围. 【典例3-2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内有且只有一个零点，求的值． 【解析】（1）， 当时，，得或，，得， 函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，，得或，，得， 函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，恒成立，函数在单调递增. 综上可知，当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无减区间. （2）由条件可知，， 由（1）可知，当时，若函数在有且只有一个零点， 则，解得：， 当时，函数在单调递增，所以无零点， 所以. 【变式3-1】已知，函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数的减区间是，求a的值； (3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 【解析】（1）， 当时，， ， 在点处的切线方程为，即 （2）函数的减区间是(-1，4)， 而 令，当时，，单调递减，， 当时，，单调递减，不符合题意， 当，无实数解，不符合题意, 故. （3）= 令，所以， 令得， 当时，；当时， 故在上递减；在上递增 所以，即， 所以， 实数的取值范围是. 【变式3-2】已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）函数的导数， 当时，； 当时，. 所以的单调递减区间为. （2）由（1）得：当时，取得极大值； 当时，取得极小值. 由三次函数性质知：当时，； 当时，. 所以若有三个零点，则，解得. 所以的取值范围为. 知识点二、函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 知识点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得． ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 知识点诠释： ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可． ②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值． （三）最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 题型四：不含参函数的最值问题 【典例4-1】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 【解析】（1）函数的定义域是， . 令，解得或. 当x变化时，，的变化情况如下表： 1 2 + 0 0 + 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）可知在区间内， 当时，取得极小值. 由，，， 得， 所以在区间上的值域为. 【典例4-2】已知函数，． (1)求的单调递增区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【解析】（1），令，得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以单调增区间为和，单调减区间为， 所以的极大值为，极小值为． （2）由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为1，最小值为． 【变式4-1】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最值． 【解析】（1），令，解得， 当时，，所以的增区间为， 当时，，所以的减区间为， 所以的增区间为，减区间为． （2）由（1）可知，在上的极小值， 又因为，， 故最大值为，最小值为． 【变式4-2】已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）函数的定义域为， 又， 由，解得或；由，解得. 故函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为. （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值，所以， 又，，所以， 所以函数在上的值域为. 【变式4-3】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【解析】（1）定义域为，且， 令，令， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知：当时，取得极小值， ，因此为最大值， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 题型五：含参函数的最值问题 【典例5-1】已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【解析】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 【典例5-2】已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. （2）因为， （ⅰ）当时，恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以； （ⅱ）当时，由，解得或， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减； ①当时，即，所以函数在上单调递减， 所以； ②当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以当时，，当时，， 当时，， 所以， 综上所述，当时，；当时，. 【变式5-1】已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 【解析】（1）由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 【解析】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为， ， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为． . 题型六：由函数的最值求参数问题 【典例6-1】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【典例6-2】若函数在上的最小值为4，则 ． 【答案】/ 【解析】，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为在上的极小值，也是最小值， 故，解得. 故答案为： 【变式6-1】已知函数，且的最小值为0，则的值为 ． 【答案】 【解析】的定义域为， ， 当时，，在上为减函数，此时无最小值，不合题意； 当时，令，得；令，得， 在上为减函数，在上为增函数， 所以， 令，， 令，得，令，得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以当时，取得最大值， 故. 故答案为：. 【变式6-2】若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 题型七：导数在解决实际问题中的应用 【典例7-1】现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 【解析】（1）因为材料利用率为， 所以，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故， 综上，，； （2）铁皮盒体积， ，令，得 的变化情况如下： 20 + 0 - 在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值， 最大值为. 【典例7-2】对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本y（单位：万元）和生产收入z（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，分别为，. (1)试写出该企业获得的生产利润w（单位：万元）与产量x之间的函数关系式； (2)当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？ 【解析】（1）因为总利润＝总收入－总成本，即， 所以， 即. （2）根据导数公式表及导数的运算法则，可得， 解方程，得，， 当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 又，所以函数在处取得最大值，此时最大值为1340. 即该企业的产量为15t时，可获得最大利润，最大利润为1340万元. 【变式7-1】某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，）的税收．设每件产品的售价为x元，根据市场调查，日销售量与（e为自然对数的底数）成反比．已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件． (1)求该商店的日利润元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该商品的日利润最大，并求出的最大值． 【解析】（1）设日销售量为，则， 则，且日销售量为件， 所以日利润，． （2）由（1）得，则． 因为，则， ①当时，则， 当时，，在内单调递减． 可知当时，取最大值，最大值为； ②当时，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则当时，取最大值，最大值为． 综上所述：. 【变式7-2】某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 【解析】（1）X的可能取值为0，1，2， ，，， X的分布列如表： X 0 1 2 P . （2）按原计划生产药材每箱平均利润为（元）， 则增加箱药材，利润增加为元，成本相应增加元， 所以增加净利润为. 设（或），则， 当时，， 当时，，且， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 所以需要增加产量，增加20箱最好. 题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题 【典例8-1】已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1），由，可得时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 时，函数取得极小值即最小值； （2）对分类讨论： 若，则，不存在，使得成立； 若，则，满足题意； 若，由(1)可知，函数的最小值为，所以，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 【典例8-2】已知函数. (1)若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 【解析】（1）的定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ∴； （2）由题意， ∵有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，， ∵，∴， 又，解得， ∴ ， 设（）， 则， ∴在上单调递减， 又，， ∴， 即的取值范围为. 【变式8-1】设函数． (1)讨论的单调性； (2)已知为的两个极值点，证明：． 【解析】（1）由，， 得， 令， ①当时，，则，所以在单调递增； ②当时，，令，则，解得或， i)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ii)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，当且时，有2个极值点，且， 则 ， 令，， 设，则， 则在单调递增，即在单调递增， 又， 所以当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以，所以当且时，， 所以，即． 【变式8-2】已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 【解析】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，，由求得或， 当时，，函数递增，当时，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得， 令解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当 时， 取得极小值， 无极大值， 所以 ， 所以在区间上，的最大值为或，而． 所以在区间上的最大值为4，最小值为． 知识点三、不等式恒成立，求参数范围问题． 一些含参不等式，一般形如， 若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题． 若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论． 题型九：利用导数研究恒成立问题 【典例9-1】已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 【解析】（1），， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2），则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 【典例9-2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）因为，，所以. 若，则恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）方法一：当时，，不符合恒成立. 当时，由（1）可知，. 因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为. 方法二：恒成立等价于恒成立. 令，则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. 【变式9-1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 【解析】（1）由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. （2）当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. （3）我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【变式9-2】设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 【解析】（1）由题意得， ∴的最小值为， 即． （2）记，， 则． 令，得或（舍去）． 当t变化时，，的变化情况如下表所示． t 1 + 0 极大值 ∴在内有最大值． ∵对任意恒成立， ∴对任意恒成立， ∴，∴． ∴实数m的取值范围为． （3）∵， ∴． 令，得或（舍去）． 当时，，递增； 当时，，递减， ∴当时，． 令，，则． 由题意可知， 解得． ∴实数n的取值范围为． 题型十：利用导数研究不等式问题 【典例10-1】定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，因为，所以在上单调递减. 因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为. 故选：B. 【典例10-2】已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， ∵，且， ∴， ∴， ∴在上恒成立， ∴在上单调递减， ∵， ∴，即， ∴，解得. 故选：A. 【变式10-1】已知可导函数的导函数，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由， 得：， 故函数在递减， 由为奇函数，得， ，即， 不等式， ，即， 结合函数的单调性得：， 故不等式的解集是， 故选：． 【变式10-2】设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，根据已知条件，可判断出的奇偶性和单调性，且，将求不等式的解集，转化成求的解集，即可得出答案.根据题意，设函数， 由于当时，， 即： 所以， 则在上为减函数， 因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则， 所以在上为奇函数，则在上也为减函数， 由于，所以， 即，， 因为， 要求不等式，即求， 解得：或， 则不等式的解集为：. 故选：A. 知识点四、证不等式问题． 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题． 题型十一：利用导数证明不等式 【典例11-1】已知函数. (1)若，且恰有3个零点，求的取值范围； (2)若，证明:当时，. 【解析】（1）由，得或，由恰有3个零点， 得方程有两个不等的非零根，而，则， 又，于是，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，， 当时，令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，，因此， 所以. 【典例11-2】当时，证明：. 【解析】证明：令， 则，， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即， 所以当时，. 【变式11-1】已知函数． (1)当时，证明：存在唯一零点； (2)当时，证明：． 【解析】（1）的定义域为， 当时，，注意到，即1是函数的零点， 下证1是的唯一零点， 易知1是函数的唯一零点， 设函数，则． 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以， 所以，所以单调递增，而， 所以1是函数的唯一零点， 所以1是函数的唯一零点，证毕． （2）设函数，则， 由（1）知，结合， 可得， 故，所以在区间单调递增， 又，所以当； 当时，． 综上所述，当时， 【变式11-2】已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式： 【解析】（1）， 当时，不等式显然成立， 当时，恒成立，令，则 因此时，，时，， 所以在单调减，在单调增， 所以当时，，              当时，恒成立，令，此时恒成立， 所以在单调减，而时，且， 所以当时，，        综上. （2）方法1：由（1）知恒成立当且仅当时等号成立 ，     所以，当且仅当时成立，      所以，          所以.     方法2：设， 则，设， 则，    当时，， 当时，， 当时， 所以在上恒成立，所以在上递增 ，      又，所以在上，在上， 所以在上是减函数，在上是增函数，所以，          所以. 知识点五、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题） 一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题， 我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 题型十二：利用导数研究零点问题 【典例12-1】已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 【解析】（1）定义域为，且， 令，得． 当x变化时，，的变化情况如下表： x + 0 极大值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知的最大值为， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 又，故在区间上只有一个零点． ②当时，，， 则，所以在区间上无零点． 综上，当时，在区间上只有一个零点， 当时，在区间上无零点． 【典例12-2】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 【解析】（1）由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. （2）因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 【变式12-1】已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 【解析】（1）证明：当时，设， 则． 由函数和均在上单调递增， 知在上单调递增，且， 所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增, 所以， 即在上恒成立． （2）由，得． 令，则f（x）有2个零点等价于函数的图象与直线有2个交点． 令，得， 当时，； 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当x趋向于正无穷时，趋向于0，且函数值大于0． 作出函数的大致图象，如图所示． 结合图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点， 即有2个零点，故a的取值范围是． 【变式12-2】已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【解析】（1）， ， 所以,解得. （2）， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， ， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，,时，， 所以实数m的取值范围为． 【强化训练】 1．已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点，由，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令函数，求导得，而， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可以作函数的三条切线，得有3个不等实根， 即函数有3个零点，所以. 故选：D. 2．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 3．当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题设，则，又， 所以，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 所以为极大值点，满足题设， 故. 故选：B 4．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 5．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极大值，也是最大值，为， 解得，不符合题意； 若，则当时，，且不恒为0， 故在上单调递减，，不符合题意； 若，则当时，，在上单调递减， ，解得，符合题意. 故选：D. 6．（多选题）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，函数在上单调递增，在和上单调递增， 所以函数在和上单调递增，没有极值点； 对于B，函数为偶函数， 且当时单调递增， 所以当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值； 对于C，易知函数在上单调递减，没有极值点； 对于D，函数，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值. 故选：BD. 7．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为 . 【答案】 【解析】当时，. 令，， 在上单调递减，在上单调递增， 则， 的最小值为. 故答案为：. 8．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 【解析】（1）因为，， 所以， 所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． （2）函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 9．已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． （2），， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 10．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 则， 所以所求切线方程为，即； （2），即， 即，即对恒成立， 令，则， 当时，，当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 11．已知函数. (1)当时，求曲线上过点的切线的方程； (2)若__________，求实数的取值范围. ①在区间上单调递减； ②在上存在单调递减区间； ③在区间上存在极小值. 从这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）当时，， 所以，则有 ①当点为切点时，，根据函数导数的几何意义可得，函数的图象在点处的切线方程为； ②当点不是切点时，设切点为， 则可得切线方程为. 因为， ， 所以切线方程为， 代入点的坐标化简可得， 解得或（舍）， 所以切线方程为. 综上可得，过点的切线方程为或. （2）因为. 若选①，函数在区间上单调递减， 则有在区间上恒成立，且等号不恒成立， 即在上恒成立， 解得， 即实数的取值范围是. 若选②，函数在上存在单调递减区间， 则有在区间上有解，即在区间上有解. 令， 因为在区间上单调递减， 所以当时，， 故有， 即实数的取值范围是. 若选③，函数在区间上存在极小值， 则有函数的极小值点落在内. 令，恒成立， 求得， 令，解得或；令，解得或， 此时可得在上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极小值点， 即得， 所以当时，不等式恒成立； 当时，， 解得. 综上可得，. 即实数的取值范围是. 12．已知函数． (1)若，证明：； (2)若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，其中，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，；当时，. 所以，函数的减区间为，增区间为，所以，， 因此，对任意的，. （2）设切点坐标为，由题意可得， 所以，， 可得，即，其中， 当时，等式显然不成立，所以，， 所以，，令，其中， 则实数的取值范围即为函数的值域，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以，， 当时，；当时，， 且当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 由可得或，即实数的取值范围是. 13．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【解析】（1）因为，所以， 所以. 由或. 所以当，所以， 所以在上单调递增， 所以. （2）的定义域为， ， 由. ①当，即时，或. 所以在上单调递增， ； ②当，即时，由或. 由. 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，由. 所以在上单调递减，. 综上， 14．已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)求函数在上的最小值. 【解析】（1）， 由已知得，即，解得， 当时，在处取得极小值，所以. （2）由（1）得， 则， 令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ①当时，在上单调递增， ； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ； ③当时，在上单调递减， 综上，在上的最小值. 15．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 【解析】（1）依题意，函数的定义域为， ∴，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则；令，则， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． （2）若，由（1）可知，函数在上单调递增，不存在最大值，与题意不符， ∴， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得， ∴a的值为． 16．已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； 【解析】（1）当时，，故， ，，切点为， 曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，， ， 令，解得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值； 17．函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【解析】（1）当时，，定义域为， 则. 令，得或； 令，得， 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. （2）函数，定义域为， 则. 令，得或. ①当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ②当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ③当时，，则恒成立， 故函数在上单调递增，无极值. 综上，当时，的极大值为，极小值为； 当时，的极大值为，极小值为； 当时，无极值. 18．已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 【解析】（1）证明：当时，设， 则． 由函数和均在上单调递增， 知在上单调递增，且， 所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增, 所以， 即在上恒成立． （2）由，得． 令，则f（x）有2个零点等价于函数的图象与直线有2个交点． 令，得， 当时，； 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当x趋向于正无穷时，趋向于0，且函数值大于0． 作出函数的大致图象，如图所示． 结合图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点， 即有2个零点，故a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$