四川省绵阳市2024-2025学年高三上学期第二次诊断性考试（1月二模）数学试题

秘密★启用前【考试时间：2025年1月15日15：00-1700】 绵阳市高中2022级第二次诊断性考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在然题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答愿卡上对应题目的咨案标号徐聪。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无从。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z满足(2)，则lz= A.2 B.3 C. D.√5 2.已知集合A={,x对，B=x,24(y1)2=I,则集合AB中元赛的个数为 A.2 B.1 C.0 D.不确定 3.直三核柱ABC-AB1C中，AB=ACAA,AB⊥AC,则AB,与BC所成的角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° 4.若直线1：x+2y-3-0与直线k2:-2y叶1=0（∈R)平行，则这两条直线间的距离为 A. B.25 c D 45 5.己知等比数列{an}的前n项和为，若8S。=7S,则公比F A.92 C.g2 6.已知过点P2,-I)的直线I与抛物线y=2x交于点A,B两点，若A,B的纵坐标分 别为，2，则y+y+) A.-4 B.-3 C.0 D.2 数华议题卷第」页（先4页） 7.已知正四棱台ABCD-A1B1CD1中，AB=2A1B1=4,可在该正四棱台中放入的最大球的 体积为Ex,则点A到平面BCCB,的距离为 A. 26 c.5 D.5 2 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，若函数f()-gx) 的值域为-4,1小，则函数∫(2x)+g(2x)的最小值为 A.-16 B.-4 C.-1 D.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分」 9.对于函数f()=sinx+V5 cosx,g()=V5sinx-cosx,则 A.f(x)与gx)的图象有相同的对称轴 B.f(x)与gx)有相同的最小正周期 C.将/图象向右平移号个单位，可得到g图象 D.f(x)图象与g(x)图象在(0，)上只有一个交点 10.设函数∫闭=x-anx-乌a,b∈R,则下列说法正确的是 A,(x)一定存在单调递减区间 .存在a,b,使得f(x)没有最值 C.若∫x)既有极大值，又有极小值，则a>2√6 D.令a=2,b=-3,当0<x<3时，f(6-x)>f(x) 小.已知圆C:xX2+0-2)2=1,双曲线C2: 苦-苦=1o>06>0的左，右焦点分 别为F,F2,P为双曲线C2右支上的一点，直线PF2的斜率恰好为该双曲线的离心 率e,且△PFF2为直角三角形，则 A.e的值唯一 B.IPFE C.1<e<2 D.C的渐近线与C共有4个公共点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a(2,1),b=(3,-3),则ab= 13.已知a+月=子，6ana+am月=3，则cosa-0- 14.在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱 好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是 D 正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2 的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶 点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A,B,C, D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点， 且PD平面ABC,则P点的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+b=2 ccos B. ()若C=,求B: (2)若a=1,b=3,求c. 16.(15分) 已知函数f(x)=e-ax+1. (1)若a0时，求曲线∫(x)在(1,1)》处的切线方程： (2)若1<a<e时，f(x)在区间[0,1]上的最小值为3-2ln2,求实数a的值. 17.(15分) 已知数列{a,}是公差大于0的等整数列，数列d)的前n项和为n· a ant (1)求数列{a}的通项公式： (k,n=a (2)设b,= kEN'. 2,a<n<a (i)试写出，b2,么的值： (i)求数列凸，}的前20项和S0 数学试题卷第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥AC,点E为 PD的中点，且AE=AD-2,CD-22. (1)求证：AC⊥BE: (2)若二面角E-AC-D的平面角的余弦值为 3 求三棱锥P-ACD的体积： B (3)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的 最大值。 19.(17分) 如图，已知面积为8√5的矩形ABCD,与坐标轴的交点E,F,G,H是椭圆厂 兰+节-0>6>)的西个预点且该精圆的离心率为片 (1)求椭圆T的标准方程： (2)O为坐标原点，过下顶点F的直线与x轴相交于点P(不同于O),，与直线 AD相交于点R,与椭圆厂相交于点M,直线HM与直线CD相交于点2， (i)证明： IOPI_IDOl IOGI IDGI ()设线段R的中点为S,IJ为椭圆T上的两点，且直线S,与椭圆Γ都 仅有一个公共点，OTL山，垂足为T.探究：是否存在定点K,使得TK为定值？若存 在，求点K的坐标以及此定值：若不存在，请说明理由。 E B高中2022级第二次诊断性考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.D2.A3.C4.B5.D6.B7.A8.C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.BCD 10.BC 11.ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分： 12.3: 14.3+2万 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)：a+b=2 c cos B, 由正弦定理得：sinA+sinB=2 sinCcos B, …2分 又C=至，则sn4-cosB, ∴cosB+SinB=2c0sB,+ 小…4分 .anB=l,又B是三角形内角，…5分 .B= 4 …6分 (2).a+b=2ccosB,b=3,a=1, CC0sB=2,… …8分 ：c.a2+c-b22. …9分 2ac .a2+c2-b2=4a,…… …11分 .C=2W5. …13分 16.解：(1)a=0时，f(x)=e+l,f)=e+1,且f'(x)=e,…2分 .k=f(0)=,…4分 故切线方程为：y(e+1)=ex-1),即er-y叶l=0:… …6分 (2）f(x)=e-a,e2e[l,],…7分 由1<a<e,存在x。e[0,刂，使得f'(x)=0,即e=a,=na,…9分 当xe0,x)时，∫'(x）<0,fx)单调递减：…10分 当x∈(x。,刂时，∫(x)>0,f(x)单调递增，…11分 故f(x)mo=f(xo）=e-ax。+1=a-alna+1=3-2ln2,…12分 参考答案第1页，共7页 令g(@)=a-alna+1,g'(a)=1-(I+lna）=-lna<0,…13分 g()在（山，e)上单调递减，…14分 易知g(2)=3-2n2,所以a=2,…15分 17.解：(1)设数列{an}的公差为d, 令n=1,得=，所以6@2=4，……2分 令n=2,得1+=号所以a,4=28,…4分 aaz aas 7 数列{an}的公差大于0， .4=1,d=3,所以an=3n-2:… …6分 (2)(i)e1时，n=1,则=1： …7分 k=l时，1=a%<2<3<a4=4,… 8分 b2=2=2,b3=2=2:…9分 (i)由题意可知：a%<a%+1<a%+2<a41,…10分 ①当n=a4时，b=k,则b=n,b2=n:…11分 ②当n=ak+1时，b州=2，则b州=2”，6n1=2”:…12分 ③当n=ak+2时，b+2=2*，则b。+2=2”，6n=2”，…13分 .S3n=+h2+b3+…+bm =(6+b4+…+bm-2）+(62+b5+…+b3m-)+(63+b+…+bn) =(0+2+…+)+(2+22+…+2")+(2+22+…+2 -mn+D+20-22×2 2 1-2 =77十+2n+2-4,…14分 2 50=S1-h1=78+2-4-27=408. …15分 2 18.解法一：(1)证明：如图1，设AC的中点为F,连接BF并延长交CD于点G, G 参考答案第2页，共7页 易知△ABC为等边三角形，且BG⊥AC,…1分 在△ACD中，AC=AD=2,满足AC+AD2=CD2, AD⊥AC,则G为CD中点，…2分 又点E为PD中点，G为CD中点， ∴.EGIIPC,又PC⊥AC, AC⊥EG,… …3分 而BG,EG均在平面BEG内，且BGNEG=G, .AC⊥平面BEG,BES平面BEG, ∴.AC⊥BE …5分 (2)因为AC⊥平面BEF,则AC⊥EF,AC⊥FG,……6分 因此∠EFG即为二面角E-AC-D的平面角， cos∠EG=5 写，而AE=2,…7分 .在△EFG中，EF=√AE2-AF2=√5，由余弦定理得EG=√5，…8分 .EG+FG2=EF2,则EG⊥FG,… ……9分 ∴，EG⊥平面ABCD,PC⊥平面ABCD,EG=√2，PC=22, 由AD⊥AC,则△ACD的面积为2，………10分 三棱锥P-ACD的体积V=x2x25-4 3 3 (3)由PCIIEG,则直线PC与平面ACE所成角即为直线EG与平面ACE所成角， 由(1)可知AC⊥平面BEG,ACS平面ACE, .平面BEG⊥平面ACE,因此∠FEG即为所求角，………12分 思路一：在△EFG中，EF=√，FG=1,由正弦定理： EF FG sin∠EGF sin∠FEG' …13分 sin∠FEG-sin∠EGF …14分 5 当sin∠EGF=1,即如(2)中EG⊥平面ABCD时， …l5分 sin∠FEG=sin∠EGF-V5 53 小小16分 直线PC与平面ACE所成角的正弦值为 ……17分 思路二：在△EFG中，EF=V5,FG=1, 故点G在以F为圆心，1为半径的圆上，……12分 当EG与该圆相切时，即如(2)中EG⊥平面ABCD时，∠FEG最大，…14分 此时sin∠FEG= 1_V3 …6分 √53 参考答案第3页，共7页 直线PC与平面ACE所成角的正弦值为 …17分 解法二：(1)证明：易知△ABC为等边三角形在△ACD中，AC=AD=2, 满足AC2+AD2=CD2,AD⊥AC, …1分 以A为坐标原点，建立上如图所示的空间直角坐标系Ax, 设点hhR.000.20,.-6,0a2生2， 易知C0,0.0,c2-x-,-小丽-(-1，生2+5，》 …2分 由PC⊥AC,则2(2-x=0,则x=2,…… …3分 则E0生2+5， …4分 ∴.AC.BE=0,则AC⊥BE: ……5分 (2)由(1)可知AC⊥平面BEG,ACS平面ABCD, 平面BEGL平面ABCD,…6分 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-, 设点E(1,m,m)(m<2,>0),易知AC=(2,0,0),OE-(1,m,), 设平面ACE的法向量为：n=(x,y,), :/s0 +网+E=0'不妨令：=m,则平面4CE的一个法向量为：m=0,,m, 又平面ACD的一个法向量为n2(0,0,1),…7分 ∴cos<u,>=h:%L=m=E |%11xVm2+m3’ 8分 1AE=V1+m2+n2=4,则m2+n2=3, 解得：n=√2，则点E到平面ACD的距离为√2， 由E为PD的中点，则点P到平面ACD的距离为2√2，……9分 在△ACD中，AC=AD=2,满足AC2+AD2=CD2, 参考答案第4页，共7页 ADLAC,则△ACD的面积为2，…+10分 三楼维PC0的体职-2x2 …分 3 (3)由PCI/EG,则直线PC与平面ACE所成角即为直线EG与平面ACE所成角，设为8， 由G-(1,1,0),则EG=(0,1-m,-),… ……12分 ÷sin0=c.al-上m0-m）-ml.-1-m-mml。nl …13分 1EG4l50-m)2+m5-m2+n234-2m .'.sin20 P23-m2=1m-3_1(m-2y+4m-2)+1 ……14分 3(4-2m)3(4-2m)6m-26 m-2 一-4 =-22-m+2-m 6 ≤-2-m2 1 -4到=（当且仅当m1时，等号成立）…16分 即si血0的最大值为 3 直线PC与平面ACE所成角正弦值的最大值为 …7分 3 19.解：(1)由已知得，2a×2b=8√5，即ab=25, …1分 又离心率为号则02=心， 62+c2=a2,所以3女=B,即5a=2b, …2分 4 ∴.a=2,b=√5， …3分 ∴椭圆的标准方程为： …4分 (2)设点M0,为，则点M满足：空+公=1，则-3-3， 4 3 4 由已知可得FO,-√5)，H0,√5)，设直线MF与MH的斜率分别为k,k, 6=+5,与=为-5 …5分 直线MF与M州的斜率之积满足：片6=为+5.为-5-2-3.-3 2 ……6分 4 (i)D2,5),G2,0),则|DG=5,IOG=2, PF的方程为：y=-5,令y=0,则P, IOP …7分 1k1 参考答案第5页，共7页 直线H0的方程为：y=2x+V5,令x=2,可得Q2,2k+5), ∴.1D0=2|k2l, OP-DG3 …8分 1k1 1k1 33 且IOGD0F2×2IkF4|k2卡4× …9分 4k1k1 ∴.IOPIDGHOG升lDQI: …10分 在K(径，23，使得TN定值，理由如下：…… 5 设点S(x0,y%)，I(x)，J(x22), ①当过椭圆上点1(：，)的直线1斜率存在时，设直线1方程为：y=:+m, 带入椭圆的方程：3x2+4y2-12=0, 化简并整理得：(4k2+3)x2+8kr+4m2-12=0, ,直线1与椭圆仅有一个公共点， ∴.△=(8km)2-44k2+3(4m2-12)=0, 化简得：4k2-m2+3=0,…12分 ,代入y=+m,得男=3 m k=-m。-3当 44 从而直线1的方程为：y=-弧x+三，即+必=1，…13分 4 43 ②当过(x,0)的直线1斜率不存在且与椭圆仅有一个公共点时，直线1的方程为：x=±x1=±2， 满足上式。 同理：当过椭圆上点J()的直线：+些=1与椭圆r仅有一个公共点， 3 这两条直线都过点S,所以有西+出=1，型+业=1， 4 3 4 3 直线刀的方程为+=l. …14分 4 3 由0直线F的方程为：y-6-5,令y5,则风2.5 又Q2,2k2+√5)， 0的钟点1.5+即o=1%5r6=5名 k 参考答案第6页，共7页 直线U的方程表示为：35+x+45-3y-12=0, 4k 即55x-0+3x+45y-12=0,… …15分 4 令人5x-y=0 ，解得： x=5 43 …16分 3x+45y-12=0 y ,5b又：0T1山， 直线刀恒过定点N兰，的 点7在以Qw为直径的国上，甲k号，四定直号 …17分 5 参考答案第7页，共7页