湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市浏阳市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列常见的手机软件小图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝12cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　） A．20cm B．24cm C．30cm D．36cm 3．（3分）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 4．（3分）酷爱思考的可培同学在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形 5．（3分）已知等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为（　　） A．50° B．65° C．80° D．50°或80° 6．（3分）如图，将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（　　） A．100° B．120° C．135° D．105° 7．（3分）如图，点B，C在AD上，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝4，则AB的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 8．（3分）下列运算中，结果正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a6+a2＝a8 D．a2•a3＝a5 9．（3分）下列四个分式中，为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为（　　） A．12 B．11 C．10 D．8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是 　 　． 12．（3分）如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中AB＝AC，BC是横梁，AD是竖梁，在焊接竖梁AD时，只需要找到BC的中点D，就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直，这样操作的数学依据是　 　． 13．（3分）因式分解：a3b﹣ab＝ 　 　． 14．（3分）如图，已知AE为△ABC的中线，AB＝8cm，AC＝6cm，△ACE的周长为20cm，则△ABE的周长为 　 　cm． 15．（3分）计算：＝　 　． 16．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于 　 　． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（﹣4x2）（3x﹣1）． 18．（6分）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F． ∵DE∥AC，AB∥EF， ∴∠1＝　 　，∠3＝　 　（　 　） ∵AB∥EF， ∴∠4＝　 　（　 　） ∵DE∥AC， ∴∠4＝　 　（　 　） ∴∠2＝　 　．（　 　） ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝　 　． 19．（6分）先分解因式，再求值： 4a2（x+7）﹣3（x+7），其中a＝﹣5，x＝3． 20．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1各顶点坐标； （3）试在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并写出点P的坐标　 　． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一点． 求证：（1）AC平分∠DAB； （2）BE＝DE． 22．（9分）解分式方程：． 解：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得x（x+2）＝（x﹣1）2，…第一步 去括号，得x2+2x＝x2﹣1，…第二步 移项、合并同类项，得2x＝﹣1，…第三步 方程两边同除以2，得，…第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．…第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是　 　； ②上述解题过程是从第　 　步开始出现错误的，错误的原因是　 　． 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 23．（9分）如图，哈市恒祥城小区有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，求出当时绿化的总面积； （3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程．已知甲队每小时绿化14平方米，甲队先单独绿化5小时，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过15小时，则乙队每小时至少绿化多少平方米？ 24．（10分）下面是嘉怡同学在学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20 （1）解法一所列方程中的x表示 　 　（填序号），解法二所列方程中的x表示 　 　（填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过1450元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 25．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值． 2024-2025学年湖南省长沙市浏阳市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C D B D A A 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列常见的手机软件小图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2．（3分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝12cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　） A．20cm B．24cm C．30cm D．36cm 【分析】由题意知，AB＜AC+BC，即AB＜24，然后判断作答即可． 【解答】解：由三角形三边关系可得： ∵AC﹣BC＜AB＜AC+BC， ∴AB＜24， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形三边关系的应用．确定第三边的取值范围是解题的关键． 3．（3分）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解． 【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线， ∴CD⊥AB，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握它们的定义和性质是解题的关键． 4．（3分）酷爱思考的可培同学在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【解答】解：A、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，由于90°+2×135°＝360°，故能铺满，不符合题意； B、正五边形和正八边形每个内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，不符合题意； C、正六边形和正三角形每个内角分别为120°、60°，由于60°×4+120°＝360°，故能铺满，不符合题意； D、正三角形和正方形每个内角分别为60°、90°，由于60°×3+90°×2＝360°，故能铺满，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 5．（3分）已知等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为（　　） A．50° B．65° C．80° D．50°或80° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【解答】解：当底角是50°时， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴这个等腰三角形的顶角为80°． 故选：C． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，理解和掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解答此题的关键． 6．（3分）如图，将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（　　） A．100° B．120° C．135° D．105° 【分析】如图，由题意易得∠C＝30°，根据平行线的判定与性质求出∠D＝∠DGC＝45°，然后根据三角形内角和可进行求解． 【解答】解：如图， 由题意得：∠DEF＝∠ABC＝90°，∠C＝30°，∠D＝45°， ∴DE∥BC， ∴∠D＝∠DGC＝45°， ∵∠C+∠DGC+∠1＝180°， ∴∠1＝105°； 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键． 7．（3分）如图，点B，C在AD上，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝4，则AB的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【分析】由全等三角形的性质推出AC＝DB，得到AB＝CD，而AD＝8，BC＝4，即可求出AB＝2． 【解答】解：∵△ACE≌△DBF， ∴AC＝DB， ∴AB＝CD， ∵AD＝8，BC＝4， ∴AB+CD＝8﹣4＝4， ∴AB＝2． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 8．（3分）下列运算中，结果正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a6+a2＝a8 D．a2•a3＝a5 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：A、（a2）3＝a6，故此选项不合题意； B、（3a）2＝9a2，故此选项不合题意； C、a6+a2，无法合并，故此选项不合题意； D、a2•a3＝a5，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9．（3分）下列四个分式中，为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用最简分式的定义：分子分母没有公因式，判断即可． 【解答】解：A、为最简分式，符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、，原分式不是最简分式，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握定义是关键． 10．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为（　　） A．12 B．11 C．10 D．8 【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝3，根据三角形的面积公式求出即可． 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝3， ∴DE＝3 ∵AB＝8， ∴△ABD的面积为：， 故选：A． 【点评】本题是对角平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是 　x≠2023　． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2023≠0， 解得x≠2023． 故答案为：x≠2023． 【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 12．（3分）如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中AB＝AC，BC是横梁，AD是竖梁，在焊接竖梁AD时，只需要找到BC的中点D，就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直，这样操作的数学依据是　等腰三角形三线合一　． 【分析】根据等腰三角形的性质即可得解． 【解答】解：这样操作的数学依据是等腰三角形三线合一， 故答案为：等腰三角形三线合一． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 13．（3分）因式分解：a3b﹣ab＝ 　ab（a+1）（a﹣1）　． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用平方差公式继续分解． 【解答】解：a3b﹣ab ＝ab（a2﹣1） ＝ab（a+1）（a﹣1）． 故答案为：ab（a+1）（a﹣1）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 14．（3分）如图，已知AE为△ABC的中线，AB＝8cm，AC＝6cm，△ACE的周长为20cm，则△ABE的周长为 　22　cm． 【分析】根据三角形的中线的定义得到BE＝EC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵AE为△ABC的中线， ∴BE＝EC， ∵△ACE的周长为20cm， ∴AC+CE+AE＝20cm， ∵AC＝6cm， ∴CE+AE＝14cm， ∴BE+AE＝14cm， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝8+14＝22（cm）， 故答案为：22． 【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 15．（3分）计算：＝　﹣　． 【分析】先逆用幂的乘方法则将（﹣1.5）2025化成，再逆用积的乘方法则计算即可． 【解答】解： ＝＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则的逆用是解题的关键． 16．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于 　225°　． 【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5＝∠BCA，∠4＝∠BDA，然后可得∠1+∠5＝∠1+∠BCA＝90°，∠2+∠4＝∠2+∠BDA＝90°，然后可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【解答】解：在△ABC和△AEF中，， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5＝∠BCA， ∴∠1+∠5＝∠1+∠BCA＝90°， 在△ABD和△AEH中，， ∴△ABD≌△AEH（SAS）， ∴∠4＝∠BDA， ∴∠2+∠4＝∠2+∠BDA＝90°， ∵∠3＝45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝90°+90°+45°＝225°． 故答案为：225°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（﹣4x2）（3x﹣1）． 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，即可得出答案． 【解答】解：原式＝﹣12x3+4x2． 【点评】本题主要考查单项式乘多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．（6分）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F． ∵DE∥AC，AB∥EF， ∴∠1＝　∠C　，∠3＝　∠B　（　∠A　） ∵AB∥EF， ∴∠4＝　∠A　（　两直线平行同位角相等　） ∵DE∥AC， ∴∠4＝　∠2　（　两直线平行内错角相等　） ∴∠2＝　∠A　．（　等量代换　） ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝　180　． 【分析】利用平行线的性质，平角的定义即可解决问题． 【解答】解：在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F． ∵DE∥AC，AB∥EF， ∴∠1＝∠C，∠3＝∠B ∵AB∥EF， ∴∠4＝∠A（两直线平行内错角相等） ∵DE∥AC， ∴∠4＝∠2（两直线平行内错角相等　） ∴∠2＝∠A（等量代换）． ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°． 故答案为：∠C，∠B，∠A，∠2，两直线平行内错角相等，两直线平行，∠2，两直线平行内错角相等∠A，等量代换，180°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想解决问题． 19．（6分）先分解因式，再求值： 4a2（x+7）﹣3（x+7），其中a＝﹣5，x＝3． 【分析】先提公因式，根据代数式求值，可得答案． 【解答】解：原式＝（x+7）（4a2﹣3）， 当a＝﹣5，x＝3时，原式＝（3+7）（4×25﹣3）＝970． 【点评】本题考查了因式分解，利用了整式的化简求值，提公因式是解题关键． 20．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1各顶点坐标； （3）试在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并写出点P的坐标　（2，0）　． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）连接A1B，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由图可得，A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）． （3）如图，连接A1B，交x轴于点P，连接AP， 此时PA+PB＝PA1+PB＝A1B，为最小值， 则点P即为所求． 由图可得，点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一点． 求证：（1）AC平分∠DAB； （2）BE＝DE． 【分析】（1）要证AC平分∠DAB，再证△ADC≌△ABC即可； （2）要证BE＝DE，再证△ADE≌△ABE即可． 【解答】证明：（1）在△ADC和△ABC中， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴AC平分∠DAB； （2）在△ABE和△ADE中， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，利用全等得出结论证明三角形全等是常用的方法． 22．（9分）解分式方程：． 解：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得x（x+2）＝（x﹣1）2，…第一步 去括号，得x2+2x＝x2﹣1，…第二步 移项、合并同类项，得2x＝﹣1，…第三步 方程两边同除以2，得，…第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．…第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是　等式的基本性质2　； ②上述解题过程是从第　二　步开始出现错误的，错误的原因是　完全平方式（x﹣1）2展开错误　． 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【分析】任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【解答】解：任务一：①方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得x（x+2）＝（x﹣1）2，… 上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质2； 故答案为：等式的基本性质2； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式（x﹣1）2展开错误； 故答案为：二，完全平方式（x﹣1）2展开错误； 任务二：， x（x+2）＝（x﹣1）2， x2+2x＝x2﹣2x+1， 4x＝1， ． 经检验，是原分式方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，单项式乘多项式，分式方程的定义，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 23．（9分）如图，哈市恒祥城小区有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，求出当时绿化的总面积； （3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程．已知甲队每小时绿化14平方米，甲队先单独绿化5小时，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过15小时，则乙队每小时至少绿化多少平方米？ 【分析】（1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论； （2）把代入（1）的代数式即可得到结论； （3）设乙队每小时至少绿化x，根据题意列出不等式进行计算即可． 【解答】解：（1）总面积为（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝（5a2+3ab）（平方米）； （2）将代入， （平方米）； （3）设乙队每小时至少绿化x m2， 要求总工作时间不超过15小时，故合作完成部分不得超过10小时， 故甲单独工作5×14＝70m2， 剩余340﹣70＝270m2， 故， 解得x≥13（m2）． 答：则乙队每小时至少绿化13平方米． 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24．（10分）下面是嘉怡同学在学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20 （1）解法一所列方程中的x表示 　①　（填序号），解法二所列方程中的x表示 　③　（填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过1450元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择第一个方程，再解方程即可得到答案； （3）设购进甲种商品a件，则购进乙种商品（40﹣a）件，根据商店计划用不超过1450元的资金购进甲、乙两种商品，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）由题意可知，甲商品数量＝乙商品数量， 解法一所列方程中的x表示甲种商品每件进价x元， 甲商品进价﹣乙商品进价＝20，解法二所列方程中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）选择解法一：设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价是（x﹣20）元 由题意得：＝， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意， ∴x﹣20＝50﹣20＝30， 答：甲种商品每件的进价是50元，乙种商品每件的进价是30元； （3）设购进甲种商品a件，则购进乙种商品（40﹣a）件， 由题意得：50a+30（40﹣a）≤1450， 解得：a≤12.5， 答：至多购进甲种商品12件． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 25．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值． 【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案； （2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC＝BD，∠DBC＝60°，求出∠ABD＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，求出∠BEC＝α＝∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB＝BE即可； （3）求出∠DCE＝90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC＝CE＝BC，求出∠EBC＝15°，得出方程30°﹣α＝15°，求出即可． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α， ∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°， 即∠ABD＝30°﹣α； （2）△ABE是等边三角形， 证明：连接AD，CD，ED， ∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD， 则BC＝BD，∠DBC＝60°， ∵∠ABE＝60°， ∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形， 在△ABD与△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α， ∵∠BCE＝150°， ∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣α）﹣150°＝α＝∠BAD， 在△ABD和△EBC中 ∴△ABD≌△EBC（AAS）， ∴AB＝BE， ∴△ABE是等边三角形； （3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°， ∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°， ∵∠DEC＝45°， ∴△DEC为等腰直角三角形， ∴DC＝CE＝BC， ∵∠BCE＝150°， ∴∠EBC＝（180°﹣150°）＝15°， ∵∠EBC＝30°﹣α＝15°， ∴α＝30°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$