辽宁省沈阳市沈河区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）下列实数中是无理数的是（　　） A． B． C． D．3.14 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　） A．5，12，13 B．9，40，41 C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，4 4．（3分）下列描述，能确定具体位置的是（　　） A．祖庙附近 B．教室第2排 C．北偏东55° D．东经118°，北纬40° 5．（3分）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+b的图象由直线y＝kx（k＜0）向下平移3个单位长度得到，则一次函数y＝kx+b的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 7．（3分）下列命题是假命题的是（　　） A．是最简二次根式 B．若点A（﹣1，a），B（2，b）在直线y＝﹣2x+1，则a＞b C．三角形的外角一定大于它的内角 D．同旁内角互补，两直线平行 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，若AH＝1，，则图中阴影部分的面积是（　　） A．10 B． C． D． 9．（3分）将一副三角板按如图所示的方式放置，使两条直角边重叠，则∠1的度数是（　　） A．75° B．50° C．45° D．30° 10．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与正比例函数y＝x图象的位置不可能是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11．（3分）的算术平方根是 　 　． 12．（3分）已知直线y＝﹣4x与y＝3x+b的交点为（1，a），则方程组的解是　 　． 13．（3分）已知的整数部分为a，小数部分为b，＝　 　． 14．（3分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝4cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝6cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝8cm时，求钟摆AD的长度． 15．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A（﹣2，0），C（1，2），则点B的坐标是　 　． 三、解答题：（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）（1）； （2）． 17．（8分）用适当的方法解方程组： （1）； （2）． 18．（9分）如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB； （1）AD是否平行于BC？并说明理由； （2）试说明AE⊥EF． 19．（8分）某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分（单位：分） 中位数（单位：分） 众数（单位：分） 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：a＝ 　 　，b＝ 　 　，并直接把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是 　 　（填“七年级”或“八年级”）； （3）若该校七年级有400人、八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 20．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 21．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1、并直接写出C的对应点C1的坐标　 　； （2）在平面直角坐标系xOy中，点M（a，b），N（c，d），若c﹣a＝d﹣b≠0，则称点M与点N互为“等差点”，例如：点（﹣1，3），点（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以这两个点互为“等差点”． ①若点C（4，3）的“等差点”C′在坐标轴上，则点C′的坐标为　 　； ②若点P的坐标是与点互为“等差点”，且m，n互为相反数，求点Q的坐标． 22．（12分）【问题情境】某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100℃后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50℃，水壶不加热；若水温降至50℃水壶开始再加热，水温达到100℃时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作． 【实验探索】数学小组对壶中水量a（单位：L），水温T（单位：℃）与加热时间t（单位：分钟）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1：从20℃开始加热至100℃，不同水量与加热时间对照表 a（单位：L） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t（单位：分钟） 4.5 8 11.5 m 18.5 22 表2：1L水从20℃开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 t（单位：分钟） 0 3 6 n 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … T（单位：℃） 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T就是加热时间t的一次函数． （1）表1中m的值为 　 　，表2中n的值为 　 　； （2）根据表2，求出1L水煮沸模式下T关于t函数表达式，并写出自变量t的取值范围； （3）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在图中补全水温与时间（6～26分钟）的函数图象； ②当t＝60时，T＝ 　 　； （4）假设温度降低过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L温度为20℃的水，当水加热至100℃后立即关闭电源．出门前，他 　 　（填“能”或“不能”）喝到低于50℃的水． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴交于A，B两点．定义：点P（m，n）先关于坐标轴对称，再向下平移1个单位后得到点Q，称点Q为点P的对称平移点．当m＞0时，先关于x轴对称再向下平移1个单位得到点Q，当m＜0时，先关于y轴对称再向下平移1个单位得到点Q． （1）点（1，2）的对称平移点为　 　； （2）若点（a，4）的平移对称点在直线l上，求a的值； （3）点E（m，n）在直线y＝x+1上，E点的对称平移点为点F； ①当m＞0时，△FAB面积等于27，求m的值； ②当m＜0时，若F点到直线AB与x轴距离相等，求E点坐标． 2024-2025学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D A D C C A D 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）下列实数中是无理数的是（　　） A． B． C． D．3.14 【分析】根据无理数的定义得出即可． 【解答】解：是整数，是分数，3.14是小数，他们都是有理数， 是无理数，故选项A符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了无理数，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质化简判断即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 3．（3分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　） A．5，12，13 B．9，40，41 C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，4 【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形． 【解答】解：A、52+122＝132，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意． B、92+402＝412，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意． C、0.52+1.22＝1.32，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意． D、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 4．（3分）下列描述，能确定具体位置的是（　　） A．祖庙附近 B．教室第2排 C．北偏东55° D．东经118°，北纬40° 【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A．祖庙附近，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； B．教室第2排，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； C．北偏东55°，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； D．东经118°，北纬40°，能确定具体位置，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 5．（3分）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析，排除错误答案． 【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，两直线平行）； ②∵∠2＝∠3，∴b∥c（内错角相等，两直线平行）； ③∠1＝∠4无法判断两直线平行； ④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）． 故选：A． 【点评】考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+b的图象由直线y＝kx（k＜0）向下平移3个单位长度得到，则一次函数y＝kx+b的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【分析】根据一次函数图象平移的规律即可得到平移后的解析式，然后根据一次函数的性质判断即可． 【解答】解：一次函数y＝kx+b的图象由直线y＝kx（k＜0）向下平移3个单位长度得到y＝kx﹣3， ∵k＜0，b＝﹣3＜0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键． 7．（3分）下列命题是假命题的是（　　） A．是最简二次根式 B．若点A（﹣1，a），B（2，b）在直线y＝﹣2x+1，则a＞b C．三角形的外角一定大于它的内角 D．同旁内角互补，两直线平行 【分析】利用最简二次根式的定义、三角形的外角的性质、平行线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、是最简二次根式，正确，是真命题，不符合题意； B、若点A（﹣1，a），B（2，b）在直线y＝﹣2x+1，则a＞b，正确，是真命题，不符合题意； C、三角形的外角一定大于不相邻的两个内角，故原命题错误，是假命题，符合题意； D、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，若AH＝1，，则图中阴影部分的面积是（　　） A．10 B． C． D． 【分析】阴影部分由正方形ABCD和正方形BCFG以及Rt△ACH组成．正方形ABCD的面积可以表示为AB2，正方形BCFG的面积可以表示为BC2，由于∠B＝90°，根据勾股定理，AB2+BC2＝AC2，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，Rt△ACH的面积可以根据两条直角边的长度求出，代入计算即可． 【解答】解：S阴影＝S正方形ABDE+S正方形BCFG+S△ACH ＝AB2+BC2+AH•CH ＝AC2+×1×2 ＝AH2+CH2+ ＝12+（2）2+ ＝1+24+ ＝25+． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用．找到阴影部分面积的组成及各部分的表示方法是解决此类问题的关键． 9．（3分）将一副三角板按如图所示的方式放置，使两条直角边重叠，则∠1的度数是（　　） A．75° B．50° C．45° D．30° 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AOC，根据对顶角相等求出∠BOD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：如图， ∵∠AOC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BOD＝∠AOC＝45°， ∴∠1＝∠BOD+30°＝45°+30°＝75°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，关键是三角形外角和定理的应用． 10．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与正比例函数y＝x图象的位置不可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，y＝x经过一、三象限， 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，y＝x经过二、四象限， 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，y＝x经过二、四象限， 若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，y＝x经过一、三象限， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11．（3分）的算术平方根是 　4　． 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：＝16， 则的算术平方根是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 12．（3分）已知直线y＝﹣4x与y＝3x+b的交点为（1，a），则方程组的解是　　． 【分析】把x＝1代入y＝﹣4x中求出a，把（1，a）代入y＝3x+b中求出b，即可求得方程组的解． 【解答】解：把x＝1代入y＝﹣4x，得y＝﹣4，即a＝﹣4， 把（1，﹣4）代入y＝3x+b，得b＝﹣7， ∴方程组 的解是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，正确应用一次函数的性质是解题关键． 13．（3分）已知的整数部分为a，小数部分为b，＝　　． 【分析】首先得出a，b的值，进而代入原式求出即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴的整数部分为a＝3，小数部分为， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是找出a＝3，，解此类题型时，根据无理数的大致范围找出代数式的整数和小数部分是关键． 14．（3分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝4cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝6cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝8cm时，求钟摆AD的长度． 【分析】设AB＝AD＝x cm，表示出AC的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：设AB＝AD＝x cm，由题意得，CE＝BF＝6cm， ∴AC＝AD+DE﹣CE＝（x﹣2）cm， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（x﹣2）2+82＝x2， ∴x＝17， ∴AD＝17cm． 答：钟摆AD的长度17cm． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 15．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A（﹣2，0），C（1，2），则点B的坐标是　（3，﹣1）　． 【分析】过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【解答】解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC＝BE，AD＝CE， ∵点C的坐标为（1，2），点A的坐标为（﹣2，0）， ∴AD＝CE＝3，OD＝1，BE＝CD＝2， ∴则B点的坐标是（3，﹣1）． 故答案为：（3，﹣1）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形，解题的关键是作高线构造全等三角形． 三、解答题：（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）（1）； （2）． 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减． 【解答】解：（1）原式＝2﹣3+2﹣ ＝﹣1； （2）原式＝﹣+ ＝﹣2 ＝﹣． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 17．（8分）用适当的方法解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 把②代入①，得：x+2x＝12， 解得：x＝4， 把x＝4代入②，得：y＝8， ∴； （2）方程组整理得：， ①+②×2，得：5x＝30， 解得：x＝6， 把x＝6代入②，得：6﹣y＝﹣3， 解得：y＝9， ∴． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法，是解题的关键熟练掌握消元法． 18．（9分）如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB； （1）AD是否平行于BC？并说明理由； （2）试说明AE⊥EF． 【分析】（1）根据平行线的性质结合已知条件推出∠DAB+∠ABC＝180°，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义，结合三角形的内角和定理得到，结合∠DAB+∠ABC＝180°，求出∠EAF的度数，进一步求出∠AEF的度数，即可得出结论． 【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵DC∥AB， ∴∠DCB+∠ABC＝180°， ∵∠DCB＝∠DAB， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC； （2）∵AE平分∠DAB， ∴， ∵∠AGB＝30°， ∴， 又∵∠DAB+∠ABC＝180°， ∴， 即：∠EAF＝30°， ∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝90°， 即：AE⊥EF． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的内角和定理，掌握平行线的判定和性质是关键． 19．（8分）某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分（单位：分） 中位数（单位：分） 众数（单位：分） 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：a＝ 　9　，b＝ 　10　，并直接把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是 　七年级　（填“七年级”或“八年级”）； （3）若该校七年级有400人、八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【分析】（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可； （2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可； （3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以各年级人数即可作出估计． 【解答】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分， ∴a＝9， ∵八年级A等级人数最多， ∴b＝10， 七年级成绩C等级人数为：25﹣6﹣12﹣5＝2（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： 故答案为：9，10； （2）七年级成绩更稳定． 理由：∵七八年级平均分相同，七年级的方差小于八年级的方差，说明七年级成绩较稳定． 故答案为：七年级； （3）400×+500×（4%+44%）＝528（人）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有528人． 【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． 20．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润＝每辆A型汽车的销售利润×A型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润×B型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车， 根据题意得：w＝8000m+5000×， 即w＝﹣4500m+100000， ∵﹣4500＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，均为正整数， ∴m的最小值为2， ∴当m＝2时，w取得最大值，最大值为﹣4500×2+100000＝91000（元），此时＝＝15（辆）． 答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 21．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1、并直接写出C的对应点C1的坐标　（﹣4，3）　； （2）在平面直角坐标系xOy中，点M（a，b），N（c，d），若c﹣a＝d﹣b≠0，则称点M与点N互为“等差点”，例如：点（﹣1，3），点（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以这两个点互为“等差点”． ①若点C（4，3）的“等差点”C′在坐标轴上，则点C′的坐标为　（1，0）或（0，﹣1）　； ②若点P的坐标是与点互为“等差点”，且m，n互为相反数，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）①当点C′在x轴上时，设点C′的坐标为（m，0），由题意可得m﹣4＝0﹣3，求出m的值，即可得点C′的坐标；当点C′在y轴上时，设点C′的坐标为（0，n），由题意可得0﹣4＝n﹣3，求出n的值，即可得点C′的坐标，进而可得答案． ②根据题意可得，求出m，n的值，进而可得答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点C1的坐标为（﹣4，3）． 故答案为：（﹣4，3）． （2）①当点C′在x轴上时， 设点C′的坐标为（m，0）， ∵点C（4，3）与点C′互为“等差点”， ∴m﹣4＝0﹣3， 解得m＝1， ∴点C′的坐标为（1，0）； 当点C′在y轴上时， 设点C′的坐标为（0，n）， ∵点C（4，3）与点C′互为“等差点”， ∴0﹣4＝n﹣3， 解得n＝﹣1， ∴点C′的坐标为（0，﹣1）． 综上所述，点C′的坐标为（1，0）或（0，﹣1）． 故答案为：（1，0）或（0，﹣1）． ②∵点P与点互为“等差点”，且m，n互为相反数， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为（，）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、相反数、坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（12分）【问题情境】某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100℃后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50℃，水壶不加热；若水温降至50℃水壶开始再加热，水温达到100℃时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作． 【实验探索】数学小组对壶中水量a（单位：L），水温T（单位：℃）与加热时间t（单位：分钟）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1：从20℃开始加热至100℃，不同水量与加热时间对照表 a（单位：L） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t（单位：分钟） 4.5 8 11.5 m 18.5 22 表2：1L水从20℃开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 t（单位：分钟） 0 3 6 n 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … T（单位：℃） 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T就是加热时间t的一次函数． （1）表1中m的值为 　15　，表2中n的值为 　8　； （2）根据表2，求出1L水煮沸模式下T关于t函数表达式，并写出自变量t的取值范围； （3）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在图中补全水温与时间（6～26分钟）的函数图象； ②当t＝60时，T＝ 　60℃　； （4）假设温度降低过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L温度为20℃的水，当水加热至100℃后立即关闭电源．出门前，他 　不能　（填“能”或“不能”）喝到低于50℃的水． 【分析】（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）①描点并连线即可； ②当时间从26分开始，设时间为t时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （4）由表1可知，2.5L的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩30﹣18.5＝11.5（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与11.5分比较，即可作出判断． 【解答】解：（1）由表1可知，水量每增加0.5L，所需时间增加3.5分钟， ∴m＝11.5+3.5＝15； 由表2可知，在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃， ∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃， ∴10（n﹣6）＝100﹣80， ∴n＝8． 故答案为：15，8； （2）在煮沸模式下，设T关于t函数表达式为T＝kt+b， 把t＝0，T＝20和t＝3，T＝50，代入解析式得：， 解得， ∴1L水煮沸模式下T关于t函数表达式为T＝10t+20（0≤t≤8）； （3）①在图中补全水温与时间（6～26分钟）的函数图象： ②当时间从26分开始，设时间为t时，水温加热到100℃． 在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，则每1分钟水温升高5÷2＝2.5（℃）， 由此得2.5（t﹣26）＝100﹣60， 解得t＝42， 60﹣42＝18（分）， 根据表2的数据可知，T＝100℃经过14分后降到了T＝50℃，然后开始加热4分钟水温升到了T＝60℃， ∴当t＝60时，T＝60℃． 故答案为：60℃． （4）由表1可知，2.5L的水从20℃加热到100℃需要18.5分， 30﹣18.5＝11.5（分）， 由表2可知，水温从100℃降到50℃需要22﹣m＝22﹣8＝14（分）， ∵22.5.5＜30， ∴出门前，他不能喝到低于50℃的水． 故答案为：不能． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴交于A，B两点．定义：点P（m，n）先关于坐标轴对称，再向下平移1个单位后得到点Q，称点Q为点P的对称平移点．当m＞0时，先关于x轴对称再向下平移1个单位得到点Q，当m＜0时，先关于y轴对称再向下平移1个单位得到点Q． （1）点（1，2）的对称平移点为　（1，﹣3）　； （2）若点（a，4）的平移对称点在直线l上，求a的值； （3）点E（m，n）在直线y＝x+1上，E点的对称平移点为点F； ①当m＞0时，△FAB面积等于27，求m的值； ②当m＜0时，若F点到直线AB与x轴距离相等，求E点坐标． 【分析】（1）先判断m是大于0还是小于0，再根据题干条件直接操作即可得解； （2）分类讨论，a＞0和a＜0，求出平移对称点，然后代入直线了解析式求解即可； （3）①由题易知E（m，m+1），先求出E点平移对称点F，再利用割补法用含m的式子表示出△FAB面积，进而建立方程求解即可； ②因为m＜0，所以E点平移对称点F（﹣m，m），进而可知点F在直线y＝x上，再由点F到x轴和到直线AB的距离相等，可知点F是直线AB与x轴的角平分线与y＝﹣x的交点，然后分类讨论画出图形利用一次函数交点问题求解即可． 【解答】解：（1）∵m＝1＞0， ∴点（1，2）先关于x轴对称的点为（1，﹣2）， 向下平移1个单位， ∴Q（1，﹣3）， 故答案为：（1，﹣3）； （2）①当a＞0时，（a，4）平移对称点为（a，﹣5）， ∵平移对称点在直线l上， ∴﹣5＝a﹣8， 解得a＝； ②当a＜0时，（a，4）平移对称点为（﹣a，3）， ∵平移对称点在直线l上， ∴3＝﹣a﹣8， 解得a＝﹣； 综上，a的值为或； （3）直线l：与x轴，y轴交于A，B两点， 令x＝0，得y＝﹣8， ∴B（0，﹣8）， 令y＝0，得x＝6， ∴A（6，0）， ∵点E在直线y＝x+1上， ∴E（m，m+1）， ①∵m＞0， ∴F（m，﹣m﹣2）， 设EF于AB交于点G，则G（m，m﹣8）， ∴FG＝|m﹣8+m+2|＝|m﹣6|， ∴S△FAB＝FG•|xA﹣xB|＝3×（m﹣6）＝|7m﹣18|＝27， 解得m＝（负值舍去）； ②∵m＜0， ∴F（﹣m，m）， ∴点F在直线y＝x上， ∵点F到x轴和到直线AB的距离相等， ∴点F是直线AB与x轴的角平分线与y＝﹣x的交点， 由①可知A（6，0），B（0，﹣8）， ∴OA＝6，OB＝8， ∴AB＝＝10， 第一种情况：如图，点F在∠OAB的角平分线上时， 设∠OAB的角平分线与y轴交于点H，过H作HK⊥AB于点K， 设OH＝n，则HK＝OH＝n，BH＝8﹣n， 又∵AH＝AH， ∴Rt△AOH≌Rt△AKH（HL）， ∴AK＝AO＝6， ∴BK＝4， 在Rt△BHK中，HK2+BK2＝BH2， 即n2+16＝（8﹣n）2， 解得n＝3， ∴H（0，﹣3）， 设直线AH解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线AH解析式为y＝x﹣3， 令x﹣3＝﹣x， 解得x＝2， 即F（2，﹣2）， ∴﹣m＝2，即m＝﹣2， ∴m+1＝﹣1， ∴E（﹣2，﹣1）； 第二种情况：如图，点F在∠xAB的角平分线上时， 此时AF⊥AH， ∴KAF＝﹣2， ∴直线AF解析式为y＝﹣2x+12， 令﹣2x+12＝﹣x， 解得x＝12， 即F（12，﹣12）， ∴﹣m＝12，即m＝﹣12， ∴m+1＝﹣11， ∴E（﹣12，﹣11）； 综上，E点坐标为（﹣2，﹣1）或（﹣12，﹣11）． 【点评】本题主要考查了新定义、一次函数的图象与性质、角平分线的性质、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$