江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三上学期第一次调研考试数学试题

2024~2025学年第一学期期末调研考试 高三数学试题参考答案与评分标准 一、选择题： 1.B 2.C3.A4.A5.D6.A7.B 8.C 二、选择题： 9.AC 10.BCD 11.ACD 三、填空题： 12.3 13.y=x-号或y=--支（写出一条即可） 14.学U国) 四、解答题： 15.(1)将数据1从小到大排列为：67.73.77,80.81.8185.86.90.90.…1分 因为10×25%=2.5，所以数据I的25百分位数为77.……5分 (2)数据I中75分以下的有67分，73分： 数据Ⅱ中75分以下的有61分，67分，72分， 所以上述不满意的消费者共5人，其中A车型中2人，B车型中3人.…7分 所以X的所有可能取值为1,2,3.… ……8分 Px=-告-高Px=2-答-Px=-答- 所以X的概率分布为 X 1 2 3 P 3 3-5 1 10 …小分 数学期望E(X)=1x3+2×3+3x-9 …………13分 105105 16.(1)等边三角形ABC中，D为AC中点，所以BD⊥AC,…1分 因为侧面ACCA⊥底面ABC,侧面ACCA∩底面ABC=AC BDC平面ABC,所以BD⊥平面ACC,A,…4分 又因为ACC平面ACC,A,所以BD LAC.…6分 (2)在△AAC中，AM=3,AC=2, 所以AC2=AM+AC2-2AM:ACc0s∠AAC=9+4-2×3x2×号9， 所以AC=3,…7分 所以△AAC是等腰三角形，又D为AC中点，所以AD⊥AC, 由(1)知，BD⊥AC,BD⊥平面ACCA,又ADC平面ACCA,所以BD⊥AD, 所以DB,DC,DA两两垂直.…8分 数学试颗答农（第1而共4页） 以{DB,DC,DA}为正交基底建立空间直角坐标系D-yz. 则A(0.0,2√2)，B(5.0.0),C(0,10),A0-1,0),B(5.1,2√2)，…9分 所以CA=(0,-1,2N2),AB=(N5,1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,,). mC风=-y+25:=0不妨取x=-l,则y=5,云后 nAB=√5x+y=0, 所以平面ABC的一个法向量为n=1反5).…12分 平面ACCA的一个法向量为m=L,0,0), …13分 记平面AB,C与平面ACCA的夹角为a, 所以cosa=lcos(m,n= m·n 270 m网 1+3+3 35 所以平面ABC与平面ACCA的夹角的余弦值为2四 …15分 35 17.(1)当a=2时，f(x)=e-2sinx,f(x)=e-2cosx,…1分 则f'(0)=e°-2cos0=-1, 又f0)=e°-2sin0=l, 所以曲线y=f(x)在点(0.f(0)处的切线方程为x+y-1=0.…4分 (2)当a≤0时，由0≤x≤π可知f(x)=e-asinx≥0恒成立，符合题意：…6分 当a>0时，由f=e-asin x≥0得上≥n恒成立，…8分 a e" 令g)=sin，xe0,,则g'国)=cosx-sin ………10分 e 令g')=0得x=工，列表得 4 o 可 g'(x) + 0 8(x) 极大值 a e 即0<a≤2e.…14分 综上所述，a≤√2e.…15分 2c=4 18.(1)由题意得 2_B a 3 ,解之得5，所以C的方程为写-广=1.4分 b=1 c2=a2+b2 数学试题答案（第2页共4页） (2)设BF:x=my+2,1:x=my-2,设A(x,)B(x,为)，P:,), m2-3≠0. △>0. x=my+2 由三-y=l ,得(m2-3)y2+4my+1=0,则y2+为=- 4%1 (3 m2-3 1 为为= m2-3 m-3≠0， △>0， x=m2y-2 得(m,2-3)y2-4my+1=0,则y+为= 42 ……6分 m22-3 1 y2= m,2-3 因为SA5=15S△55，所以为=-15y: ”……”……………7 1 则丛- m2-3 整理得15m2+m2=48, yiy2 m22-3 因为m=52,m=5+2, 所以15 =48, 即15(x3-2)2+(62+2)2=48y，… …8分 因为点B在双曲线C上，所以车-=1， 则15(6-2少2+(6+2沙2=48ξ-)，解之得=2，…10分 …12分 3 （3)由2)知，上+当=1+.-4m,+丛=1+1=4m, 2片3 yy2 y2 y 所以1-上=4m+4m, y y3 则动安，两 为 =m+%2+4-4州-4m2)=-15(仍+m2），…15分 即存在元=一15满足题意.… …17分 19.(1）4=20m=50+502+56++59)=1+2+3++9=45,1分 m-l 5(m)-s(m)5(m)+ m=90 =10+45+(20+45+…+(90+45)=00+45+90+45切=855.…3分 (2)设{an}的前n项和为Tn,则a1=100+2+3+…+9)+9(4+42+…+an),…6分 即a1=45×10+9Tn，当n≥2时，an=45×10-+9Tn- 所以a1-an=9×45×10-+9an,即an1=9×45×10+10an 所以总器又总音”是易 故1得)是以号为首项，引为公差的等差数列 。……9分 所以总=号+器a-=. 20 故(a,}的通项公式为a=8n+9×10叫. …11分 2 (3)设m为kk≥3)位正整数，由m的各位数非零可知，S(m)≥k,所以2m)≥2. 又10-<m<10,则102-<2<102*，所以S0m2)≤18歇. 因为50m)=2m,所以2少s18k,即李≥这k≥3. …13分 设么=寺，则6-4=出台-片<0，所以61是递减数列. 又么=是>成，6=子8所以3≤6 又25m≤18歇，所以S(m)=3或S(m)=4或S(0m)=5或S(m)=6.…15分 因为m的各位数成等差数列，设公差为d. 若k=3,当d=0时，Sm)=3,所以m=111,此时25m≠S(m2): 当d≠0时，S(m)≥6，所以Sm)=6,不满足2(m≤18歇： 若k=4,当d=0时，Sm)=4,所以m=1111,此时2(m=S(m2): 当d≠0时，S(m)>6,不符合题意： 若k=5,当d=0时，S(m)=5,所以m=11111,此时2m≠S(m2): 当d≠0时，S(m)>6,不符合题意： 若k=6,当d=0时，Sm)=6,所以m=111111,此时25(m≠S(m2): 当d≠0时，S(m)>6,不符合题意 综上所述，m的值为11山1.… …17分 数学试题答案（第4页共4页）2025届高三第一次调研考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.已知集合A={x-1≤x≤2，B={xy=-x),则A∩B= A.(-1,] B.[-1, C.(-1,) D.[0,2] 2.已知复数z满足1+)z=2i-1,则|z= A.2 B.2 C.0 2 D. 3.已知向量a=(3,2m),b=(m+1,-2),若1a+bHa-b,则m= A.3 B.-3 C.4 D.0 4.在矩形ABCD中，AB=2BC,则以A,B为焦点，且过C,D两点的椭圆的离心率为 A5- B.5-1 c. 2 2 D.5 2 5.若f侧=2)为偶孟数。则a A B. C.1 D.2 6.已知树=iax+o>0,若fK)=f,)=5,且l西-51的最小值为5，则a= 2 A号 B.1 c. D.2 7.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4√万，则该四棱锥的外接球的表面积为 A. B C.24π D. S数学试题（第1页共4页） 8.定义：A(x,),B(x22)两点间的“M距离”为x2-x|+|y-片.把到两定点F(-c,0), F(c,0)(c>0)的“M距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“M椭圆"，则“M椭圆” 的面积为 A.4c(a-c) B.4a(a-c) C.2(a2-c2) D.2(a2+c3) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现从甲袋中任取1个球放 入乙袋，用事件A,A分别表示从甲袋中取出的是白球和红球。再从乙袋中随机取出1球， 用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则 A.4,4互斥 B.A与B相互独立C.P(B14)=子 D.P)= 10.已知a,B为锐角，cos(a+)=, tana+tanB=l,则 A.sinacos B.cos(a-B)=1 C.tanctan D.tan2(a+p)=-24 7 11.已知数列a,b,c,d,前三项a,b,c成等差数列，且公差不为0，后三项b,c,d成 等比数列，则 A.当a+b+c>0时，d>0 B.当a<c时，b<d C.当a+d=4,b+c=3时，a=0或a=l5 D.sina,sinb,sinc,sind可能成等比数列 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.在△ABC中，A=号，AB=8,cosC=-,则AC= 13.写出一条与圆x2+y2-3y+子=0和抛物线2=2y都相切的直线的方程 14.已知函数f=号-am2-3a2x(aeR),则f2a-)<f(-a)的解集为 S数学试题（第2页共4页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某新能源汽车公司对其销售的A,B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车 消费者中各随机抽取10名进行评分调查（满分100分），评分结果如下： 数据I(A型车)：67,81,73,80,81,77,86,85,90,90： 数据Ⅱ(B型车)：61,76,81,67,72,87,86,95,93,90. (1)求数据I的25百分位数： (2)该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通 不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X,求X的概 率分布及数学期望。 16.(15分) 如图，三棱柱ABC-4BC的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，A4=3,侧 面ACCA⊥底面ABC. (1)证明：BD⊥AC; (2)当cos∠4AC=号时，求平面4B,C与平面ACG4的夹角的余弦值. 17.(15分) 已知函数f(x)=e-asinx,a∈R. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程； (2)当x∈[0，π]时，f(x)≥0，求a的取值范围. 18.(17分) 已知双曲线C:等-卡-1(@>0，b>0)的左、右焦点分别为5,5，焦距为4，浙近线 方程为y= 3r, (1)求C的方程： (2)过F的直线I分别交C的左、右两支于A,B两点，直线BF2交C于另一点P, ①若S△PR5=15S△R5，求点P的坐标： ②是否存在常数元，使得1+1=(1+1)？若存在，请求出入的值：若不 存在，请说明理由， 19.(17分) 定义：S(m)表示正整数m的各位数之和，如：S(2025)=2+0+2+5=9记an= S(m). m=10-1 (1)求4和a2; (2)求数列{an}的通项公式： (3)若正整数m的各位数非零且成等差数列，S(m2)=2(m),求m的值.