江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期期末检测数学试卷

2024一2025学年第一学期期末检测 高三数学 2025.1 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填 写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处” 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干 净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区城内作答，超出答题 区域答题的答案无效：在草稿纸上、试卷上答题无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合要求) 1.抛物线x2=4y的准线方程为()。 A.x=-2 B.x=-1 C.y=-2 D.y=-1 2. 已知复数：满足2+i=i(1为虚数单位)，则=() A.20 B.2W5 C. 20 D.5 10 3. 己知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为线段EC的中点，则AP,AB的值为( A.6 B.2√5 C.3 D.5 4.已知x,y均为正实数，且(x+2y+3)=16,则x+y的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 已知ma+=. 5. 则sn2a-合=( A.-3 B.3 c.-g D. 9 6.已知a=log,2,b=log43,c=h3 则a,b,c大小关系为(). 3 A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c 1 7.已知函数f(x)= 2+1x20 2* 若对任意x∈写，2引，不等式(x-)2fx+)恒成立，则实 2+1 ,x<0 数a的取值范围为( A到 B.(-0,3] C.5] D.[5,+o) 8.根据物理知识椭圆有如下光学性质：从一个焦点发出的光线将汇聚 到另一个焦点处.已知椭圆C:+二-1，万，5分别是椭圆C的左、 43 右焦点，点P是椭圆C上的任意一点，根据研究，我们知道直线PF、 直线PE,与在P点处的切线1所成的角相等.过E作直线FH⊥1，垂 第1页（共4页） 足为H,则△HEF面积的最大值为(). A.2 B.2 C.5 D.22 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f)=4sin(ar+p4>0,w>0,@<的部分图象如图所示，则下列说法中正确 的有( A. B.直线x=5江是f)图象的一条对称轴 6 C.f(x)的图象可由函数y=2sinx的图象向左平移？个 单位长度，再将横坐标变为原来的，倍（纵坐标不变）得到 D.若fx)=fx),则x=,+k(keZ) 10.口袋中有n(neN,n≥2)个黑球和3个白球，这n+3个球除颜色外完全相同，每次不放 回地随机摸出一球，连摸两次.记事件A表示“第一次摸得黑球”，事件B表示“第二次摸得黑 球”，则下列说法中正确的有( A.P(A)=P(B) B.P(B A)=P(A B) C.存在neN,使得事件A与事件B独立D.存在n∈N”,使得PAB=P(AB) 11.已知所有项点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在 D 这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的 侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高.如图，某拟柱 体的上底面AB,CD的面积为S,,下底面ABCDEF的面积为 S,高为h.该拟柱体共有6个侧面，分别为平面ABBA、平 面BCB、平面CDCB、平面DED,C、平面EFAD、平面 FA4.A,B,Ca,D,E。,E分别是棱A4,BB,CB,DC,ED,FA 的中点，O为六边形AB,CD,EE内一点，且六边形 AB,C,DE,F。的面积为S。.则下列说法中正确的有( A.三棱锥O-B,BC的体积是三棱锥B-OB,C,体积的3倍 B.四棱锥O-B,CDC的体积是三棱锥B-OC,D,体积的4倍 C.挖去四棱锥O-ABCD与六棱锥O-ABCDEF后，该拟柱体剩余部分的体积为，S,A D。该拟柱体的体积为。+名+子8 6 3 第2页（共4页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知随机变量X服从正态分布N2,a),若P心X≥)-}则P心X≥)=▲ 13.己知数列{a,}的前n项和为Sn,a=2,S=na1-2nn+)(n∈N),则Sn=▲ 14.在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别a,b,c,△ABC的面积S=、a 3cos BcosC=1, 3sin A a=3,则△ABC的周长为▲· 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=x-lnx· (I)过原点作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程： (2)设g(x)=x2+f(x),求g(x)的最小值. 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-ABC中，CA=3,CC=4,二面角 A-CC-B为直二面角.点N为棱CB的中点，棱AB与平面ACN 相交于点M. (1)求证：M为棱AB的中点： ②若直线4C与平面4Cv所成角的正弦值为分5，求CB的 长 B 17.(本小题满分15分) 已知给定两个集合A=L,2,3,4,B={a,b,c,从两个集合中各随机取出两个元素合并成一 个集合C. (I)若A∩B=,求集合C中恰有三个元素的概率： (2)若A∩B=L,3},设集合C中元素的个数为X,求随机变量X的分布列与期望. 第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 对于特圆：手+若-0>60，我们格双面线：号一云-1为其件随双角线已知椭圆 :5+京=1(0<b<V5),它的离心率是其伴随双曲线C,的离心率的倍. (1)求双曲线C,的方程： (2)过C和C,的右焦点F,F分别作两条平行直线4,42，直线l与G交于M,N两点， 直线l2与C,的右支交于P,Q两点，且M,P在x轴上方 0若△MNP的面积为号，求直线（的方程： ()试探究直线FP与直线FM的交点T是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方 程：若不是，请说明理由， 19.(本小题满分17分) 对于-个数列{a},定义T()=an+a4,其中n,keN. (1)若T(2)-Tn()=2(n∈N),求T(3)-T()的值： (2)若a=4,且对任意的n,keN°，都有Tn(k)=4T.(k) (①求数列{a,}的通项公式： (是否存在正整数k,使得13T.()=16Tn(k+2)(m,n∈N)?若存在，求出k的值，并确 定m,n满足的等量关系；若不存在，请说明理由. 第4页（共4页）2024一2025学年第一学期期末检测 高三数学参考答案 2025.1 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D B C A D A B AC ABD BD 题号 12 13 14 答案 3 2n2 3+3W5 15.【答案】0设切点为(，%)，由f)=-nx得fm=1-1_=」 -2分 xx 所以所求切线的斜率为。-1=业，即七-_-n五， Xo 所以lnx=1,即x。=e, …4分 所以所求切线的斜率为1-！ 故所求切线的方程为y=Q-)x. 6分 (2)由条件知g(x)=x2+f(x)=x2+x-lnx,x>0. 所以g)=2x+1-1_2x+x-L-G+12x-) 9分 当xe(0,时，g')<0,g)单调递减， 当x∈(+o)时，g)>0,g)单调递增， 3 所以g)=g宁=4+lh2. …13分 16.【答案】(1)证明：因为直三棱柱ABC-AB,C,所以AC∥AC, 又AC文平面ACN,ACc平面ACN,所以AC∥平面ACN, -3分 又ACc平面AB,C,平面AB,C∩平面ACN=NM,所以AGMN,…6分 又N为CB的中点，所以M为AB的中点. 7分 (2)方法一：由直三棱柱ABC-ABC得CC,⊥平面ABC, 又AC,BC∈平面ABC,所以CC⊥AC,CC⊥BC, 所以∠ACB即为二面角A-CC-B的平面角. …9分 又二面角A-CC-B为直二面角，所以∠4CB=90°. 如图，以点C为原点，分别以CA,CB,CC为x,y,z轴建立空间直角坐标系 设CB=1>0),则430,0)，G(0,0,4),N0,54), 第1页（共8页） 所以4C=(-304,Ci=a,00,CN=054. 3x=0, 设n=(x,y,z)为平面ACN的法向量，则 nCA=0,即 n.CN=0. y+42=0 不妨取z=1,则n=(0,-8,)是平面ACN的一个法向量， …12分 所以eos(,4A同 n.AC 4t 5V64+7 设直线AC与平面ACN所成角为0， 所以sin0=cos(元，AC 56+r255, 4t 4 解之得1=4，即CB=4. 15分 N B1 A G M A街 B B A 方法二：在平面BCCB内，过点C作CG⊥CW,垂足为G,连接AG. 由直三棱柱ABC-AB,C得CC⊥平面ABC,又AC,BCc平面ABC, 所以CC⊥AC,CC⊥BC, 所以∠ACB即为二面角A-CC-B的平面角. …9分 又二面角A-CC-B为直二面角，所以∠ACB=90°，即AC⊥CB. 又AC⊥CC,CC∩CB=C,CC,CBc平面BCC,B, 所以AC⊥平面BCCB· 又CGc平面BCCB,所以AC⊥CG. 因为CG⊥CN,AC∩CN=C,AC,CNc平面ACN,所以CG⊥平面ACN, 所以∠CAG为直线AC与平面ACN所成的角. …12分 设CB=t(>0),因为AC=32+4=5,CN=V4+ 64+F, 42 所以CG=CCGN。4 CNV4+F,所以sim∠C4G-9G 4t 45 AC5V64+F25 解之得t=4,即CB=4.… …15分 第2页（共8页） 17.【答案】(1)集合C恰有三个元素，即从集合A中取出的两个元素，与集合B中取出的两 个元素，恰有一个是相同的，另一个是不同的，所以其概率为：P=CC- CC-3 …6分 (2)X可取值为2,3,4. P(X=2)= CC 1 CC 18 P(X=3)= CCC +CC 10 5 CC网 189 P(X=4)=CC+CCC CC 18 所以X的概率分布列为： X 2 3 4 1 7 P 5 18 9 18 X的期望为E(X)=2×+3×10 710 8 +4× …15分 18 183 18.【答案】(I)因为椭圆C的离心率是双曲线C,离心率的，倍， 3 所以 5-b15+b ,解之得b2=4」 53V5 所以椭圆C伴随双曲线C,的方程为上_上 54 =1. …5分 (2)(①由题可知F1,0),F'(3,0). 因为直线l∥12，所以设直线L:x=my+1,I2:x=y+3. 设M(x,y),N(x,y2)，P(x,)，x4,y4) -8m 4+八=4m2+5 x=my+l, 由 -16 4x2+5y2=20, 得(4m2+5)y2+8m心-16=0(，则4= 4m2+5 △1=320(m2+1)>0. 因为（∥l,所以P到直线1的距离等于F到直线（的距离， 所以Sap=SanF=FF'-=。-小=G+为广-4西 -8m}-4x,-16-64m2+644m2+5)85.√m2+1 V4m2+51 4m2+5 m2+5 4m2+5 10 又SAMP= 所以85y原中10 即12√m2+1=5(4m2+5), 4m2+53 即144(m2+1)=516m+40m2+25),即80m+56m2-19=0, 第3页（共8页） 则m-W20m+19y=0,所以m㎡=或m2=号（含.所以m=±号 20 经检验此时直线！与C,的右支有两个交点， 故l:2x+y-2=0或2x-y-2=0. …12分 ()方法一：设线法 由0中的方程(，可得2=-8m±85·Vm产+ 2(4m2+5) 因为乃>0，所以片= 45Vm2+1-4m 4m2+5 由 x =my +3, 14x2-5y2=20, 得(4m2-5)y2+24my+16=0(**), △，=320(m2+1)>0, 因为4，与C,右支交于P、Q两点，所以y= 16 4m2-5 <0, 0sm2< 由方程(，可得⅓4=24m±85V㎡+ 2(4m2-5) 因为⅓>0，所以片=45m+1+12m 5-4m2 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线FM的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、 PQ均垂直于x轴时，MN=PQ,此时T在直线x=2上，故猜测T所在的直线方程即为x=2. 又FL,0),F'(3,0),若T在直线x=2上，则TF=TF',也即km+kw=0. 下面，证明kP+kw=0. 路径0：因为k+kw=当+当，=当.+片-2my-乃+) x-1x-3m3+2my-2(my-2)(m%+2) 2ym-1+↓ 出 (my-2)(%+2) 又男=45m-m,所以15你+n 4m2+5 出 又%=45m1+12m,所以上_5.m+1-3m 5-4m2 4 所以m-1+1=m-5m1+m+5m+1-3m-0, y 4 4 则kn+kFM=O,所以∠TFF'=∠TFF，所以T在线段FF的中垂线上， 故T在定直线x=2上. …17分 第4页（共8页） 路径②：因为km+kw=片，+上，=卢。+乃一=2m-为+上) 5-1x-3m%+2m%-2(m%-2(my+2) 而y乃-片+片 =m 45m2+1-4m.45Vm+1+12m_45m+1+12m+4W5√m+1-4m 4m2+5 5-4m 5-4m 4m2+5 32m3+325m2√m2+1+80m165m2Vm2+1+205Vm2+1+48m3+60m (5-4m2)(4m2+5) (5-4m2)(4m2+5) +205√m2+1-20m-165m2Vm2+1+16m3 (5-4m2)(4m2+5) 32m+325m√m+1+80m+-80m-325mm+1-32m =0, (5-4m2)(4m2+5) (5-4m2)(4m2+5) 则kP+kM=0,所以∠TFF'=∠TFF，所以T在线段FF的中垂线上， 故T在定直线x=2上. …17分 思路2：因为MFy产-.Py产-川 y=y,x-3). 由 -3 得-3=(m-2) 45m+1+12m0m4W5ym+1-4m-2》 5-4m 4m2+5 .xm+习45m+1-4mm45m+1+12m+2y 4m2+5 5-4m _45.ym+1+12m)-45.mm+1-12m2-10 (45.Vm2+1-4m)(4v5.mNm2+1+4m2+10) -m45.、m+1+12m-(45.m+1-12m)-1045.Vm+1+12m m(4V5√m2+1-4m-(4v5.Vm2+1+4m)+10(4N5Vm2+1-4m) -m(-64m2+80)-405.m+1-120m-64m-405.ym+i-40m.-l. m(64m2+80)+40N5.Vm2+】-40m 64m3+40N5.Vm2+1+40m 所以术-3 =-1,解之得x=2. x-1 故T在定直线x=2上. …17分 方法二：设点法 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线FM的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、 PQ均垂直于x轴时，MN=PQ,此时T在直线x=2上，故猜测T所在的直线方程即为x=2 当x=1时，此时MF⊥x轴，PF'⊥x轴，MF=PF',矩形FMPF'对角线的交点T在线 段FF的中垂线x=2上 当x≠1时，只要证明km+kw=片+当，=0，即只要证明上=3-： x-1x-3 x-1 由直线%可得少，=少。，即上=- -1-3⅓-3 第5页（共8页） 所以只要证3-=-】，即只要证xx=2x+2x-5, x-1x-3 又点M在椭圆C上，点P在双曲线C,上，所以{ 4 则上5-x -5 54 所以5-五=G- x-5(x-3) ,即(5-xx-3)2=(:-1)(x-5), 关于x整理得(x-x-2)x+35-x)x+2x+5x-25=0, 即(x-2(x+10x+3(5-x)x+(2x-5)x+5)=0, 则[x-2)x-(2x-5)[+)x-(:+5]=0, 所以xx=2x+2x-5或x53=x-x+5. 下面证明xx=x一x+5不符合要求。 因为>0，所以4=>0，所以>或<1 片x-3 x>3<3. 而当5>1时，飞=+5=1+4<3：当5<1时，5=1+4 >3. x+1”x+1 +1 所以x=x-x+5不符合要求，故x=2x-2x-5. 综上所述，T在定直线x=2上. --..- …17分 思路2：由0知M(x,),P(xy),F1,0),F'(3,0) 由直线∥可得M”=FZ MT _FT=1, TE'TP 设TGo),F7带 x=(1+2)x。-3, MT=7F心即6-，6-)3--则5=0+ 则 FT=ATP, -1)=(x-x-%)方 元x3=(1+2)x。-1, 2x=(1+)y: 因为点M在椭圆C上，点P在双曲线C,上， 4[1+2)x。-3J+5[1+)y'=20, 所以 4[0+)x。-1-5[0+)y了=2022， 两式相加得80+2)x后-2420+)x,-81+)x,+16入2-16=0， 则(1+)}x后-30+)x。-(1+)x。+2(1+10(2-1)=0, 又A>0,所以1+元)x-(32+1)x+2(2-1)=0,即Ax后-3x+2)+(x后--2)=0， 令-3+2=0则=2 x--2=0 故T在定直线x=2上. -17分 第6页（共8页） 19.【答案】(1)因为Tn(2)-T①)=2，所以(an+an2)-(a。+an)=2, 即an2-an1=2,因此数列{an}是公差为2的等差数列， 所以T(3)-T.()=(an+a3)-(an+a)=a3-an=(a3-a2)+(an2-an)=4.-5分 (2)(①方法一：因为Tn(k)=4T(),所以a1+ank=4(an+a)①， 在①中，令k=1得an1+an2=4(an+a ② 在②中，令n=1得a+a,=4(a+a2),即a=4a,+3a2,③ 在②中，令n=2得a+a,=4(a2+a),即a=4a2+3a,④ 在①中，令k=2,n=1得a2+a4=4(a+4),即a=4a-4+4a.⑤ 又a=4,由③④⑤式解得a2=16,则a2+a,=20≠0， 又1+a2=4,所以{a,+a}是以20为首项，4为公比的等比数列， a+a 所以an+a1=5.4”, 则a1-41=-(an-4), 又a-4=0,所以a。-4"=0,故an=4”. …12分 方法二：因为Tn(k)=4T(k),所以a1+ak=4(a,+an+) 分别令k=1及k=2,得0+a2=4(a,+a》① an1+an3=4(an+an+2b② ②-①得a3-a2=4an*2-ai）n∈N 在①中，令n=1得a2+a=4(a+a): ③ 在②中，令n=1得a2+a,=4(a+a), ④ 在①中，令n=2得a+a,=4(a2+a), ⑤ ⑤-④得a-a2=4(a2-a), ⑥ 所以an2-a1=4(a1-an)，n∈N”. ③-⑥得2a,=4×2a,即a2=4a1=16, 4-4=16-4=12≠0，所以a1-a,≠0，所以02-au=4, antl -an 从而{a1-a,}是以12为首项，4为公比的等比数列. 所以an=(an-an-)+(an1-an-2)+(a3-a)+a =1242+43+…4+49)+4=121-4 1-4 -+4=4"(n≥2) 当n=1时，也满足，所以an=4”。 -12分 方法三：因为T()=4T(),所以an1+a4k=4(an+ak), 分别令k=1及k=2,得 al+aa2=4(a+an-b① an1+an3=4an+an2b② 第7页（共8页） 由①得a2+an3=4(a1+a2),③ ③-②得a2-an1=4(an1-a),④ ①-④得2a1=8a.,即a4=4a, 又a=4≠0，所以a,≠0，从而0L=4, a 所以{a}是以4为首项，4为公比的等比数列. 所以an=4.… …12分 ()方法一：假设存在正整数k,使得13江.()=16T(化+2)(m,n∈N), 即13T(k)=16T(k+2),(m,n∈N)，即13(a.+at)=16(am+amk+2), 于是13(4”+4)=164+42)，整理得4”+4◆=60+42)， 即4-)6-)60， 又m,n∈N°，所以4""=16，n-m=2, 所以161+4 =16,解得k=1. 131+4 所以存在正整数k=1,使得13T(k)=16T(k+2), 此时m,n满足的等量关系为n一m=2, …17分 方法二：假设存在正整数k,使得13T,(k)=16T(k+2)(m,neN), 即13T()=l6T(k+2),(m,n∈N),即13(an+ak)=16(am+amk2), 于是134”+4)=16(4"+4*+2).( 1°若m≥n,则16(4+4+*+2)≥16(4”+4*+2)>13(4”+4+*)，所以此时(*)无解； 2°若m<n. ①若n≥m+3,则16(4”+4+*+2)=13(4”+4+)≥13(4m3+4m+3+★)， 即16(4+4+2)≥52(4+2+4+2*)，这不可能，所以此时(*)无解： ②若n=m+2,则13(4m+2+4+2+)=16(4”+4m++2), 即43=4*2+t,所以k=1: ③若n=m+1,则13(41+4+*)=16(4"+4+*2)， 即3=17·4，此方程无正整数解，所以此时(*)无解。 综上所述，存在正整数k=1,使得13T(k)=16T(k+2), 此时m,n满足的等量关系为n-m=2。 …17分 第8页（共8页）