第03讲 双曲线（3个知识点+7种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第03讲 双曲线 课程标准 学习目标 1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养． 2．通过双曲线标准方程的求解、双曲线的几何性质、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养. 1．会按特定条件求双曲线的标准方程；(难点) 2.会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题. (重点) 知识点01．双曲线的定义 双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率． 标准方程 ①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线； ②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线． 性质 这里的性质以（a，b＞0）为例讲解： ①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|． 【命题方向】 这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写． 【即学即练1】（2024春•台江区校级期末）焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程可以是　　 A． B． C． D． 知识点02．双曲线的标准方程 双曲线标准方程的两种形式： （1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 离心率 e＝（e＞1） e＝（e＞1） 渐近线 即y＝±x 即y＝±x 准线 x＝± y＝± 【即学即练2】（24-25高二上·上海·阶段练习）与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为 . 知识点03．双曲线的性质 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝（e＞1） 准线 x＝± y＝± 渐近线 ±＝0 ±＝0 【即学即练3】（24-25高二上·上海·阶段练习）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（   ） A． B． C． D． 题型一：根据方程表示双曲线求参数的范围 1．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分条件 C．充要 D．既非充分也非必要 2．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知方程表示的曲线为.则以下四个判断中错误选项为（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．当或时，曲线表示双曲线 C．当时，曲线表示椭圆 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 3．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高二下·上海黄浦·期中）设m为常数，若点是双曲线C：的一个焦点，则 ． 5．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）设为实数，若关于的方程表示的是曲线，求满足下列条件的的取值范围． (1)曲线是椭圆； (2)曲线是焦点在轴上的双曲线． 题型二：利用双曲线定义求方程 1．（23-24高二上·全国·期中）方程可化简为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）设集合，是双曲线，则 ． 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 5．（24-25高二上·上海·课前预习）已知动点M到点的距离减去它到点的距离之差为2，记点M的轨迹为曲线C，以方程的解为坐标的点是否都落在曲线C上？ 题型三：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 1．（2024·上海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 3．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 4．（23-24高二上·上海·期末）已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则= . 5．（21-22高二·全国·课后作业）已知､是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，求的面积. 题型四：求双曲线的焦点坐标、焦距 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 2．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的焦点坐标是 ． 3．（23-24高二上·上海·期末）若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为 ． 4．（22-23高二下·上海松江·期末）已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 . 5．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）反比例函数的图像都是双曲线，求双曲线的焦点坐标 ． 题型五：双曲线的渐近线方程 1．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·上海·期末）已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·假期作业）双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 题型六：求解双曲线的实轴、虚轴长 1．（2023·全国·模拟预测）已知直线经过双曲线的一个焦点，且平行于的一条渐近线，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 3．（22-23高二下·上海·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 4．（23-24高二上·上海·期末）等轴（实轴长等于虚轴长）双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为 . 题型七：双曲线的离心率问题 1．（2024·北京·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的离心率为2，左、右焦点分别为，，点A在双曲线C上，若的周长为10a，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）从某个角度观察篮球（如图1)可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 5．（22-23高二下·陕西·期末）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为 . 6．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求的面积． 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·上海闵行·期末）设函数的图象由方程确定，对于函数给出下列命题: ①对于任意的，恒有成立； ②函数的图象上存在一点，使得 P到原点的距离小于； ③对于任意的，恒成立;以上命题中，真命题的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）双曲线的右焦点坐标是 . 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）双曲线的渐近线方程为 . 7．（24-25高二上·上海浦东新·期末）双曲线的焦距是，则实数的值为 ． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点为、，为双曲线上的点，则中点的轨迹方程为 . 10．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 11．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为 ． 13．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 14．（23-24高二下·上海·期中）某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率 . 15．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 16．（23-24高二上·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 三、解答题 17．（22-23高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 18．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线为双曲线上的任意点. (1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小； (2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. 19．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 20．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 21．（20-21高二上·上海杨浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设，点是线段中点，且，若的斜率存在，求的斜率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 双曲线 课程标准 学习目标 1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养． 2．通过双曲线标准方程的求解、双曲线的几何性质、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养. 1．会按特定条件求双曲线的标准方程；(难点) 2.会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题. (重点) 知识点01．双曲线的定义 双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率． 标准方程 ①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线； ②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线． 性质 这里的性质以（a，b＞0）为例讲解： ①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|． 【命题方向】 这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写． 【即学即练1】（2024春•台江区校级期末）焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程可以是　　 A． B． C． D． 【分析】利用焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程，结合选项，即可得出结论． 【解答】解：由题意，焦点在轴上，且渐近线方程为的双曲线的方程可以是， 故选：． 知识点02．双曲线的标准方程 双曲线标准方程的两种形式： （1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 离心率 e＝（e＞1） e＝（e＞1） 渐近线 即y＝±x 即y＝±x 准线 x＝± y＝± 【即学即练2】（24-25高二上·上海·阶段练习）与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为 . 【答案】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，并设出双曲线方程，利用待定系数法求解即得.. 【详解】由双曲线与椭圆有公共焦点，得双曲线的焦点坐标为， 设双曲线方程为，而双曲线过点， 于是，即，又，解得， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为： 知识点03．双曲线的性质 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝（e＞1） 准线 x＝± y＝± 渐近线 ±＝0 ±＝0 【即学即练3】（24-25高二上·上海·阶段练习）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程直接判断. 【详解】方程即为， 由方程表示双曲线，可得， 所以，， 所以虚轴长为， 故选：B. 题型一：根据方程表示双曲线求参数的范围 1．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分条件 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】计算出方程表示焦点在轴上的双曲线时的的范围进行判定即可. 【详解】表示焦点在轴上的双曲线时， 有，解得， 因为“”是“”的必要非充分条件， 故“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要非充分条件. 故选：B. 2．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知方程表示的曲线为.则以下四个判断中错误选项为（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．当或时，曲线表示双曲线 C．当时，曲线表示椭圆 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线的标准方程求解即可. 【详解】选项A：当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，解得，正确； 选项B：当时，曲线表示双曲线，解得或，正确； 选项C：当时，曲线表示椭圆，解得且，错误； 选项D：当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，解得，正确； 故选：C 3．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】根据双曲线标准方程的特点求解. 【详解】 是焦点在x轴的双曲线， ，即 ； 故答案为： . 4．（23-24高二下·上海黄浦·期中）设m为常数，若点是双曲线C：的一个焦点，则 ． 【答案】16 【分析】现将双曲线方程化为标准方程，根据已知结合的关系列出方程，求解即可得出答案. 【详解】将双曲线方程化为标准方程. 又为双曲线一个焦点， 所以有，解得. 故答案为：16. 5．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）设为实数，若关于的方程表示的是曲线，求满足下列条件的的取值范围． (1)曲线是椭圆； (2)曲线是焦点在轴上的双曲线． 【答案】(1) (2) 【分析】由椭圆及双曲线的定义列不等式求解即可 【详解】（1）由题意知，解得 （2）由题意知，则，解得 题型二：利用双曲线定义求方程 1．（23-24高二上·全国·期中）方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项平方化简可得答案. 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得， 可化简为. 故选：D. 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程. 【详解】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）设集合，是双曲线，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合，由交集的定义求解即可. 【详解】， 若表示双曲线，则，解得：， 所以，所以. 故答案为： 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值． 【详解】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4.    5．（24-25高二上·上海·课前预习）已知动点M到点的距离减去它到点的距离之差为2，记点M的轨迹为曲线C，以方程的解为坐标的点是否都落在曲线C上？ 【答案】答案见解析 【分析】设，由题意,求出的轨迹方程，再根据题意判断是否落在曲线上. 【详解】设，由题意，故点的轨迹是双曲线右支， 所以，则，而， 故曲线C：. 对于方程，如在方程上，但是不在曲线C上. 题型三：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 1．（2024·上海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助双曲线定义计算即可得. 【详解】由双曲线定义可知：， 则三角形的周长为， 故. 故选：D. 2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 3．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算． 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24高二上·上海·期末）已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则= . 【答案】/0.25 【分析】根据内切圆的性质，由切线长以及双曲线定义可得，即可利用锐角三角函数求解. 【详解】由可得， 如图：作出的内切圆与三边分别交于, 则， 又， 所以，所以轴， 由内切圆的性质可得，， ,所以, 故答案为： 5．（21-22高二·全国·课后作业）已知､是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，求的面积. 【答案】 【分析】根据双曲线焦点坐标结合题意求得，根据双曲线定义和余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可求得结果. 【详解】因为､是双曲线的两个焦点， 所以，所以； 设，， 因为点M是双曲线上一点，且，所以； 在△中，由余弦定理可得：； 联立上述两式可得：， 所以的面积. 题型四：求双曲线的焦点坐标、焦距 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 2．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据方程求出值，判断焦点所在坐标轴，即可求解. 【详解】根据双曲线方程可得：，则，因为焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标是， 故答案为： 3．（23-24高二上·上海·期末）若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】 根据焦距求解双曲线方程，即可由渐近线方程求解. 【详解】由题意可得，故， 故双曲线方程为，因此渐近线方程为， 故答案为： 4．（22-23高二下·上海松江·期末）已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】由已知条件求出与的关系，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线的焦距是椭圆焦距的3倍， 则有，化简得，则有， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）反比例函数的图像都是双曲线，求双曲线的焦点坐标 ． 【答案】， 【分析】结合双曲线性质，计算双曲线的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标. 【详解】由双曲线的渐近线为轴与轴，故其焦点在上， 联立，解得或，故其两顶点坐标分别为，， 故其半实轴长为，与轴、轴夹角都为，又， 故其半虚轴长为，故其半焦距为， 故其焦点坐标分别为，. 故答案为：，. 题型五：双曲线的渐近线方程 1．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 2．（21-22高二上·上海·期末）已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程. 【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为： ∴设双曲线： ∵双曲线与椭圆有相同的焦点 ∴，解得： ∴双曲线的方程为. 故选：B. 3．（24-25高二·上海·假期作业）双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可设双曲线方程为，将代入方程求得，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线经过一点，渐近线方程为， 可设双曲线方程为， 将代入方程得， 故双曲线的方程为，标准方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，解得、，即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线方程为，代入点即可得结果； （2）利用点差法求直线的斜率，即可得方程. 【详解】（1）因为渐近线方程为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，即， 所以双曲线方程为，即. （2）设， 因为线段的中点为，则， 又因为A，是双曲线上的两点，则， 两式相减可得， 整理得， 可得，即直线的斜率， 所以直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 可得， 即直线与双曲线相交，直线符合题意， 综上所述：直线的方程为.    【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法 （1）用“点差法”求解弦中点问； （2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 题型六：求解双曲线的实轴、虚轴长 1．（2023·全国·模拟预测）已知直线经过双曲线的一个焦点，且平行于的一条渐近线，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出满足的方程，求得a的值，即得答案. 【详解】由题意知，的焦点在轴上，所以直线与轴的交点是的一个焦点， 故； 又因为直线与的一条渐近线平行，故的一条渐近线的斜率为-2， 即，联立，解得， 因此的实轴长为， 故选：C. 2．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】D 【分析】由双曲线方程求得对应的，进而判断选项是否正确. 【详解】因为双曲线与， 所以， 因为，所以， 所以，所以选项A，B错误； 因为， 所以，所以选项C错误； 因为，所以选项D正确. 故选：D. 3．（22-23高二下·上海·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义计算可得. 【详解】由双曲线的定义知，， 两式相加得，又，， 则， 故的周长为. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·期末）等轴（实轴长等于虚轴长）双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】先由椭圆方程求出半焦距，判断出焦点位置，再设出双曲线方程，利用题设列出方程求解即得. 【详解】由可得其半焦距，且椭圆焦点在轴上，故可设与之有公共焦点的等轴双曲线C的方程为， 依题意，，解得，故双曲线C的方程为. 故答案为：. 题型七：双曲线的离心率问题 1．（2024·北京·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出双曲线方程，在根据离心率公式，即可求出。 【详解】由题意知，双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线C经过点，所以， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 2．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的离心率为2，左、右焦点分别为，，点A在双曲线C上，若的周长为10a，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，由的周长为10a结合双曲线的定义可得，，由余弦定理可求得，进而可得，从而利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由双曲线的对称性不妨设点A在双曲线的右支上， 由，得，于是的周长为，∵的周长为10a，∴． 又∵，∴，． 在中，， ∴． ∴． ∴． 故选：B． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）从某个角度观察篮球（如图1)可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的标准方程为，求出圆与双曲线在第一象限内的交点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的标准方程为， 设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、， 则， 因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，则， 故点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 4．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据，可得，由椭圆定义即可解得其离心率，由渐近线方程可得，根据双曲线的离心率公式即可解得离心率. 【详解】如图所示，椭圆， 因为, 所以， 又因为， 所以， 故， 双曲线的一条渐近线设为， 即，故， 所以双曲线离心率， 所以. 故答案为：. 5．（22-23高二下·陕西·期末）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为 . 【答案】 【分析】由双曲线的离心率求出渐近线的斜率，根据直线的夹角公式即可求得答案. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，即，则， 故双曲线两条渐渐近线的斜率为， 设双曲线的两条渐近线的夹角为，则， 故答案为： 6．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出它们的值，即得答案； （2）由题意可确定P点坐标，根据三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得：，据此可得， 故双曲线的标准方程为． （2）由双曲线的标准方程可得，由于，则， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点P在双曲线的渐近线上，则， 则△PFO的面积． 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用渐近线的斜率公式结合倾斜角与斜率之间的关系，即可解决. 【详解】由题意得的渐近线方程为，则． 故选：B. 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得. 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程. 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 4．（22-23高二下·上海闵行·期末）设函数的图象由方程确定，对于函数给出下列命题: ①对于任意的，恒有成立； ②函数的图象上存在一点，使得 P到原点的距离小于； ③对于任意的，恒成立;以上命题中，真命题的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】分类讨论去掉绝对值，作出函数的图象，根据图象以及椭圆，双曲线的性质即可一一判断. 【详解】当时，即，，表示椭圆的第一象限部分图象； 当时，即，，表示双曲线的第四象限部分图象； 当时，即，，表示双曲线在第二象限部分图象； 当时，即，，不表示任何图象. 在同一个坐标系中作出以上图象. 由图可得，函数的图象在R上单调递减，故①错误； 根据椭圆性质可知，椭圆短轴端点到原点的距离最小为， 根据双曲线的性质可知，双曲线的顶点到原点的距离最小为2， 故函数的图象上不存在一点，使得到原点的距离小于，故②错误； 从图象可知，直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率， 所以直线与曲线，有交点，故③错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，按要求去掉绝对值，分段作出函数的图象，结合图象和圆锥曲线的性质进行判断. 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）双曲线的右焦点坐标是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得解. 【详解】由双曲线，得，所以， 且焦点在x轴上，所以右焦点为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】由双曲线方程求出，则可得渐近线方程. 【详解】双曲线，焦点在轴上，且， 则， 故双曲线的渐近线方程为，即. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海浦东新·期末）双曲线的焦距是，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】分类讨论和，由题意可得出或，解方程即可得出答案. 【详解】若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 故答案为：或 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点为、，为双曲线上的点，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点、，利用中点坐标公式化简可得出点，再将点的坐标代入双曲线的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、， 在双曲线中，，，则，则点， 由中点坐标公式可得，可得，即点， 因为点在双曲线上，所以，，整理可得. 故答案为：. 9．（24-25高二·上海·随堂练习）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的定义求出 ，，，利用余弦定理得出结果即可. 【详解】由题意可得，由双曲线的定义得， 而，解得，， 由余弦定理得 ，所以． 故答案为： 10．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设，则根据题意可知，，，，又易知，在中，由勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】设，则根据题意可知，， 所以，，又易知， 在中，由勾股定理可得：， 解得，又， 所以， 所以的面积为． 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得，，再结合有，联立解得的值，从而得解． 【详解】因为双曲线：，所以， 设直线方程为，代入双曲线方程消去得． 设， 因为，且， 所以，． 因为，所以， 所以，， 两式联立解得（负值舍去）． 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设点渐近线上，直线的方程为，联立求得,由，求得，代入双曲线方程化简即可得出结果. 【详解】 设左焦点，假设点渐近线上，则直线的方程为， 联立，即， 又因为，所以为的中点，所以， 因为Q在双曲线上，所以，化简得， 则双曲线的离心率为， 故答案为：. 13．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 【答案】3 【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解． 【详解】如图，画出草图． 由的离心率为，且，可得，解得. 因为， 所以由双曲线的定义，可得. 故答案为：． 14．（23-24高二下·上海·期中）某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率 . 【答案】 【分析】由双曲线的渐近线互相垂直，其为等轴双曲线，从而可得离心率． 【详解】由题意，双曲线的渐近线为， 若两渐近线垂直，则，解得，即双曲线为等轴双曲线， 所以离心率为. 双曲线的两渐近线为轴和轴，互相垂直，则双曲线为等轴双曲线， 所以离心率为. 故答案为：. 15．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 【答案】 【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可. 【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于， 可得，，， 又由双曲线定义可得， 则， 又，解得， 则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为. 又，可得， 化简得，即， 即是的平分线，由于，， 所以点是的内心，且半径为， 则， 又， 所以. 故答案为：. . 【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据条件式化简求得，即得是的平分线，再结合双曲线定义和内切圆的性质求得点是的内心. 16．（23-24高二上·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【答案】/0.8 【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得，再根据双曲线的定义化简可求. 【详解】设的内切圆半径为， 由双曲线的定义得 由题意得， 故， 又双曲线的， 代入上式得：， 故答案为：. 三、解答题 17．（22-23高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，求出双曲线方程，写出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； （2）由，得到或，表达出，根据对称轴为得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 18．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线为双曲线上的任意点. (1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小； (2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的性质，结合向量夹角公式或直线的夹角公式计算即可； （2）利用点到直线的距离结合点在双曲线上化简即可. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为和， 法一：在两渐近线上分别取点， 则渐近线的夹角为； 法二：夹角为； （2）设是双曲线上任意一点，由（1）及点到直线的距离公式可知： 该点到两条渐近线的距离分别是和， 为双曲线上的点，点的坐标需要符合双曲线的方程， 即：， 它们的乘积是， 点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. . 19．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）解：设直线交双曲线于点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左支有两个交点，则， 解得，故实数的取值范围是. （3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 设点、，因为为线段的中点，则， 将点、的坐标代入双曲线的方程可得， 作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，则， 因此，不存在满足题设条件的直线. 20．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据双曲线方程求解出的值，根据求解出的值，则坐标可知； （2）设出点坐标，然后表示出，根据点在双曲线上以及二次函数的性质求解出，代入于双曲线方程则可知，故点坐标可知； （3）设出坐标，联立直线与双曲线方程得到横坐标的韦达定理形式，然后将数量积关系转化为坐标关系，结合韦达定理可求解出的值. 【详解】（1）因为双曲线方程为， 所以，所以， 所以上焦点. （2）设，则， 所以， 当时，此时取得最小值且， 所以，所以， 所以. （3）因为为上顶点，所以， 由题意可知：不经过，所以， 设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简可得：，解得或（舍）， 综上所述，. 21．（20-21高二上·上海杨浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设，点是线段中点，且，若的斜率存在，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据是等边三角形，建立方程解出的值即可； （2）设直线方程，联立写出韦达定理，利用得到向量数量积为0建立关于直线斜率的等式，解出即可. 【详解】（1）设，由题意，，，， 因为是等边三角形，所以， 即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）当的斜率为0时，由直线过且与双曲线交于两点 且点是线段中点此时，不满足，故直线的斜率不为0 故由已知，，， 设，，， ， 直线， 由， 得， 因为与双曲线交于两点，所以， 且， 所以 所以 因为点是线段中点，且 所以， 所以 即， 将代入上式化简得： 即 解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$