空间向量及其应用（解答题）专题练-2025届高考数学一轮复习备考

空间向量及其应用 1．如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 2．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 3．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 4．如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 5．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 6．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由． 7．已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： (1)证明：平面； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 8．如图，四棱锥中，平面平面，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面． (1)求 (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求平面截四棱锥所得多边形的周长． 9．如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. (1)求实数值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 10．如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 11．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，，点G是线段BF的中点． (1)证明：平面DAF； (2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离． 12． 在四棱锥中，，，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 参考答案： 1．（1）证明见解析；（2）． (1)如图所示，取的中点，连结， 由于为正方体，为中点，故， 从而四点共面，即平面CDE即平面， 据此可得：直线交平面于点， 当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合， 即点为中点. (2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2，设， 则：， 从而：， 设平面的法向量为：，则： ， 令可得：， 设平面的法向量为：，则： ， 令可得：， 从而：， 则：， 整理可得：，故（舍去）. 2．(1)证明见解析 (2) （1）证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面    （2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为.    3．(1)证明见解析 (2) (3) （1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 4．(1)证明见解析 (2) (3) （1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 5．(1)证明见解析 (2) （1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 6．(1)证明见解析 (2) (3)不在，理由见解析 （1）因为平面，又平面，则， 又，且，，平面，故CD平面； 又面， ， ，为中点， ， ，，面， 面； （2）过点作的垂线交于点， 因为平面，且，平面，所以，， 故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 因为为的中点，则，所以， 又，所以，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，故， 又因为平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角余弦值为；    （3）直线不在平面内， 因为点在上，且，又，故， 则， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以， 所以直线不在平面内． 7．(1)证明见解析 (2) (3) （1）直角梯形中， 由相似可得， 因为，，可得，， 故可得，， 由，则由勾股定理逆定理得，，即， ， 翻折后可得，，， 又因为，在平面内， 故平面 （2）因为点为边的中点， 所以，又， 所以， 因为平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h， 因为为定值， 当h最大时，三棱锥的体积最大， 而，则， 当h=1时，. （3）由（2）得，当三棱锥的体积最大时， 点P到平面ABC的距离为，即平面． 故，， 又因为， 故，，两两垂直． 故可以为原点， 直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题可得，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 8．(1) (2) (3) （1）设，，，则， 在中，， 整理得， 由题意得， 则， 即， 解得， 因此， 即． （2）作中点，连接，， 因为为中点，， 所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而，，平面，故，，， 因为，， 所以四边形、四边形都是平行四边形， 故，，而，所以， 又因为为中点，所以，在平面中也有， 由于，故，，，， 由勾股定理得：，， 故以为原点，，， 为，，轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面，平面，平面，平面的法向量分别为，，， 则，即，取，则， 同理可得， 因为平面同时垂直于平面，平面，所以，， 即，取，则， 平面的法向量是，则， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 因此平面与平面夹角的正弦值为． （3）设是平面上一点，因为平面过点，则可以设， 这是因为此时，因此可设， 因为当平面与平面相交时，其交线必为直线且唯一，故只需讨论平面与四棱锥的公共部分， 当时，在直线上， 因此平面过直线，故平面与平面，平面交于直线，与棱，分别交于，， 故只需讨论平面与棱，的交点：设平面与棱，的交点分别为，， 则设，， 令，则， 解得，即， 同理可得， 故平面与平面交于，平面交于，因此平面截四棱锥所得截面多边形为四边形， 故周长为． 9．(1)； (2)； (3). （1）依题意，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，由，得，则，而， 而，显然，解得. （2）由（1）得，，设平面的法向量， 则，令，得，又， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）令平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 10．(1) (2) （1）由，,所以, , 所以,, 故四棱锥的表面积为 （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,4,， ,4,，，其中， 则， 设平面的法向量为，则， 即令，则平面的法向量， 设到平面的距离为，， 由于，解得， 故， 点到直线的距离为． 11．(1)证明见解析 (2) （1）取中点，连接，如图所示： 为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2）因为，，，所以. 因为平面，且直线与圆柱底面所成角为， 所以，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 故点到平面的距离. 12．(1)证明见解析 (2) （1）∵点为的中点，则， ∵，∴， 又即，∴四边形为平行四边形， ∴，平面，平面，则平面. （2）连接交于，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴为的中点，又，则， ∵平面平面，平面，面面， ∴平面，又平面，∴， 在中，由余弦定理可得， ∴，∴，∵， ∴为直角三角形，即， 过点作的平行线，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图   可得， ∴， 设面的法向量为，则， 取得，∴    设与平面所成的角为，则 ∴与平面所成的角的正弦值为 学科网（北京）股份有限公司 $$