2025年中考数学一轮复习讲义 专题24 一次函数

专题24 一次函数 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•新都区期末）关于函数，下列结论正确的　　 A．函数图象一定经过点 B．函数图象经过第一、二、三象限 C．的值随的值的增大而增大 D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 2．（2024秋•蓝田县期末）若函数的图象上有两点，，，，当时，，则的值可以是　　 A． B．0 C．0.5 D．1 3．（2024秋•武侯区期末）已知点和都在直线为常数）上，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 4．（2024秋•秦淮区期末）一次函数，为常数）的图象经过点，且函数值随增大而减小，则点的坐标可能为　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•清远期末）一次函数与正比例函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•松江区期末）已知正比例函数是常数，的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•碑林区校级期末）已知一次函数，则下列说法中正确的是　　 A．该函数的图象经过点 B．该函数的图象不经过第四象限 C．的值随的值的增大而增大 D．该函数的图象与轴的交点坐标为 8．（2024秋•泉山区校级期末）已知一次函数、是常数），与的部分对应值如表： 0 1 2 2 4 6 下列说法中，正确的是　　 A．图象经过第二、三、四象限 B．方程的解是 C．将的函数图象向左平移2个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与轴的交点是 9．（2024秋•沙坪坝区校级期末）在一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，驶向地，同时乙车从地出发驶向地，到达地停留0.5小时后，按原路原速返回地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达地．两车距各自出发地的路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①甲车的行驶速度是60千米小时； ②乙车的行驶速度是90千米小时； ③，两地的路程为240千米； ④出发4.5小时，甲、乙两车同时到达地． 正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 10．（2024•南通）甲、乙两人沿相同路线由地到地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程（单位：与甲的前进时间（单位：之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是　　 A．甲比乙晚出发 B．乙全程共用 C．乙比甲早到地 D．甲的速度是 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•宜兴市期末）如图，是直线上一动点，若点、的坐标分别为、，则△的面积为 　　． 12．（2024秋•清远期末）如图，一次函数与坐标轴的交点为，，在轴上存在一点，使得△是以为底边的等腰三角形，则点的坐标为　　． 13．（2024秋•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于的方程的解为 　　． 14．（2024秋•鼓楼区校级期末）将正比例函数的图象向上平移两个单位长度，平移后图象的函数表达式为 　　． 15．（2024秋•淮北期末）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在轴上方，并且位于直线上，△的面积为，若点的坐标是，则关于的函数关系式（写出的取值范围）是　　． 16．（2024秋•兴庆区校级期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，则 　　． 17．（2024秋•兴庆区校级期末）一次函数图象经过原点，则的值为 　　． 18．（2024秋•建邺区期末）—次函数中两个变量，的部分对应值如表所示： 0 1 7 5 3 1 那么关于的不等式的解集是 　　． 19．（2024秋•西安期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了 　　． 20．（2024春•龙口市期末）小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧长度与所挂物体质量的部分对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 30 32 34 36 38 40 当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为 　　． 三、解答题（共7小题） 21．（2024秋•建邺区期末）已知一次函数，为常数且的图象经过，． （1）求这个一次函数的表达式． （2）求直线与轴的交点的坐标． 22．（2024秋•玄武区校级期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求一次函数的表达式； （2）画出这个一次函数的图象，并根据图像回答：当 　　时，； （3）若该一次函数的图象、函数为常数，的图象和轴所围成的三角形的面积大于8，直接写出的取值范围． 23．（2024秋•皇姑区期末）如图，已知一次函数y＝2x+2与x轴和y轴分别交于点A和点B，与过点C（2，0）的直线相交于点． （1）求直线CD的表达式； （2）点E为直线CD上任意一点，过点E作EF∥x轴，交AB于点F，过点E作EG⊥x轴，垂足为G，当EF＝2EG时，求点E的横坐标． 24．（2023秋•金凤区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）直线与轴交于点，求的面积． （3）若，直接写出的取值范围． 25．（2024秋•成华区期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交直线于点，是直线上一动点，且在点上方，设点的纵坐标为． （1）求直线的解析式； （2）求△的面积（用含的代数式表示）； （3）当△的面积等于1时，在轴上是否存在点，使△是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2024秋•南京期末）小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间后小明再出发，设爸爸骑行的时间为，两人离家的距离与的关系如图①所示，两人之间的距离与的关系如图②所示． 请结合图象信息，解答下列问题： （1）爸爸的速度为 　　，小明的速度为 　　； （2）直接写出点的坐标，并解释该坐标的实际意义； （3）爸爸出发多长时间后，两人相距？ 27．（2024秋•大东区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于，两点，点坐标为，点坐标为，点在直线上，且点坐标为． （1）求直线的函数表达式和点的坐标； （2）点是轴上的一动点，当时，求点坐标； （3）如图2，点坐标为，连接，点为直线上一点，且，求点坐标． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B D A A D A D 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：、当时，，选项说法错误，不符合题意； 、一次函数，，一次函数图象过第一、二、四象限，选项说法错误，不符合题意； 、一次函数，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； 、，选项说法正确，符合题意； 故选：． 2．【答案】 【解答】解：正比例函数图象上有两点，、，，当时，， 随的增大而减小， ， 结合选项只有在的范围内． 故选：． 3．【答案】 【解答】解：点和都在直线为常数）上， ，， ． 故选：． 4．【答案】 【解答】解：一次函数函数值随增大而减小， ， 一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限排除选项、， 选项中，，与条件不符，故排除；选项点在第二象限，且，符合条件． 故选：． 5．【答案】 【解答】解：、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数，则两直线不可能相互平行．故选项不符合题意； 、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数，则两直线不可能相互平行．故选项不符合题意； 、正比例函数图象经过第一、三象限，则，则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故选项不符合题意； 、正比例函数图象经过第二、四象限，则，则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限．故选项符合题意． 故选：． 6．【答案】 【解答】解：正比例函数是常数，的图象经过点， ，得， 正比例函数， 当时，，即点在这个正比例函数图象上，故选项符合题意； 当时，，则点不在这个正比例函数图象上，故选项不符合题意； 当时，，则点和点都不在这个正比例函数图象上，故选项、不符合题意； 故选：． 7．【答案】 【解答】解：、当时，，故该函数的图象经过点，原说法正确，符合题意； 、函数，，，函数图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； 、一次函数，随的增大而减小，原说法错误，不符合题意； 、当时，，与轴的交点坐标为，，原说法错误，不符合题意； 故选：． 8．【答案】 【解答】解：一次函数图象过点、， ，解得：， 一次函数解析式为， 图象经过第一、二、三象限， 选项错误； 令，则，解得：，即该函数图象与轴的交点是， 选项错误，选项正确； 平移后得到该函数的图象， 选项错误； 故选：． 9．【答案】 【解答】解：根据题意结合图象，甲车的行驶速度为（千米小时），故①正确； 乙车到达地的时间为（小时）， 乙车的行驶速度为（千米小时），故②正确； 由图象知，，两地的路程为（千米），故③正确； 甲车到达地的时间为（小时）， 出发4小时，甲、乙两车同时到达地，故④错误， 正确的是①②③， 故选：． 10．【答案】 【解答】解：甲的速度是：； 乙的速度是：； 由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11． 【解答】解：设直线的解析式为， 点、的坐标分别为、， ，解得，， 直线为， 直线与直线平行， 设直线交轴于点，作直线于， 在中，令，则， 直线与轴的交点， ， ， ， ，即， ， ， △的面积为：， 故答案为：． 12．【答案】． 【解答】解：一次函数， 当时，；当时，， ，， 在轴上存在一点，使得△是以为底边的等腰三角形， 设，， ，， ， ， 解得， 点的坐标为． 故答案为：． 13．【答案】4． 【解答】解：直线经过点， 当时，， 关于的方程的解为． 故答案为：4． 14．【答案】． 【解答】解：将正比例函数的图象向上平移两个单位长度，平移后图象的函数表达式为， 故答案为：． 15．【答案】． 【解答】解：点是直线上在第一象限内的点，点， △的面积为， 点直线上， ， 故答案为：． 16．【答案】． 【解答】解：如图，直线交轴于点， 与轴交于点，与轴交于点， ，，， 设直线的解析式为，代入坐标得： ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，， ， ． 故答案为：． 17．【答案】． 【解答】解：把代入得： ， 解得或， 是一次函数， ， ， 的值为； 故答案为：． 18．【答案】． 【解答】解：当时， 根据表中数据可知函数值随的增大而减小， 不等式的解等是． 故答案为：． 19．【答案】15． 【解答】解：设大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为为常数，且， 将坐标，代入， 得， 解得， 大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为； 由题意可知，当时，小轿车从乙地返回到达甲地， 设小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为、为常数，且， 坐标和分别代入， 得， 解得， 小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为， 当在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，得， 解得， 小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了． 故答案为：15． 20． 【解答】解：由表中数据可以看出，对于每组数据，均有，将其整理得：与的函数关系为． 当时，． 故选：24； 三、解答题（共7小题） 21．【答案】（1）一次函数的表达式为； （2）点的坐标为． 【解答】解：（1）将点和点坐标分别代入得， ， 解得， 所以一次函数的表达式为． （2）将代入得， ， 解得， 所以点的坐标为． 22．【答案】（1）一次函数解析式为；（2）图象见详解；；（3）． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为 ， 一次函数的图象经过点，， ，解得， 一次函数解析式为； （2）一次函数图象如图： 由图象可知，当时，， 故答案为：． （3）函数为常数，的图象和轴的交点坐标， 该函数与轴交点坐标为，， 该一次函数的图象、函数为常数，的图象和轴所围成的三角形的面积大于8， ， 解得：． 23．【答案】（1）直线CD的函数解析式为y＝﹣3x+6； （2）点E的横坐标为或． 【解答】解：（1）令直线CD的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以直线CD的函数解析式为y＝﹣3x+6． （2）令点E的横坐标为m， 则E点坐标可表示为（m，﹣3m+6）， 因为EF∥x轴， 所以yF＝yE＝﹣3m+6． 因为点F在直线AB上， 所以． 当m＜时， EF＝，EG＝﹣3m+6， 由EF＝2EG得， ， 解得m＝（舍去）． 当时， EF＝m﹣（）＝，EG＝﹣3m+6， 由EF＝2EG得， ， 解得m＝． 当m＞2时， EF＝m﹣（）＝，EG＝3m﹣6， 由EF＝2EG得， ， 解得m＝， 综上所述，点E的横坐标为或． 24．【答案】（1）； （2）3； （3）． 【解答】解：（1）将代入得：， 解得， ， 设直线的表达式为，将、代入得：， 解得， 直线的表达式为； （2）在中，令得， ， ， 的面积； （3）观察图象，当时，， 若，的取值范围是． 25．【答案】（1）直线的解析式为； （2）△的面积为； （3）在轴上存在点，使△是等腰三角形，的坐标为或或． 【解答】解：（1）设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）在中，令得， ， 是直线上一动点，且在点上方，纵坐标为， ， ， △的面积为； （3）在轴上存在点，使△是等腰三角形，理由如下： △的面积等于1， ， 解得， ， 设， ， ，，， ①当时，， 解得或； 或； ②当时，， 解得； ； ③当时，， 方程无实数解； 综上所述，的坐标为或或． 26．【答案】（1）12，18； （2）点坐标为，点的实际意义为：小明到达终点时，小明和爸爸之间的距离为； （3）爸爸出发或后两人相距． 【解答】解：（1）根据图②和题意可知，爸爸骑行了， 爸爸的速度为：， 爸爸骑行的路程为：， 小明的速度为：， 故答案为：12，18； （2）设点坐标为， 则， ， 点坐标为， 点的实际意义为：小明到达终点时，小明和爸爸之间的距离为； （3）设爸爸出发小时后两人相距， ①小明出发后，根据题意得：， 解得； ②小明到达终点后，， 综上所述，爸爸出发或后两人相距． 27．【答案】（1）直线的函数表达式为，； （2）点坐标为或； （3）的坐标为，或，． 【解答】解：（1）设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为， 把代入得：， 解得， ； （2）如图： 设， ， ， 解得或； 点坐标为或； （3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设， 当在下方时，如图： ，， △是等腰直角三角形， ，， ， ， △△， ，， ， 解得， ，， 由，，得直线解析式为， 联立， 解得， ，； 当在上方时，如图： 同理可得△△， ，， ， 解得， ，， 直线解析式为， 联立， 解得， ，； 综上所述，的坐标为，或，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 一次函数 模型1 正比例函数、一次函数的定义 5 模型2 正比例函数的图象和性质 7 模型3 一次函数的图象和性质 9 模型4 一次函数的平移 11 模型5 待定系数法 13 模型6 函数图象共存问题 16 模型7 一次函数与方程（组）、不等式（组） 19 模型8 一次函数的应用 22 模型归纳 1．正比例函数 （1）正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）． （3）正比例函数的性质 正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 2．一次函数 （1）一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 一次函数y=kx+b（k≠0 ，b≠0）的图象是一条直线． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 3．一次函数图象的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 4．用待定系数法确定一次函数的解析式 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 5．一次函数与方程、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． （2）①任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． ②一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系： ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围． ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围． （3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=k1x+b1和y=k2x+b2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y． 6．方案最值问题： 对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案． 方法归纳 1．对函数定义的理解，主要抓住以下三点： （1）有两个变量． （2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． （3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 2．所谓最佳方案是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，要求你利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案，此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起．解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为函数模型． 3．运用一次函数选择最佳方案的步骤： （1）从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个或两个以上的模型）； （2）列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系； （3）结合实际需求，选择最佳方案． 4．求最值的本质为求最优方案，解法有两种： （1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； （2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 显然，第（2）种方法更简单快捷． 模型1 正比例函数、一次函数的定义 典例 （2024秋•台安县月考）若关于的函数是一次函数，则的值为　　 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】 【解答】解：关于的函数是一次函数， ， ， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．正比例函数必须符合下列两个条件：一是两个变量的次数都是1；二是比例系数k≠0． 2．判断函数是一次函数的方法： 先看函数解析式能否通过变形转化为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，若能，则是一次函数，当b=0时，该函数是正比例函数，即先化简后判断． 【变式练1】　（2024秋•城关区校级期中）下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解答】解：其中一次函数有①；②；③，共3个． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•云岩区校级期中）下列函数中，是正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：．是的一次函数，所以选项不符合题意； ．是的二次函数，所以选项不符合题意； ．是的反比例函数，所以选项不符合题意； ．是的正比例函数，所以选项符合题意． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•七星关区校级期中）若函数是关于的正比例函数，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意可得：且， 解得， 故选：． 模型2 正比例函数的图象和性质 典例 （2024秋•杨浦区期末）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：， 图象经过第二、四象限， ， 解得， ， 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 正比例函数y=kx（k≠0）中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小． 【变式练1】　（2024秋•普陀区期末）已知正比例函数（其中为常数，且，如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是　　 A． B． C．0 D．2 【答案】 【解答】解：正比例函数（其中为常数，且中，的值随的值增大而增大， ， 解得， ， 不可能是． 故选：． 【变式练2】　（2024•灞桥区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过点，则这个图象一定也经过点　　 A． B．， C．， D．， 【答案】 【解答】解：正比例函数经过点， ， 解得； 正比例函数的解析式是； 、当时，，点不在该函数图象上；故本选项错误； 、当时，，点，不在该函数图象上；故本选项错误； 、当时，，点，在该函数图象上；故本选项正确； 、当时，，点，不在该函数图象上；故本选项错误． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•晋中期中）下列正比例函数中，的值随着值的增大而减小的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、在函数中， ， 随的增大而增大，不符合题意； 、在正比例函数中， ， 随的增大而增大，不符合题意； 、在正比例函数中， ， 随的增大而增大，不符合题意； 、在正比例函数中， ， 随的增大而减小，符合题意， 故选：． 模型3 一次函数的图象和性质 典例 （2024秋•宝安区期末）一次函数图象不过第三象限，写出满足条件的的一个值 　　． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：一次函数图象不过第三象限， ， 可以等于． 故答案为：（答案不唯一）． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的．k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓；b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方，b<0，直线交y轴下方．若两直线的k相同，则两直线互相平行． 【变式练1】　（2024秋•永寿县校级期末）一次函数，随的增大而增大，则一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【解答】解：一次函数，随的增大而增大， ， 该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•揭西县期末）若点，都在函数的图象上，则　　（填“”或“” ． 【解答】解：， ， ， 随的增大而减小， 又点，都在函数的图象上，且， ． 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•全椒县期中）当时，一次函数的最小值为，则　　． 【答案】． 【解答】解：由条件可知：随的增大而减小， 当时，一次函数的最小值为， 当时，， ， 故答案为：． 模型4 一次函数的平移 典例 （2024秋•苏州期末）将的图象向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将的图象向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． 直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． 【变式练1】　（2024秋•沈河区期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是　　 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】 【解答】解：一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到， ，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•东坡区期末）若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：原直线的，；向上平移3个单位长度得到了新直线， 那么新直线的，． 新直线的解析式为． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•武侯区期末）将直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为 　　． 【答案】． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为，即． 故答案为：． 模型5 待定系数法 典例 （2024秋•宜兴市期末）若与成正比例，且当时，． （1）求与的函数表达式； （2）当在什么范围内时，？ 【答案】（1）； （2）时，． 【解答】解：（1）因为与成正比例，设， 又时，， 则 解得：． 故与的函数关系式为：； （2）当时，， 时，． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）； （2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组； （3）解：解方程组，求出k，b的值； （4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式． 【变式练1】　（2024秋•蜀山区期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）将（1）中的函数图象向上平移1个单位，则平移后图象与轴交点坐标为 　　． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题知， 令， 则， 解得， 所以， 则与之间的函数关系式为． （2）将函数的图象向上平移1个单位，所得函数图象的解析式为． 将代入得， ， 解得， 所以平移后图象与轴交点坐标为． 故答案为：． 【变式练2】　（2024秋•高陵区期末）如图，直线经过点，． （1）求直线的函数表达式． （2）若点在直线上，且点的纵坐标为7，求△的面积． 【答案】（1）； （2）4． 【解答】解：（1）设直线的函数解析式为， 则， 解得， 所以直线的函数解析式为． （2）将代入得， ， 所以点的坐标为． 又因为点坐标为，点坐标为， 所以，， 所以． 【变式练3】　（2024秋•高陵区期末）已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数表达式． 【答案】． 【解答】解：由题知， 因为与成正比例， 则令， 将，代入得， ， 解得， 所以， 则与之间的函数表达式为． 模型6 函数图象共存问题 典例 （2024秋•市南区校级期末）一次函数与在同一个平面直角坐标系内的图象大致是图中的　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过点且过第一、三、四象限，一次函数的图象经过点且过第一、二、四象限，选项符合；（2）当时，正比例函数的图象过点且过第一、二、四象限，一次函数图象经过点且第一、三、四象限，选项符合．故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 这类题目多以选择题的形式出现，一种较好的方法是选定其中一条直线确定k，b的符号，再由此看另一条直线的k，b是否满足相应特征，便可以判断． 【变式练1】　（2024秋•本溪期中）下列关于的一次函数与一次函数的图象可能正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、若过一、三象限的一次函数解析式为，则，；过二、四象限的一次函数中，，，故，矛盾，不符合题意； 、若过一、三象限的一次函数解析式为，则，；过二、四象限的一次函数中，，，故符合题意； 、若过一、三象限的一次函数解析式为，则，；过二、四象限的一次函数中，，，故矛盾，不符合题意； 、若过一、二、四象限一次函数解析式为，则，；一次函数中，，，故矛盾，不符合题意； 故选：． 【变式练2】　（2024秋•肥西县校级期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：若正比例函数的图象从左往右下降，则， 此时，一次函数 的图象与轴交于负半轴，故选项正确，选项错误； 若正比例函数的图象从左往右上升，则， 此时，一次函数 的图象与轴交于正半轴，且从左往右上升，故选项错误；而选项不合题意． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•薛城区期中）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：． 模型7 一次函数与方程（组）、不等式（组） 典例 （2024秋•秦淮区期末）已知一次函数，为常数）的函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 则关于的方程的解为 　　． 【答案】． 【解答】解：由表格可知， 解得， ， 当，则， 解得， 方程的解为， 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时x的值； 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，能直观地看到怎样用图形来表示不等式的解集，体现了数形结合和转化思想的应用． 【变式练1】　（2024秋•蜀山区期末）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由函数图象可知：当时， 所以关于的方程的解为， 故选：． 【变式练2】　（2024春•福田区校级期中）根据图象，可得关于的不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：从图象可知：两函数的图象的交点坐标是， 所以关于的不等式的解集是， 故选：． 【变式练3】　（2024秋•鼓楼区校级期末）已知一次函数为常数，的图象经过点． （1）求的值； （2）不等式组的解集是 　　． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）把点代入一次函数中， 得， ； （2）不等式组， ， ． 故答案为：． 模型8 一次函数的应用 典例 （2024秋•福田区期末）小明从家骑共享单车去体育场锻炼一会儿后，又步行原路返回，途中在早餐店用餐，如图表示小明离家的距离（千米）与离家的时间（分之间的函数关系，则下列说法错误的是　　 A．体育场离小明家4千米 B．小明从体育场到早餐店的平均速度4.8千米小时 C．小明吃早餐用了20分钟 D．小明从早餐店回家的平均速度是3千米小时 【答案】 【解答】解：．由纵坐标看出体育场离小明家4千米，说法正确，不符合题意； ．由纵坐标看出早餐店距体育场千米，由横坐标看出从体育场到早餐店的时间为分钟，所以平均速度为千米小时，说法正确，不符合题意； ．由横坐标看出吃早餐的时间为分钟，说法正确，不符合题意； ．由横坐标看出小明从早餐店回家的时间为分钟，由纵坐标看出小明从早餐店回家的距离为2千米，所以平均速度为千米小时，说法错误，符合题意； 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 一次函数的应用中通常涉及分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同解析式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 【变式练1】　（2024秋•南山区期末）小明、小亮两人相约在人才公园进行跑步练习，他们从同一起点出发，先到达终点者原地休息，小明先出发，在跑步过程中，小明、小亮两人之间的距离和小亮出发的时间之间的函数关系如图所示，则图象中的值为　　 A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】 【解答】解：由图可得， 小亮100秒时达到终点， 小亮的速度为：（米秒），小明的速度为：（米秒）， 设小亮追上甲的时间为秒，则， 得， ， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•玄武区校级期末）快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离（单位：与行驶时间（单位：之间的函数图象如图①所示． （1）甲、乙两地之间的距离为 　　，慢车的速度为 　　； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）设快、慢车两车之间的距离为（单位：，在图②中画出与之间的函数图象．（标明必要的数据） 【答案】（1）300，50； （2）； （3）见解答． 【解答】解：（1）由图①可得， 甲、乙两地之间的距离为，慢车的速度为， 故答案为：300，50； （2）由图可得， 快车从甲到乙的速度为， 则快车从乙到甲的速度为， 快车从乙到甲的时间为：， 点的横坐标为， 点的坐标为，， 设线段所表示的与之间的函数表达式为， 点，，点在该函数图象上， ， 解得， 即线段所表示的与之间的函数表达式为； （3）当时，慢车行驶的路程为：， 当时，慢车行驶的路程为， 图象如图所示． 【变式练3】　（2024秋•普陀区期末）居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；如表记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据． 时间（时 0.1 0.3 距离（千米） 2 6 9 根据提供的信息，回答下列问题： （1）由表可知，关于的函数解析式为 　　；的值为 　　； （2）由图可知，的值为 　　；在的时段内，甲的速度为 　　千米时； （3）先到达广场并拍照的人是 　　，且比另一位早到 　　分钟． 【答案】（1），0.45； （2）3，10； （3）乙，3． 【解答】解：（1）设关于的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 关于的函数解析式为， 将，代入， 得， 解得． 故答案为：，0.45． （2）根据题意，得， 解得， 在的时段内，甲的速度为（千米时）． 故答案为：3，10． （3）由图象可知，小区距广场的距离为12千米． 甲到达广场所用时间为（时； 当乙到达广场时，得， 解得； ， （分钟）， 先到达广场并拍照的人是乙，且比另一位早到3分钟． 故答案为：乙，3． 学科网（北京）股份有限公司 $$