2025年中考数学一轮复习 讲义 专题26 一元二次方程

专题26 一元二次方程 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•东川区期末）下列方程有两个不相等的实数根的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•锦江区期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024秋•武都区期末）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•东川区期末）用配方法解方程，配方正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•市北区期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•西宁期末）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A． B．1 C． D．0 7．（2024秋•海口期末）将一元二次方程化成的形式，则等于　　 A．3 B．4 C．7 D．13 8．（2024秋•海口期末）关于的一元二次方程的两个实数根分别为和3，则　　 A．， B．， C．， D．， 9．（2024秋•贵州期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是　　 A．0 B．2 C． D．1 10．（2024秋•铁锋区期末）若，，则以，为根的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•建邺区期末）设，是方程的两个实数根．若，则 　　． 12．（2024秋•英德市期末）将方程化为的形式后，　　，　　，　　． 13．（2024秋•高新区期末）已知，是一元二次方程的两根，则 　　． 14．（2024秋•鼓楼区期末）某村2022年，2024年水稻的平均每公顷产量分别为，，设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程 　　． 15．（2024秋•饶平县期末）已知是方程的一个实数根，则 　　． 16．（2024秋•双流区期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为　　． 17．（2024秋•鼓楼区期末）已知关于的方程的两根为和，则 　　． 18．（2024秋•武威期末）已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则　　． 19．（2025•泗洪县一模）一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是 　　． 20．（2024秋•灵武市期末）用配方法将方程变形为，则 　　． 三、解答题（共8小题） 21．（2024秋•成华区期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若和原方程的两个实数根都是整数，且，求的值． 22．（2024秋•瓦房店市期末）已知关于的一元二次方程（其中为常数）． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若该方程有一个根为2，求的值及该方程的另一个根． 23．（2024秋•新会区期末）关于的一元二次方程． （1）判断该方程根的情况，并说明理由． （2）若此方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 24．（2024秋•清新区期末）清远连州菜心12月份已开售，张阿姨以每斤2元的价格购进菜心若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种菜心每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种菜心每斤的售价降低元，则每天的销售量是 　　斤（用含的代数式表示）； （2）销售这种菜心要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 25．（2024秋•武都区期末）已知，是方程的两个根，求下列代数式的值． （1）； （2）． 26．（2024秋•高新区期末）解方程： （1）； （2）． 27．（2024秋•涪城区期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根及的值． 28．（2024秋•高新区期末）随着电子商务的不断发展，网络销售已经成为一种常用的销售方式．一商家通过电商平台销售某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利30元．经调研，在每件降价不超过15元的情况下，该服装每件降价1元，则每天可多售5件．设该服装每件降价元，每天的销售量为件． （1）直接写出与的函数表达式； （2）若此商家某天销售该服装共获得利润1200元，求这天该服装的销量． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A A B D B A A 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：、中，，，， △，即方程有两个相等的实数根，不符合题意； 、中，，，， △，即方程无实数根，不符合题意， 、中，，，， △，即方程有两个不相等的实数根，符合题意， 、中，，，， △，即方程有两个相等的实数根，不符合题意， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得：， 故选：． 3．【答案】 【解答】解：由题知， 因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以△， 解得． 故选：． 4．【答案】 【解答】解：原方程移项得：， ， ， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：根据题意可得：． 故选：． 6．【答案】 【解答】解：根据题意得，， 解得， ， ， ， 故选：． 7．【解答】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 则， 故选：． 8．【解答】解：根据题意得，， 所以，． 故选：． 9．【答案】 【解答】解：由题意可知：，， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 故选：． 10．【答案】 【解答】解：，， 以，为根的一元二次方程是． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【解答】解：， ，，． ，是方程的两个实数根，， ， ． 故答案为：． 12．【答案】1，2，． 【解答】解：将方程化为的形式为， 故，，． 故答案为：1，2，． 13．【答案】12． 【解答】解：为方程的根， ， ，是一元二次方程的两根， ， ． 故答案为：12． 14．【答案】． 【解答】解：根据题意得： ， 故答案为：． 15．【答案】2． 【解答】解：是方程的一个实数根， ， ， 故答案为：2． 16．【答案】． 【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， 即：， 解得：． 故答案为：． 17．【答案】1． 【解答】解：由根与系数的关系得：， 故答案为：1． 18．【答案】2． 【解答】解：由题意得，，， ． 故答案为：2． 19． 【解答】解：设每次倒出的液体是， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 20．【答案】3． 【解答】解：， ， ， ， 用配方法将方程变形为，， 故答案为：3． 三、解答题（共8小题） 21．【答案】（1）； （2）的值为2． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． △， ； （2）为整数，且， ，3，4， 当时，原方程为， 解得．符合题意． 当时，原方程为， 此方程无整数根，不合题意，舍去． 当时，原方程为， 此方程无整数根，不合题意，舍去． 所以的值为2． 22．【答案】（1）见解答； （2），另一个根为0． 【解答】（1）证明：△ ， ， △， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：方程的一个根为， ， ， 方程为， ， ， 另一个根为0． 23．【答案】（1）方程有两个实数根； （2）的值为0，方程的另一个根为2． 【解答】解：（1）， △， 故方程有两个实数根； （2）依题意有， 解得， 则， 解得． 故的值为0，方程的另一个根为2． 24．【答案】（1）； （2）张阿姨需将这种水果每斤的售价降低1元． 【解答】解：（1）将这种菜心每斤的售价降低元，则每天的销售量是（斤， 故答案为：； （2）设这种菜心每斤的售价降低元，则每天的销售量是（斤， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：张阿姨需将这种水果每斤的售价降低1元． 25．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：因为，是方程的两个根， 所以，． （1）． （2）． 26．【答案】（1），； （2），． 【解答】解：（1）， ， ， 则或， 所以，． （2）， ， ， ， 则或， 所以，． 27．【答案】（1）； （2）该方程的另一个根是，的值是0． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， △， 解得， 即的取值范围为； （2）设该方程的另一个根为， 则， 解得， ， ， 解得， 即该方程的另一个根是，的值是0． 28．【答案】（1）； （2）这天该服装的销量为50件． 【解答】解：（1）由题意可知，； （2）由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 答：这天该服装的销量为50件． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26 实际问题与一元二次方程 模型1 一元二次方程的定义和一般形式 6 模型2 用合适的方法解一元二次方程 8 模型3 根与系数的关系 12 模型4 列一元二次方程解应用题 14 模型归纳 1．一元二次方程的定义： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． （3）根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． （4）根与系数的关系 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根， 则x1+x2，x1x2， 反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． 4．解一元二次方程 （1）直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． （2）配方法 ►将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． ►配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2． ►配方法的关键：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． ►用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． （3）公式法 （b2﹣4ac≥0）． （4）因式分解法 ►因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． ►因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． （5）换元法 ①解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． ②我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 5．一元二次方程的应用 （1）在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． （2）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 方法归纳 1．一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）； （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2； （4）在判断一个方程是否为一元二次方程时一定要先将其化成一般形式． 2．用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； （2）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； （5）如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3．公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； （2）求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； （3）在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个： ①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4．因式分解法解一元二次方程的一般步骤为： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 5．列一元二次方程解应用题的“六字诀” （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． （6）答：写出答案． 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想． 模型1 一元二次方程的定义和一般形式 典例 （2024秋•武都区期末）是关于的一元二次方程，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：是关于的一元二次方程，且， 且， 解得：， 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．判断一个整式方程是否为一元二次方程，应以化简后的结果为准． 2．一元二次方程的三要素： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2． 3．一元二次方程经过整理都可化成一般形式：，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项． 注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数． 4．中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． 5．在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号． 【变式练1】　（2024秋•荔湾区期末）下列方程为一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、含有两个未知数，且未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 、，是一元二次方程，符合题意； 、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 【变式练2】　（2024秋•城关区期末）下列方程，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：．只含有2个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．，含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意； ．为分式方程，故该选项不符合题意； ．是一元一次方程，故该选项不符合题意． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•西安期末）若是关于的一元二次方程，则的值为　　 A．1 B．3 C． D． 【答案】 【解答】解：由题意可知：， 解得：， 故选：． 模型2 用合适的方法解一元二次方程 典例 （2024秋•建邺区期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），． 【解答】解：（1）， ， ， 则， 所以． （2）， ， ， ， 则或， 所以，． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．方程没有一次项时用直接开平方法较为简单． 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法较为简单． 当各项系数均为整数，且较小时，首选公式法． 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式时，用因式分解法较为简单． 2．配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0． 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便． 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． 【变式练1】　（2024秋•成华区期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【解答】解：（1）， ， ， ， 则或， 所以． （2）， ， ， 则或， 所以，． 【变式练2】　（2024秋•西湖区校级期末）选择合适的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），． 【解答】解：（1）， ， ， 则， 所以． （2）， ， ， 则或， 所以，． 【变式练3】　（2024秋•武威期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1）或； （2）或． 【解答】解（1）， ， ， 解得或； （2）， ， ， 或， 或． 模型3 根与系数的关系 典例 （2024秋•天津期末）若，是方程的两个根，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题知， 因为，是方程的两个根， 所以， 显然只有选项符合题意． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．若关于的一元二次方程．有两个根分别为，则． 根与系数的关系又叫韦达定理． 注意：（1）运用根与系数关系的前提条件是． （2）在一元二次方程中，注意隐含条件． 2．已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解． 例如：，注意． 常见的公式变形： （1） （2） （3） （4） 【变式练1】　（2024秋•怀化期末）设，是方程的两个实数根，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：当时，原方程转变为， 解得：，（舍去）， 当时，原方程转变为：， 解得，（舍去）， 方程的两个实数根，， 原式． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•温岭市期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则　　 A． B． C．2 D．4 【答案】 【解答】解：，是一元二次方程的两根， ， 故选：． 【变式练3】　（2024秋•河北区期末）已知关于的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为　　 A．1 B． C．4 D． 【答案】 【解答】解：的方程的两根分别为，， ，， ，， ，， ，， ， 故选：． 模型4 列一元二次方程解应用题 典例 （2024秋•揭阳期末）某公司今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到144万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是 　　． 【解答】解：根据题意， 设平均每月利润增长的百分率为， 根据题意，得， 整理得，， 解得，（舍去）， 平均每月利润增长的百分率为． 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．不要忘记检验方程的解是否符合实际意义． 在实际问题中，由一元二次方程解得的根要符合实际情况，如人数为自然数，几何图形中的长度、面积等为正数，银行存款利率不能为负． 2．列一元二次方程解决实际问题时应注意： （1）注意各类实际问题中常见的等量关系． （2）注意文字语言与代数式之间的互化，能把用文字语言表述的关系用代数式表示出来． （3）注意单位问题，一是在设未知数时必须写清单位；二是列方程时，要注意方程两边的单位必须一致，答时必须写上单位． （4）一般情况下一元二次方程有两个解，所以要注意检验方程的解是否符合题意及使实际问题有意义． 【变式练1】　（2024秋•博罗县期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为 　　； 【答案】1． 【解答】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即小路宽的值为1， 故答案为：1． 【变式练2】　（2024秋•渝中区期末）国庆期间，某博物馆展出的珍贵文物吸引了众多游客．通过这些文物，人们仿佛穿越时空，与历史对话，这不仅丰富了精神生活，也促进了文化的传承与发展．据统计，博物馆10月1日接待的人数比9月30日的2倍多0.2万人，这两天共接待2.9万人． （1）求博物馆10月1日接待游客的人数； （2）10月2日、3日游客继续增加，据统计10月3日接待游客2.88万人，预计10月4日游客数量将达到高峰．为使游客有较好的体验效果，规定人数达到3.5万人时，将会采取临时限流措施．按10月2日、3日的日平均增长率计算，10月4日是否需要临时限流？ 【答案】（1）2万人； （2）按10月2日、3日的日平均增长率计算，10月4日不需要临时限流． 【解答】解：（1）设博物馆9月30日接待游客万人，则博物馆10月1日接待游客万人， 根据题意得：， 解得：， （万人）． 答：博物馆10月1日接待游客2万人； （2）设10月2日、3日的日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， （万人）， ， 按10月2日、3日的日平均增长率计算，10月4日不需要临时限流． 【变式练3】　（2024秋•清城区期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 【答案】（1）每件售价应定为50元； （2）该款小商品的日平均增长率为． 【解答】解：（1）设每件降价元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每件售价应定为50元； （2）设该款小商品的日平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款小商品的日平均增长率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$