2025年中考数学一轮复习讲义 专题27 二次函数

专题27 二次函数 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•婺城区期末）已知二次函数的图象如图所示，则关于的方程的根的情况是　　 A．无实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个相等实数根 2．（2024秋•武都区期末）二次函数的图象上四点，，，，，纵坐标中最大的数是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•市北区期末）定义：，，为二次函数的特征数，下面给出特征数为，，的二次函数的四个结论，正确的有　　 ①当时，函数图象的对称轴是轴； ②当时，函数图象过原点； ③当时，函数有最小值； ④如果，当时，随的增大而减小． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024秋•武都区期末）二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 5．（2025•长宁区一模）二次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025•虹口区一模）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•东川区期末）将抛物线向下平移2个单位，得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•湖州期末）小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是　　 1 2 3 4 0 5 A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2024秋•碑林区期末）若关于的函数是二次函数，则的值为　　 A．0 B．2 C．或2 D． 10．（2024秋•红花岗区校级期末）已知二次函数的与的部分对应值如表： 1 5 0 5 9 5 下列结论： ①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ③当时，的取值范围为； ④若点，均在二次函数图象上，则； ⑤满足的的取值范围是或． 其中正确结论的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•北川县期末）用一根长的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 　　． 12．（2024秋•新会区期末）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为 　　． 13．（2025•闵行区一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 　　． 14．（2025•宝山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为 　　． 15．（2024秋•南京期末）已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是 　　． 16．（2024秋•南关区校级期末）如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为 　　． 17．（2024秋•天台县期末）将二次函数通过配方转化为，则 　　． 18．（2024秋•芙蓉区期末）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，则四边形的面积的最大值为 　　． 19．（2024秋•山丹县期末）若抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为　　． 20．（2024秋•怀化期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，△是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为　　． 三、解答题（共8小题） 21．（2024秋•西宁期末）如图，二次函数的图象经过点，和原点． （1）求二次函数的解析式； （2）点为直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，当时，求点的坐标． 22．（2024秋•瓦房店市期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”． （1）直接写出函数图象上的“平衡点”坐标 　　． （2）若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点” ，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． （3）设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数为常数且的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，求，的值． 23．（2024秋•石林县期末）今年“双11”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元． （1）每天可销售 　　件，每件盈利 　　元；（用含的代数式表示） （2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？ 24．（2024秋•武都区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点运动到什么位置时，面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 25．（2024秋•房山区期末）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若，，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 26．（2024秋•康县期末）如图，已知抛物线的方程与轴交于，两点，与轴交于点，且点在点的左侧，抛物线还经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，，求△的面积； （3）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标． 27．（2024秋•延边州期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求该抛物线与直线的解析式． （2）点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作轴交抛物线于点，以，为边作矩形．设点的横坐标为． ①求矩形的周长的最大值． ②当直线将矩形分成面积比为的两个部分时，直接写出的值． 28．（2024秋•娄底校级期末）如图，已知抛物线，，为常数，与轴交于点、点两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求△的面积取得最大值时，点的坐标． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A C A C B B C 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：二次函数的最小值为， 二次函数的图象与直线有2个交点，并且两交点的横坐标都为正数，如图， 关于的方程有两个不相等的正实数解． 故选：． 2．【答案】 【解答】解：二次函数， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 则离对称轴水平距离越远，函数值越大， 二次函数的图象上四点，，，，中，点到对称轴的距离最远， 纵坐标中最大的数是， 故选：． 3．【答案】 【解答】解：当时， 把代入，，，可得特征数为，0，， ，，， 函数解析式为，函数图象的对称轴是轴， 故①正确，该结论符合题意； 当时， 把代入，，，可得特征数为，，， ，，， 函数解析式为， 当时，，函数图象过原点， 故②正确，该结论符合题意； 函数， 当时，函数图象开口向上，有最小值， 故③正确，该结论符合题意； 当时，函数图象开口向下， 对称轴为：， 时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性， 故④错误，该结论不符合题意； 综上所述，正确的是①②③，正确的个数为3个， 故选：． 4．【答案】 【解答】解：一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴， ，， 二次函数的图象开口向上，且对称轴， ，， 故正确； 一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴， ，， 二次函数的图象开口向下，且对称轴， ，， 故错误； 一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的正半轴， ，， 二次函数的图象开口向上，且对称轴， ，， 故错误； 一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴， ，， 二次函数的图象开口向下，且对称轴， ，， 故错误； 故选：． 5．【答案】 【解答】解：， 抛物线开口向上， ， 对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴正半轴相交， 抛物线过一、二、四象限， 抛物线不经过第三象限． 故选：． 6．【答案】 【解答】解：抛物线图象开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴1个单位长度， 距离对称轴2个单位长度； 距离对称轴3个单位长度， 根据开口向上，距离对称轴越远，函数值越大可得：． 故选：． 7．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移2个单位，得到的抛物线是：． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：， ， 当时，， 即方程的其中一个解是， 故选：． 9．【答案】 【解答】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：． 故选：． 10．【答案】 【解答】解：把，，代入得， ， 解得， ，故①正确； 由条件可知， 当时，， ， △， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故②正确； 由条件可知抛物线的顶点坐标为， 又， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值9， 当时，的取值范围为，故③错误； 点，关于直线对称， ，故④正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ，， 由图形可得，当或时，，即，故⑤错误； 综上，正确的结论为①②④， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】225． 【解答】解：设矩形的长为，则宽为，面积为， ， 该函数图象开口向下，当时，该函数取得最大值225， 故答案为：225． 12．【答案】． 【解答】解：将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为：． 故答案为：． 13．【答案】． 【解答】解：点和是抛物线上的两点， 点和关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 故答案为：． 14．【答案】． 【解答】解：抛物线的顶点为，顶点关于轴对称的点的坐标为， 抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为． 故答案为：． 15．【答案】． 【解答】解：由题意得：， 即， 则， 解得：， 故答案为：． 16．【答案】． 【解答】解：抛物线， 顶点坐标为， 设直线， 则，解得：， 即：，，，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 17．【答案】1． 【解答】解：，即． 将二次函数通过配方转化为， ． 故答案为：1． 18．【答案】12.5． 【解答】解：设，四边形面积为，则， 则：， 当时，； 所以，四边形的面积最大值为12.5． 故答案为：12.5． 19．【答案】． 【解答】解：抛物线与抛物线关于原点对称，则横纵坐标互为相反数， ， ， ， 故答案为：． 20．【答案】或或． 【解答】解：， 抛物线的对称轴为直线． 抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， 点的坐标为，则， ． 当时，则，过点作于点，如图， 则△是等腰直角三角形， ， 设点的坐标为， ， 解得：，（舍， 当时，， 点的坐标为． 由点，，运用待定系数法可得直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， 直线的函数表达式为． 解得：或． 点的坐标为或． 综上所述，在抛物线上存在点，使得△是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题） 21．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过原点， 设二次函数解析式为， 把、代入得， 解得， 函数的解析式为； （2）设直线的解析式为，把代入得：， 直线的解析式为； 设， ，， ，， ， 当时，即， 当时，则有， 解得，（舍去）， ． 22．【答案】（1）或； （2）； （3），． 【解答】解：（1）令得：或1， 故“平衡点”坐标为或， 故答案为：或； （2）联立和得：， 则△①， 将，代入得：②， 联立①②并解得：，， 则， 该函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，， 当时，则函数在时取得最小值，在时，取得最大值1， 即， 则； 当时， 抛物线在时取得最大值1，在或处取得最小值， 即，即， 当时，和关于对称，故也成立， 即， 即； （3）令，则△，则， 即，则，即点，； 令， 解得：或， 即点、的坐标分别为：、， ，则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故，． 23．【答案】（1），； （2）每当降价为15元时，每天的利润最大，最大利润是1250元． 【解答】解：（1）如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件， 如果每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； （2）设每天的利润为元， 由题意得，， ， 当时，最大，最大值为1250， 当降价为15元时，每天的利润最大，最大利润是1250元． 24．【解答】解：（1）设抛物线解析式为， 把、、三点坐标代入可得，解得：， 抛物线解析式为； （2）点在抛物线上， 可设， 过作轴于点，交直线于点，如图1， ， 直线解析式为， ， ， ， 当时，最大值为8，此时， 当点坐标为时，的最大面积为8． 25．【答案】（1）； （2）或． 【解答】解：（1），， ． ． 对称轴为直线， ； （2），抛物线的对称轴为． 抛物线开口向下， ，， ，在对称轴的右侧， 对于，，都有， ， ①当时，满足， ， ， ， ②当时，满足， ， ， ， ③时，，不合题意， 综上，当或时，都有． 26．【答案】（1）该抛物线的解析式为． （2）6． （3）点的坐标为． 【解答】解：（1）将代入， 得， 解得， 经检验，为原方程的解且符合题意， 该抛物线的解析式为． （2）令，得， 解得，， ，， ． 令，得， ． △的面积为． （3）连接交抛物线的对称轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 由题意得，抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 27．【答案】（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：； （2）①矩形的周长的最大值为；②或． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 故直线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点，则点，点、， ①矩形的周长， 即矩形的周长的最大值为； ②当在的下方时，如下图，设交于点， 则直线将矩形分成面积比为的两个部分时，则， 即，即， 即点是的中点，则点在抛物线的对称轴上， 则点的横坐标为1，则， 即点，则点的纵坐标为2， 即，则（不合题意的值已舍去）； 当点在点的上方时，如下图，设交于点， 同理可得，点是的中点， 由中点坐标公式得，点， 将点的坐标代入得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 28．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）把、、代入得： ， 解得， ； （2）设直线的解析式为， 把，分别代入可得： ， ， ， 过点作轴交于点，如图， 设，，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27 二次函数 模型1 二次函数的定义 5 模型2 二次函数的图象和性质 6 模型3 用待定系数法求二次函数的解析式 10 模型4 二次函数的平移 12 模型5 二次函数与一元二次方程 14 模型6 二次函数综合题 16 模型7 利用二次函数解决实际问题 34 模型归纳 1．二次函数的定义 （1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数． （2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式． （3）二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0． 2．二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （，） （，） 对称轴 x= x= 增减性 x>时，y随x的增大而增大； x<时，y随x的增大而减小 x>时，y随x的增大而减小； x<时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值= 3．二次函数的平移规律 左加右减自变量，上加下减常数项 4．二次函数和一元二次方程之间的关系 判别式 b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况 b2-4ac>0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2 b2-4ac=0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点（，0） 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2= b2-4ac<0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0在实数范围内无解 5．建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）找出题中的已知量和未知量； （3）用一个未知量表示题中的其他未知量； （4）找出等量关系并列出函数解析式； （5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题． 方法归纳 1．求平移后的抛物线解析式通常可以求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；也可以只考虑平移后的顶点坐标，求出解析式． 2．利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 3．也叫做二次函数的一般形式，判断一个函数是否是二次函数应先将函数化为一般形式． 4．二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等． 5．求二次函数的解析式时： （1）一般式：．已知图象上三点或三对，的值，通常选择一般式． （2）顶点式：．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式． （3）交点式：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：． 6．二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根．抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离． 模型1 二次函数的定义 典例 （2024秋•庄河市期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝﹣x+2x2 B．y＝2x+1 C． D． 【答案】A 【解答】解：y＝﹣x+2x2符合二次函数的定义，它是二次函数； y＝2x+1，y＝，y＝x不符合二次函数的定义，它们不是二次函数． 故选：A． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 函数y=ax2+bx+c为二次函数的前提条件是a≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意． 判断一个函数是否是二次函数应先将函数化为一般形式． 【变式练1】　（2025•金山区一模）下列函数中，一定是二次函数的是　　 A．（其中是常数） B．（其中、、是常数） C． D． 【答案】 【解答】解：、（其中是常数），是一次函数，故不符合题意； 、（其中、、是常数），当时是二次函数，故不符合题意； 、，是二次函数，故符合题意； 、，是一次函数，故不符合题意； 故选：． 【变式练2】　（2024秋•平武县期末）函数的一次项系数是　　 A．2 B． C．3 D．1 【答案】 【解答】解：二次函数的一次项，一次项系数是． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•蓬江区期末）若是关于的二次函数，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：是关于的二次函数， ， 即． 故选：． 模型2 二次函数的图象和性质 典例 （2024秋•康县期末）已知抛物线的图象如图所示，那么下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：抛物线的开口方向向下， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ， 故， 由图象可知：对称轴且对称轴， 由图象可知：当时， ； 当时， ． 只有②正确． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 【变式练1】　（2024秋•兰州期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【解答】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， 所以． 抛物线的对称轴在轴右侧， 所以， 所以． 因为抛物线与轴的交点在正半轴， 所以， 所以． 故①正确． 因为抛物线的开口向下，且对称轴为直线， 所以当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为，其函数值不大于， 即， 所以． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即． 故③正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 所以， 又因为， 所以， 即． 故④正确． 因为抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， 所以当时，函数值小于零； 又因为当时，函数值大于零， 则，， 所以， 所以． 故⑤错误． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•饶平县期末）二次函数的图象的顶点坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•四平期末）已知抛物线，下列说法正确的是　　 A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】 【解答】解：，，开口向下，原说法错误，不符合题意； ，对称轴是直线，原说法错误，不符合题意； ，顶点坐标为，原说法正确，符合题意； ，当时，随的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：． 模型3 用待定系数法求二次函数的解析式 典例 （2024•梅县区一模）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 　　． 【答案】． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线解析式可设为， 抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同， ， 所求抛物线的解析式为． 故答案为：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）一般式：．已知图象上三点或三对，的值，通常选择一般式． （2）顶点式：．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式． （3）交点式：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：． 【变式练1】　（2024秋•马鞍山期中）与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是　　． 【答案】． 【解答】解：由条件可知只有二次项系数相反， 则其解析式为， 故答案为：． 【变式练2】　（2024秋•江油市期中）经过，，三点的抛物线的解析式是：　　． 【答案】． 【解答】解：设抛物线解析式为， 抛物线经过，，三点， ， 解得， 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•新华区校级月考）已知抛物线的顶点是，形状与相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为 　　． 【答案】． 【解答】解：设抛物线解析式为， 由条件可知：， 把顶点代入得： ， 故答案为：． 模型4 二次函数的平移 典例 （2024秋•城阳区期末）将抛物线平移后经过原点，可以先向下平移1个单位长度，再向右平移　　 A．3个单位长度 B．4个单位长度 C．5个单位长度 D．3或5个单位长度 【答案】 【解答】解：抛物线向下平移1个单位长度的解析式为， 设抛物线向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为， 抛物线经过原点， 当时，， ， 解得或5． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 左加右减自变量，上加下减常数项． 【变式练1】　（2024秋•兰州期末）把抛物线先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：把抛物线先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为：． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•武都区期末）把二次函数的图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的图象解析式为 　　． 【答案】． 【解答】解：把二次函数的图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的图象解析式为：，即， 故答案为：． 【变式练3】　（2025•宝山区一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 　　． 【答案】2． 【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的原则，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的解析式为， 所得到的新抛物线的对称轴方程是， ， ， 抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 模型5 二次函数与一元二次方程 典例 （2024秋•青岛期末）已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的值可以是　　 A． B． C．4 D．5 【答案】 【解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数解， △， 即， 可以取5． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 求二次函数图象与x轴的交点个数问题，可转化为判断对应的一元二次方程的根的个数． 【变式练1】　（2024秋•庄河市期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：二次函数的顶点为， 对称轴为， 而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是， 右侧交点横坐标的取值范围是， 一元二次方程的正数解的范围是． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•西宁期末）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】 【解答】解：一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数的图象与轴没有交点， 方程没有实数根， 故选：． 【变式练3】　（2024秋•温岭市期末）如表是函数的部分自变量与对应的函数值： 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由表格可知，当时，，当，， 二次函数与轴一个交点在直线和直线之间， 方程的一个解的范围是． 故选：． 模型6 二次函数综合题 典例 （2024春•岳麓区校级期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，连结，将线段绕原点顺时针旋转，得到线段． （1）求点的坐标； （2）求经过，，三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点，使周长最小？若存在，求点出的坐标和的周长；若不存在，请说明理由； （4）如果点是（2）中的抛物线上的动点，那么是否存在点使得的面积为：；若有，求出此时点的横坐标；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3），； （4）的横坐标为1或． 【解答】解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，如图， 将线段绕原点顺时针旋转，得到线段，点的坐标为， ，， ，， ， ， ， ； （2）设所求抛物线的解析式为， 将，，代入上式， 可得， 解得，，， 即抛物线的解析式为； （3）如图，连接交对称轴于点，点即为所求， 设直线的解析式为， 将，代入上式， 可得， 解得， 直线的解析式为， ，为抛线与轴的交点， 为抛物线的对称轴， 当 时，， 则， ， ， ， 则； （4）过点作轴的平行线，交直线于点设点，如图， 设，则点坐标为， 则， ， 则， ①当点在下方时，即时，， 即， 则△，无解； ②当在上方时，即或时，， 即， 解得， 的横坐标为1或． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）几何最值问题： ①将军饮马，实质上是线段之和最短的问题，属于动态几何问题． 基本步骤为：找两定点、一定河→作对称→再连接． ②单线段最值问题：一般用含一个未知数的式子表示这条线段，然后根据二次函数最值等知识来解决． ③面积最值问题： 铅锤法求三角形面积 如图，在平面直角坐标系中，已知三顶点坐标，，，过A作AD//y轴交BC于． 则． 即分割为两个小三角形的和，两个小三角形公共的底边为AD，高的和为BC的横坐标之差的绝对值． （2）存在性问题 【变式练1】　（2024•沙坪坝区校级三模）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，在左侧），与轴交于点．点为新抛物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）； （2）面积的最大值为3，点的坐标为； （3）点的坐标为或，过程见解答． 【解答】解：（1）抛物线与直线交于点， ， 解得， 抛物线为； （2）设直线的解析式为， 过点， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，， 解得，， ， ， 解得， 设，则， 如图，过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为3，点的坐标为； （3）设原抛物线向右平移个单位， 平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线解析式过点， ， 解得，（不符合题意的根舍去）， 平移后的抛物线解析式为，， ，， ①如图，连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 解得， 直线的解析式为， 点为新抛物线上的一点， 连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为； ②如图，作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得， 当， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【变式练2】　（2024秋•饶平县期末）如图，已知直线与轴、轴交于，两点，抛物线经过点，，点为线段上一个动点，过点作垂直于轴的直线交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）当，求的值； （3）若点到直线的距离为，求的最大值； （4）在轴上是否存在点，使△是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）存在，或或． 【解答】解：（1）直线与轴、轴交于，两点，则点的坐标为，点的坐标为． 由题意得：， 解得： 抛物线的解析式为； （2）点，则点，， ，， ， ， 解得：或4（与点重合，舍去）， ； （3）点到直线的距离为，求的最大值即为求△面积的最大值， 连接、，如下图所示， 点的坐标为、， ，， 由（2）得：， ， 面积最大为8， ， ， 解得， 即的最大值为； （4）存在点使△是以为腰的等腰直角三角形，有三种可能：或或，理由如下： 当时，，点在轴的正半轴，如下图所示， 过点作轴，过点作轴交延长线于点， ，，， ， ， △△， ，， ， ， ， 解得：或（负值舍去）， ， ； 当时，，点在轴的负半轴，如图所示， ， ，， ， △△， ，， ，， ， ， 解得：， 或， 点在轴的负半轴， ，； 综上可得：或或． 【变式练3】　（2024秋•涪城区期末）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，求值． （3）点坐标为，连接，点在直线上，点是平面上任意一点，当以、、、四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出点坐标． 【答案】（1）； （2）的值为或； （3）点的坐标为，或，或或，． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）当点在直线上方时，过点作交的延长线于，垂足为，作轴于， 点的坐标为，对称轴为直线．点的坐标为， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立得（舍去）或， ； 当点在直线下方时的位置），延长交于，过作轴于， ，， ， ，， ， ，， ， ， 直线的解析式为， 联立得（舍去）或， ； 综上，的值为或； （3）点的坐标为，点的坐标为，点坐标为， ，直线为， 设， ， ， ①当是菱形的边时，如图， 时，，解得或， ，或，， 点的坐标为，点的坐标为， ，或，， 时，，解得（舍去）或， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 综上，当是菱形的边时，点的坐标为，或，或； ②当是菱形的对角线时，如图， ， ，解得， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 综上所述，点的坐标为，或，或或，． 模型7 利用二次函数解决实际问题 典例 （2024秋•临夏州期中）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．过点作交于点，连接．设运动时间为秒，解答下列问题： （1）记△的面积为，求与的函数解析式； （2）当为何值时，△的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）； （2）当时，△的面积有最大值，最大值为3． 【解答】解：（1）由矩形性质可知，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， ， 延长交轴于点， 点的横坐标，， ，点， ， ； （2）由（1）中解析式得：， 当时，△的面积有最大值，最大值为3． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 应用二次函数解决实际问题的基本思路： ①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系； ④用数学方法求解； ⑤检验结果的合理性． 【变式练1】　（2024秋•徐汇区期末）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展、滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如表） 滑行时间（秒 0 1 2 3 4 滑行距离（米 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． （1）由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； （2）若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）由题意，图象过，，， ． ． ． （2）由题意，根据（1）， ． 又将抛物线向右平移2个单位，再向上平移20个单位， 平移后所得抛物线的表达式为，即． 【变式练2】　（2024秋•苏州期末）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽时，水面距桥孔顶部．因降暴雨水位上升了到达位置．建立平面直角坐标系，如图1所示． （1）求此时水面的宽度（结果保留根号）； （2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为，宽为（横断面如图2所示）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 【答案】（1）水面宽度为米； （2）暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过． 【解答】解：（1）设函数解析式为，，， 把点坐标代入得：， 解得， ， 当时，， 解得， 此时水面宽度为米； （2）当时，， ， 暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过． 【变式练3】　（2024秋•兰州期末）野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．某野兔一次跳跃如图所示，以起跳点为原点，水平距离为轴，竖直高度为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，当水平距离为时，野兔达到本次跳跃的最大竖直高度． （1）求满足野兔跳跃的抛物线的函数表达式； （2）在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方处有宽为的小溪，试说明野兔此次跳跃能否跃过小溪． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）野兔此次跳跃能跃过小溪；理由如下： 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， 野兔落地点距离起跳点2.8米， ， 野兔此次跳跃能跃过小溪． 学科网（北京）股份有限公司 $$