精品解析： 广东省广州市越秀区培正中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

2024学年第一学期 初三级 数学科学情调研问卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 5. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 6. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 7. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 为保护视力，爱护眼睛，某班50名同学进行了视力检查，结果如下表，其中有两个数据被遮盖，下列关于视力的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 视力 4.6以下 4.6 47 4.8 4.9 4.9以上 人数 ■ ■ 7 12 13 10 A. 平均数，众数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 中位数，众数 9. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C、D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长（含），挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A、D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，则绳子最低点I到挡板的距离． 下列选项中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 用一个a的值，说明命题“”是假命题，这个值可以是______． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 13. 请写出一元二次方程的所有解：__________． 14. 如图，在中，D，E分别是的中点，交的延长线于点F． 若，，则的长为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为____________． 16. 已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是__________． ①甲每分钟走100米； ②两分钟后乙每分钟走50米 ③当或6时，甲乙两人相距100米； ④甲比乙提前分钟到达B地 三、解答题（本题有9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 在如图的数轴上作出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 如图，平行四边形中，E，F分别在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当满足 时，四边形是矩形． 21. 某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为，其中A款包装盒中的苹果果径要求是，B款包装盒中的苹果果径要求是．从这2000个苹果中障机抽取20个，测量它们的果径（单位：），所得数据整理如下： 80 81 82 82 83 84 84 85 86 86 87 87 87 89 90 91 92 92 94 98 （1）这20个苹果的果径的众数是　　　，中位数是　　　； （2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从抽取的苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如下表所示． 包装盒1的苹果果径 80 81 82 82 83 84 包装盒2的苹果果径 86 86 87 87 87 89 其中，包装盒　　　中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）； （3）请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？ 22. 在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：经过点A，且与x轴交于点． （1）求m的值及直线的表达式； （2）点在直线上，轴交直线于点D，点D的纵坐标为．若，直接写出n的取值范围． 23. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（步尺） 提取信息 秋千静止时，踏板离地面尺高；将秋千踏板向前推动步（即尺）时，踏板就和推秋千的人一样高，同为尺．秋千的绳索长是多少？ 画示意图 假设秋千的绳索长在运动过程中始终保持不变．如图，是秋千的固定点，点是秋千静止时路板的位置，点是向前推动尺（水平距离）后踏板的位置．直线是地面，于点，于点． 解决问题 （1）图中　　　　尺，　　　　尺，　　　　尺； （2）求秋千的绳索长． 24. 如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． （1）点C的坐标为 ，点D的坐标为 ； （2）如图2，将沿x轴正方向平移得，当经过点D时，求平移的距离； （3）若点P在y轴上，点Q在直线上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 25. 【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，__________； ②若点恰好在线段上，则的长为__________； 【深入思考】 （2）若点恰好落边上． ①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期 初三级 数学科学情调研问卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除除法，幂的乘方，和合并同类根式，熟练掌握各项运算法则并正确计算是解题的关键．根据二次根式的乘除法法则，幂的乘方，合并同类根式法则逐一计算，即可作出判断． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项运算错误，符合题意； ，故B选项运算正确，不符合题意； ，故C选项运算正确，不符合题意； ，故D选项运算正确，不符合题意； 故选A． 3. 已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点为第四象限内的点， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，C选项符合题意，A、B、D选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识点，理解勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由，则是直角三角形，不符合题意； B、由，，则，即是直角三角形，不符合题意； C、由，，则，即不是直角三角形，符合题意； D、由，则，即是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP，设 ∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a， ∴OP=AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6. 下列命题正确是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项错误； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键． 7. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与，有如下关系：当，时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， ∴a可取的最大整数为2， 故选：A． 8. 为保护视力，爱护眼睛，某班50名同学进行了视力检查，结果如下表，其中有两个数据被遮盖，下列关于视力的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 ■ ■ 7 12 13 10 A. 平均数，众数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 中位数，众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得视力为4.6和4.6以下的总人数，然后根据各统计量的求解方法判断即可． 【详解】解：根据表格数据，可得视力为4.6和4.6以下的总人数为（人） 视力为4.9所占人数最多为13，因此众数为4.9 从小到大排列后处在第25、26位的两个数是4.8、4.8，因此中位数为4.8 由于无法确定4.6和4.6以下的人数，所以无法确定方差和平均数， 则与被遮盖的数据无关的是中位数和众数， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数、众数、方差以及平均数的意义和求解方法，理解每个统计量的实际意义和求解方法是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，掌握函数图象的交点同时满足函数解析式成为解题的关键．联立解析式，求解对应的二元一次方程组即可求解．先根据题意列不等式组求得交点坐标，然后再根据交点在第一象限列不等式组求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴直线与直线的交点为， ∵直线与直线的交点在第一象限， ∴，解得：． 故选D． 10. 图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C、D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长（含），挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A、D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，则绳子最低点I到挡板的距离． 下列选项中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转与菱形的性质、勾股定理可以求出的长度；如图（3）：过J作于M，连接，然后证明四边形是平行四边形可得长度，求出，再利用三角形面积公式列一元二次方程即可得的长度． 【详解】解：如图（2）：设，则， ， ∵挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合， ， ∴， ∵四边形为菱形， ， 在中，， ∴，解得：或（舍去） ； 如图（3）：过J作于M，连接， ∵， ， ， 且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， 整理得：，解得：， ， ； ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、利用三角形面积公式得出一元二次方程等知识点，熟练掌握并运用这些性质和添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 用一个a的值，说明命题“”是假命题，这个值可以是______． 【答案】-1（答案不唯一，即可．） 【解析】 【分析】选取的的值不满足即可． 【详解】解：时，满足是实数，但不满足， 所以可作为说明命题“如果是任意实数，那么“”是假命题的一个反例． 故答案为：-1（答案不唯一，即可．） 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意得：（分）． 故小明的最终比赛成绩为分． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键． 13. 请写出一元二次方程的所有解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在中，D，E分别是的中点，交的延长线于点F． 若，，则的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线性质、三角形中位线定理等知识点，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键． 根据D是的中点，可得，进而求出，再根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵ D是的中点， ，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，分两种情况：①点在原点的右侧；②点在原点的左侧，并结合平移的性质即可得解．解题的关键是掌握菱形的性质及勾股定理． 【详解】解：∵点，轴， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ①点在原点的右侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移个单位再向右平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； ②点在原点的左侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移个单位再向左平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 16. 已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是__________． ①甲每分钟走100米； ②两分钟后乙每分钟走50米 ③当或6时，甲乙两人相距100米； ④甲比乙提前分钟到达B地 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断①；根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断②；根据图象，可以分别计算出和时，甲乙两人的距离，从而可以判断③．根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断④； 【详解】解：由图象可得， 甲每分钟走：（米），故①正确，符合题意； 两分钟后乙每分钟走：（米），故②正确，符合题意； 当时，甲乙相距（米）， 当时，甲乙相距米，故③正确，符合题意； 乙到达B地用的时间为：（分钟）， 则甲比乙提前分钟达到B地，故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 三、解答题（本题有9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）利用平方差公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，原式． 19. 在如图的数轴上作出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据勾股定理，作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求． 【详解】解：如图：点A表示的数； 过4对应的点B作数轴的垂线l，在l上截取BC＝1，则以原点为圆心，OC为半径画弧交数轴的正半轴于点A，则点A为所作． 【点睛】本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理． 20. 如图，在平行四边形中，E，F分别在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当满足 时，四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）首先根据平行四边形的性质可得，再结合即可证明结论； （2）根据运用平行四边形判定矩形即可解答． 【小问1详解】 证明∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：当时， 四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：． 21. 某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为，其中A款包装盒中的苹果果径要求是，B款包装盒中的苹果果径要求是．从这2000个苹果中障机抽取20个，测量它们的果径（单位：），所得数据整理如下： 80 81 82 82 83 84 84 85 86 86 87 87 87 89 90 91 92 92 94 98 （1）这20个苹果的果径的众数是　　　，中位数是　　　； （2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从抽取的苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如下表所示． 包装盒1的苹果果径 80 81 82 82 83 84 包装盒2的苹果果径 86 86 87 87 87 89 其中，包装盒　　　中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）； （3）请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？ 【答案】（1）， （2）2 （3）估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果约有700个 【解析】 【分析】此题考查了方差、众数和中位数、样本估计总体等知识，熟练掌握相关统计量的计算是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义进行解答即可； （2）分别求出包装盒1和包装盒2的苹果果径的方差，比较后即可得到答案； （3）用2000乘以抽取的样本中符合A款包装盒中的苹果果径的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：这20个苹果的果径中出现次数最多的是87，共出现3次，故众数为， 这20个苹果的果径从小到大排列后，处在第10位和第11位的是86和87，故中位数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 包装盒1的苹果果径平均数为： ， 包装盒1的苹果果径的方差为： ， 包装盒2的苹果果径平均数为： ， 包装盒2的苹果果径的方差为： ， ∵， ∴包装盒2中的苹果大小更均匀， 故答案：2 【小问3详解】 在抽取的20个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果共有7个． （个）． 答：估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果约有700个． 22. 在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：经过点A，且与x轴交于点． （1）求m的值及直线的表达式； （2）点在直线上，轴交直线于点D，点D的纵坐标为．若，直接写出n的取值范围． 【答案】（1），直线的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质并灵活运用是解答的关键． （1）先根据一次函数图象点的坐标特征求得点A坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据题意得到，，再结合已知列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线：上， ∴，则， ∵直线：经过点A，且与x轴交于点， ∴，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：解：∵点在直线上，轴交直线于点D，点D的纵坐标为． ∴，， ∵， ∴， 解得． 23. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（步尺） 提取信息 秋千静止时，踏板离地面尺高；将秋千的踏板向前推动步（即尺）时，踏板就和推秋千的人一样高，同为尺．秋千的绳索长是多少？ 画示意图 假设秋千的绳索长在运动过程中始终保持不变．如图，是秋千的固定点，点是秋千静止时路板的位置，点是向前推动尺（水平距离）后踏板的位置．直线是地面，于点，于点． 解决问题 （1）图中　　　　尺，　　　　尺，　　　　尺； （2）求秋千的绳索长． 【答案】（1），，； （2）秋千的绳索长为尺． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）如图，过点作于点，可得四边形是矩形，得到尺，尺，设秋千的绳索长为尺，则，，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可得，尺，尺，尺， 故答案为：，，； 【小问2详解】 如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴尺，尺， 设秋千的绳索长为尺，则，， 在中，， ∴， 解得， 答：秋千的绳索长为尺． 24. 如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． （1）点C的坐标为 ，点D的坐标为 ； （2）如图2，将沿x轴正方向平移得，当经过点D时，求平移的距离； （3）若点P在y轴上，点Q在直线上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）平移的距离是个单位． （3）满足条件的点Q的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数的性质求得B的坐标，进而确定的长，设，即；再证明可得，进而用c表示出点D的坐标，最后代入直线即可解答； （2）先运用待定系数法求得求的解析式，求出点的坐标即可解答； （3）如图3：作交y轴于P，作交于Q，则四边形是平行四边形，求出直线的解析式，可得点P坐标，点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P，推出点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q，再根据对称性可得的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴相交于A、B两点， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把点代入可得，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入，得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴平移的距离是个单位． 【小问3详解】 解：如图3：作交y轴于P，作交于Q，则四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为 把点代入可得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P， ∴点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q， ∴， 当为对角线时，四边形是平行四边形可得， 当四边形平行四边形时，可得， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】本题属于考查一次函数综合题，主要平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、平移、轴对称等知识点，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 25. 【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，__________； ②若点恰好在线段上，则的长为__________； 深入思考】 （2）若点恰好落在边上． ①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）①，②；（2）①证明见解析，②；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①由折叠性质和可求出的度数； ②由折叠和勾股定理可求出，再利用列也式子求出的长，最后即可求出的长； （2）①先证四边形是平行四边形，再由折叠证进而证明四边形是菱形； ②先求菱形的边长的长度，最后根据勾股定理求出； （3）分两种情况进行讨论：①当时，②当时． 【详解】解：（1）①，， ， 由折叠可得：， ； ②由折叠可得：，，， ，， ， 点在上， ， ， 在中，， ， 故答案为：①，②． （2）①证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ②由折叠可知， ∵，， 在中，， ∴， ∴菱形的边长为， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，又勾股定理得． （3）由折叠可知，设，则，， ①当时，在中，， ∴， ∴； ②当时，过点作交于， ∴， 由折叠可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形与折叠的知识，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是读懂题意，理清条件与图形性质之间的关系，分类讨论，数形结合思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$