甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（15分）兰州一中2024-2025-1学期期末考试 高一数学 答题卡 15.（13分） 姓名： 贴条形码区 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 注 意 事 项 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 一、单项选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题 6分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________________ 13．____________________________ 14．____________________________ 班级： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 3页（共 6页） 数 学 第 1页（共 6页） 数 学 第 2页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 数 学 第 6页（共 6页） 数 学 第 4页（共 6页） 数 学 第 5页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（17分）17.（15分） 兰州一中高一年级期末数学试卷 第 页，共 4 页1 兰州一中 2024-2025-1 学期期末考试试题 高一数学 命题人：马健 审题人：石磊 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分,考试时间 120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．） 1．已知集合    1 4 0A x x x    N ，  0 3B x x   ，则 A B  （ ） A． 1,2 B．  1,3 C． 2,3 D． 1,3 2. 已知 2sin 2    且  0,2π  ，则 等于（ ） A． 5π 4 B． 7π 4 C． 5π 4 或 7π 4 D． 3π 4 或 5π 4 3．若 6.0log6a ， 0.61.1b  ， 6.0log0.5c ，则 cba ,, 的大小关系是（ ） A． a b c  B．b c a  C． c b a  D．b a c  4．化简 (2 1) (2 1) 22 2 2k k k      的结果为（ ） A． 22 k B． (2 1)2 k  C． (2 1)2 k  D．2 5. 函数 πsin 2 4 y x      的图象向左平移 π 4 个单位得到下列哪个函数（ ） A． xy 2cos B． xy 2cos C． πcos 2 4 y x       D． πcos 2 4 y x       6．函数 2( ) 8 2f x x x   的单调递增区间是（ ） A．  1- ， B．  ，1 C．  41， D．  12- ， 兰州一中高一年级期末数学试卷 第 页，共 4 页2 7．函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图所示，若 图象上的所有点向左平移 π 12 个单位长度得到函数  g x 的图像，若  g x 是奇 函数，则图中的 a值为（ ） A． 1 B． 3 C． 2 D． 6 22   8．函数  f x 的图象是由 2siny x 向右平移 π 6 个单位、再将图象上所有点 的横坐标压缩为原来的 1  （ 0  ）倍后得到的，若函数  f x 在区间 2π 3π, 5 4     上单调递增，且在区间  0, π 上有且只有一个零点，则的取值 范围是（ ） A． 1 5, 6 6      B． 1 5, 6 6      C． 1 7, 6 6      D． 1 7, 6 6       二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分 ， 有选错的得 0 分） 9．下列命题正确的有（ ） A．函数   ln 2f x x x   有 1个零点 B． | |1 2 x y       的最大值为 1 C．   2lgf x x 与   2lgg x x 是同一函数 D．   1lg 1 xf x x    是奇函数 10. 某城市在某天的气温变化T（单位：℃）与时间 t（单位：h）的关系可 以近似表示为  π 2π8sin 18, 0,24 12 3 T t t        ，则下列说法中错误的是（ ） A．当日最大温差为 16℃ B．中午十二点时达到当日最高温 C．午夜两点之后温度开始逐步上升 D．早晚八点时温度相同 兰州一中高一年级期末数学试卷 第 页，共 4 页3 11．狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且是有意识地“以概念代 替直觉”的人．在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数，进行具体计 算，他们不大考虑抽象问题，但狄利克雷之后，人们开始考虑函数的各种性 质，例如奇偶性、单调性、周期性等.1837 年，狄利克雷拓广了函数概念， 提出了自变量 x与另一个变量 y之间的现代观念的对应关系，并举出了个著 名的函数——狄利克雷函数：       QCx Qx xD R,0 ,1 )( ，下列说法正确的有（ ） A．    1D x D x  B．     D D x D x C．    D x D x  D．  D x 的值域为 0 1y y  第Ⅱ卷（非选择题） 三、非选择题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 将答案写在答题 卡上） 12．试写出一个满足下列条件的函数解析式 . ①以 π为最小正周期；②以 π2x  为一条对称轴；③值域为 1,3 . 13．已知函数 ( )f x 为R 上的奇函数，当 0x  时， ( ) ( 1)f x x x  ．若 ( ) 2f a   ， 则实数 a  ． 14．已知直线 y a （常数 0a  ）与曲线 2 tan 3 4 y x       的图象有无穷多 个公共点，其中有 3 个相邻的公共点自左至右分别为 A，B，C 则点 A 与点 C 的距离 . 四、解答题 (本题共 5 小题，共计 77 分．解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15．(13分)计算： (1) 16log7log5log 752  ; 兰州一中高一年级期末数学试卷 第 页，共 4 页4 (2) 实数 ba, 满足 1243  ba ，求 ba 11  ; (3) 化简： 2 1tan 1 sin    ，其中α是第二象限角. 16．(15 分)已知指数函数 xaxf )( 过点 ) 9 1,2-（ ， (1) 求 ( )f x 的解析式，判断并证明 1( ) ( ) ( ) g x f x f x   的奇偶性； (2) 求函数 )(xgy  的最小值； (3) 解不等式： log (1 ) log (2 )a ax x   ． 17. (15分)已知 sin ，cos 是关于 x的方程  2 0x ax a a R    的两个根， (1) 求  33 sincos  的值； (2) 求   2tan1 tan  的值. 18. (17 分)已知函数 ) 3 2sin(3)(  xxf ， (1) 求函数 ( )f x 的在 [0, π]上的单调递减区间； (2) 若函数 ( )f x 在区间[0, ]m 上有且只有两个零点，求 m的取值范围； (3) 若函数 mxfy  )( 在     2 ,0  上有两个零点，求m的取值范围. 19．(17分)已知非常数函数 ( )f x 的定义域为R ，如果存在正数T ，使得 x R，都有 )()( xTfTxf  恒成立，则称函数 ( )f x 具有性质T ． (1) 判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由； ① 1( ) 2 1f x x  ；② 2 ( ) cos(2π 1)f x x  ． (2) 若函数 ( ) sin( )( 0)f x x     具有性质T ，求的最小值. 答案第 1页，共 2页 兰州一中 2024-2025-1学期期末考试试题 高一数学 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C D D A B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0 分. 三、非选择题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 12． xy 2cos2 (答案不唯一） 13．-1 14． 3  四、解答题：本题共 5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)（1）4（2）1（3）-1 16. (15分) (1) 3a ，偶函数 (2) 当 0x 时，最小值是 2 (3)       2 1,1- 17. (15分) (1) 解：由题意有  2Δ 4 0a a    ，所以 4a  或 0a  ， 又 sin cos sin cos a a         ，  2sin cos 1 2sin cos      则 2 2 1 0a a   ，从而 1 2a   或 1 2a   （舍去）， 因此 sin cos sin cos 1 2       ． 所以    3 3 2 2sin cos sin cos sin sin cos cos               1 2 1 1 2 2 2        (2) 解： 21cossin tan1 tan 2  a   18. (17分) (1)     12 7, 12  题号 9 10 11 答案 ABD ACD AC 答案第 2页，共 2页 （2）解：当 [0, ]x m 时， π π π2 [ , 2 ] 3 3 3 x m   ，又函数 ( )f x 在区间[0, ]m 上有且只有两个零 点，即函数 siny x 在 π π[ , 2 ] 3 3 m  只有两个零点， 因此 π2 π2 3 π 3m  ，解得 5π 4π 6 3 m  ，所以m 的取值范围为 5π 4π[ , ) 6 3 （3）      3 2 3 ，m 19. (17分) （1）解：  1f x 不具有性质T ，  2f x 具有性质T ，理由如下： ①假设  1f x 具有性质T ，即存在正数T ，使得  2( ) 1 2 1x T T x    恒成立， 则 (2 2) 3 1T x T   对 x R恒成立， 则 2 2 0 3 1 0 T T      此时无解，故假设不成立，所以  1f x 不具有性质T . ②取 1 0T   ，则    2 2( 1) cos 2π 1 1 cos 2π 1 ( )f x x x f x         ， 即 2 2( ) ( )f x T Tf x  对 x R恒成立，所以  2f x 具有性质T （2）解：因为函数 ( ) sin( )( 0)f x x     具有性质T ， 所以存在正数T ，使得 x R都有：    sin sinx T T x         恒成立， 令 t x   ，则  sin sint T T t  对 t R恒成立， 若 1T  ，取 π 2 t  ，则 sin 1 π 2 T T       ，矛盾， 若0 1T  ，取 π 2 t T  ，则 πs 2 in π 2 sinT T      ， 即 1sin 1π 2 T T        ，矛盾， 所以 1T  ， 则当且仅当 2 π, Zk k   时，  sin sint t  对 t R恒成立， 因为 0  ，所以 2π  ， 所以当 2π  时，函数 ( ) sin( )( 0)f x x     具有性质T ， 所以的最小值为2π .