第1章 相交线与平行线（单元测试B卷）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙江专用）

第1章 《相交线与平行线》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 2．（3分）下面四个图形中，∠1与∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 4．（3分）下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c 5．（3分）如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定 6．（3分）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）个． （1）∠B+∠BCD＝180°； （2）∠1＝∠2； （3）∠3＝∠4； （4）∠B＝∠5． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 8．（3分）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A落在A'处，点B落在B'处．再将得到的图形沿ED翻折，使点A'落在A″处，点B'落在B″处．若∠BFE＝23°，则∠FEA″的度数为（　　） A．134° B．121° C．111° D．105° 9．（3分）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝51°，则∠4的度数是（　　） A．120° B．129° C．130° D．141° 10．（3分）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠DEB＝2∠ABC；其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得AB∥DC，则添加的条件可以是 　 　（填出一个即可）． 12．（3分）如图所示，与∠C构成同旁内角的有　 　个． 13．（3分）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝20°时，∠BOD的度数是　 　． 14．（3分）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝36°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为　 　． 15．（3分）如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　 　． 16．（3分）如图，AB∥CD，点P，Q分别是AB，CD上的一点，射线PB绕点P顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒2度，旋转至与QD重合便立即回转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动．若射线PB先转动30秒，射线QC才开始转动，则射线QC转动 　 　秒后，QC与PB平行． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1＝41°，求∠ABC的度数． 18．（6分）如图，∠DEG+∠EGF＝180°，DE平分∠BDF，∠C＝∠A．请判断AB与DF的位置关系并说明理由． 19．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系； （2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数． 20．（8分）补全推理过程： 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（ 　 　） ∴∠2+∠EAD＝180°．（ 　 　） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠　 　．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（ 　 　） ∴∠B＝∠BDH．（ 　 　） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（ 　 　） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝ 　 　°．（ 　 　） 21．（10分）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 22．（10分）如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50° （1）线段　 　的长度表示点M到NE的距离； （2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）：　 　，并说明理由；　 　； （3）求∠AON的度数． 23．（12分）（1）如图1，AB∥CD，求∠A+∠AEC+∠C的度数． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB（已作）， ∴∠A+∠AEF＝180°（ 　 　）． 又∵AB∥CD（已知）， ∴　 　∥　 　（平行关系的传递性）， ∴∠CEF+∠　 　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+∠C＝ 　 　； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ 　 　； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中AB∥GF，猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 　 　； （4）如图4，AB∥CD，在B，D两点的同一侧有M1，M2，M3，…Mn共n个折点，则∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D的度数为 　 　（用含n的代数式表示）． 24．（12分）综合运用 【问题情景】 如图1，AB∥DC，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP．∠BAP＝60°，∠DCP＝20°，求∠APC的度数．小明的思路如下：先过点P作PE∥AB，再根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，进而得到∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°． 【问题解决】 （1）如图2，AB∥DC，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K．若∠APC＝88°，则∠AKC＝　 　． （2）在（1）的条件下，若∠APC＝α，求∠AKC的度数． （3）如图3，AB∥DC，点P落在DC外，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，若∠APC＝α，∠AKC＝β，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 《相交线与平行线》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 选择题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C C A C B D 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【分析】根据同一平面内的直线有相交与平行两种位置关系即可解答． 【解答】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系． 故选：B． 【点评】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方． 2．（3分）下面四个图形中，∠1与∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“同位角”的定义，结合各个选项中的两个角的位置进行判断即可． 【解答】解：由同位角的定义可知， 选项A、选项B、选项C中的∠1与∠2都不是同位角； 选项D中的∠1与∠2是直线AB、BC被直线AD所截所得到的同位角； 故选：D． 【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提． 3．（3分）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可． 【解答】解：如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l， ∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm， 故选：A． 【点评】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 4．（3分）下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c 【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可． 【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c， ∴a⊥c，故本选项错误； B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误； C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误； D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错． 5．（3分）如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定 【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变． 【解答】解：∵直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点， ∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变， ∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变， 故选：C． 【点评】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 6．（3分）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）个． （1）∠B+∠BCD＝180°； （2）∠1＝∠2； （3）∠3＝∠4； （4）∠B＝∠5． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 【解答】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确； （2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误； （3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确； （4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两直线平行． 7．（3分）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 【解答】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 8．（3分）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A落在A'处，点B落在B'处．再将得到的图形沿ED翻折，使点A'落在A″处，点B'落在B″处．若∠BFE＝23°，则∠FEA″的度数为（　　） A．134° B．121° C．111° D．105° 【分析】由折叠的性质得到：∠B′FE＝∠BFE＝23°，∠EMB′＝∠EMB″，求出∠BFB′＝2∠BFE＝46°，由平行线的性质推出∠EMB′＝∠BFB′＝46°，∠DEF＝∠BFE＝23°，∠A″EM+∠EMB″＝180°，求出∠A″EM＝134°，即可得到∠FEA″的度数． 【解答】解：由折叠的性质得到：∠B′FE＝∠BFE＝23°，∠EMB′＝∠EMB″， ∴∠BFB′＝2∠BFE＝46°， ∵AD∥BC， ∴∠EMB′＝∠BFB′＝46°，∠DEF＝∠BFE＝23°， ∴∠EMB″＝46°， ∵EA″∥MB″， ∴∠A″EM+∠EMB″＝180°， ∴∠A″EM＝134°， ∴∠FEA″＝134°﹣23°＝111°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，折叠问题，关键是熟练掌握平行线的性质，折叠的性质． 9．（3分）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝51°，则∠4的度数是（　　） A．120° B．129° C．130° D．141° 【分析】由平行线的判定得出a∥b，进而利用平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝51°， ∴a∥b， ∴∠2＝∠5＝51°， ∴∠4＝180°﹣51°＝129°， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 10．（3分）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠DEB＝2∠ABC；其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 【解答】解：∵AF∥CD， ∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA， ∵BC平分∠ACD，BD平分∠EBF， ∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF＝∠EDB， ∵BC⊥BD， ∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°， ∵∠EDB＝∠DBE， ∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA， ∴BC平分∠ABE， 故①正确，符合题意； ∵∠EBC＝∠BCA， ∴AC∥BE， 故②正确，符合题意； ∵∠DEB＝∠EBA，∠EBA＝2∠ABC， ∴∠DEB＝2∠ABC， 故③正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键， 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得AB∥DC，则添加的条件可以是 　∠C＝∠CBE（答案不唯一）　（填出一个即可）． 【分析】由平行线的判定方法，即可得到答案， 【解答】解：当∠C＝∠CBE时，由内错角相等，两直线平行，推出AB∥DC， ∴添加的条件可以是∠C＝∠CBE（答案不唯一）． 故答案为：∠C＝∠CBE（答案不唯一）． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 12．（3分）如图所示，与∠C构成同旁内角的有　3　个． 【分析】据图形和同旁内角的定义，可知∠C构成同旁内角的有∠EBC、∠DBC、∠BDC，共3个． 【解答】解：AC与EB、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠EBC； AC与BD、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠DBC； DC与BD、BC相截，与∠C构成同旁内角的有∠BDC；共3个．故填3． 【点评】本题主要考查同旁内角的定义，注意区分同位角、内错角、同旁内角的差别． 13．（3分）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝20°时，∠BOD的度数是　70°或110　． 【分析】根据题意，分OC、OD在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD，∠AOC＝20°，计算∠BOD的度数即可． 【解答】解：在直线AB同侧时，如图： ∵OC⊥OD，∠AOC＝20°， ∴∠BOD＝180°﹣90°﹣20°＝70°； 在直线AB异侧时，如图： ∵OC⊥OD，∠AOC＝20°， ∴∠BOD＝180°﹣（90°﹣20°）＝110°， 故答案为：70°或110°． 【点评】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分两种情况讨论是解题的关键． 14．（3分）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝36°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为　72°　． 【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1＝∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1＝∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的 度数． 【解答】解：从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线DC刚好与OB平行，如图，过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1＝∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， 在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝36°， ∴∠2＝90°﹣36°＝54°， 在△DEF 中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝72°， 故答案为：72°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，解答本题的关键是作出辅助线DF⊥AO，在直角三角形中解决问题． 15．（3分）如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　20　． 【分析】作DG⊥BC，AH⊥BC，根据△DCE的面积为6，求出DG，根据两平行线间的距离相等得到AH的长，根据平行四边形的面积公式得到答案． 【解答】解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∴AH＝DG， 又AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，又BE＝8， ∴CE＝3，又△DCE的面积为6， ∴DG＝4， ∴四边形ABCD的面积＝BC×AH＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键． 16．（3分）如图，AB∥CD，点P，Q分别是AB，CD上的一点，射线PB绕点P顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒2度，旋转至与QD重合便立即回转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动．若射线PB先转动30秒，射线QC才开始转动，则射线QC转动 　30或110　秒后，QC与PB平行． 【分析】设射线QC转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【解答】解：设QC转动后与AB交于点M，PB转动后与CD交于点N， 当0＜t＜90时，如图1， ∵AB∥CD， ∴∠BPN＝∠PNC， ∵PN∥MQ， ∴∠CQM＝∠PNC， ∴∠CQM＝∠BPN ∴2t＝1•（30+t）， 解得 t＝30； ②当90＜t＜150时，如图2， ∵AB∥CD， ∴∠BPN+∠PND＝180°， ∵PN∥QM， ∴∠MQD＝∠PND ∴∠BPN+∠MQD＝180° ∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180， 解得 t＝110， 综上所述，射线QC转动30或110秒，两射线互相平行； 故答案为：30或110． 【点评】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1＝41°，求∠ABC的度数． 【分析】过B作BD∥l1，由已知的AB⊥l1，即∠ABD＝90°，根据两条直线分别于第三条直线平行，则这两条直线也平行，再根据两直线平行，内错角相等可求结果． 【解答】解：过B作BD∥l1， ∵AB⊥l1， ∴∠ABD＝90°， ∵l1∥l2，BD∥l1， ∴BD∥l2， ∴∠CBD＝∠1＝41°， ∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝90°+41°＝131°， ∴∠ABC的度数为131°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、垂线的定义，解题关键是过点B作平行线． 18．（6分）如图，∠DEG+∠EGF＝180°，DE平分∠BDF，∠C＝∠A．请判断AB与DF的位置关系并说明理由． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】解：AB∥DF，理由如下： ∵∠DEG+∠EGF＝180°， ∴DE∥AC， ∴∠BDE＝∠C，∠FDE＝∠DFC， ∵DE平分∠BDF， ∴∠BDE＝∠FDE， ∴∠C＝∠DFC， ∵∠C＝∠A， ∴∠DFC＝∠A， ∴AB∥DF． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 19．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系； （2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOM＝90°，进而可得∠1+∠AOC＝90°，再利用等量代换可得到∠2+∠AOC＝90°，从而可得ON⊥CD； （2）根据垂直定义和条件可得∠1＝30°，∠BOC＝120°． 【解答】解：（1）ON⊥CD． 理由如下： ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠1+∠AOC＝90°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AOC＝90°， 即∠CON＝90°， ∴ON⊥CD． （2）由（1）知∠1+∠AOC＝90°， 因为∠AOC＝2∠1， 所以∠1+2∠1＝90°， 解得∠1＝30°， 所以∠AOC＝60°， 所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°． 【点评】此题主要垂直定义，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 20．（8分）补全推理过程： 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（ 　在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行　） ∴∠2+∠EAD＝180°．（ 　两直线平行，同旁内角互补　） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠　EAD　．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（ 　内错角相等，两直线平行　） ∴∠B＝∠BDH．（ 　两直线平行，内错角相等　） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（ 　垂直的定义　） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝ 　40　°．（ 　两直线平行，同位角相等　） 【分析】先证明AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，进而证明∠1＝∠EAD，得AE∥HG，则∠B＝∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行） ∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行） ∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（垂直的定义） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等） 故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EAD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40，两直线平行，同位角相等． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及补角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 21．（10分）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 【分析】（1）根据平行线的判定证明AC∥BE，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF∥CG，利用平行公理得到CG∥MN，求出∠ACG，即可求出α的值． 【解答】解：（1）不会，理由是： ∵∠MAC＝120°， ∴∠CAN＝60°， ∵∠NBE＝60°， ∴∠CAN＝∠NBE， ∴AC∥BE， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则EF∥CG， ∵MN∥EF， ∴CG∥MN， ∴∠ACG＝∠MAC＝120°， ∵∠ACD＝140°， ∴α＝∠ACD﹣∠ACG＝20°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 22．（10分）如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50° （1）线段　MO　的长度表示点M到NE的距离； （2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）：　MO＜MN　，并说明理由；　垂线段最短　； （3）求∠AON的度数． 【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【解答】解：（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离； （2）比较MN与MO的大小为：MO＜MN，是因为垂线段最短； （3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD， ∴∠BOM＝25°， ∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°． 故答案为：MO；MO＜MN；垂线段最短． 【点评】本题考查的是点到直线的距离，掌握点到直线的距离是解题的关键 23．（12分）（1）如图1，AB∥CD，求∠A+∠AEC+∠C的度数． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB（已作）， ∴∠A+∠AEF＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）． 又∵AB∥CD（已知）， ∴　EF　∥　CD　（平行关系的传递性）， ∴∠CEF+∠　C　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+∠C＝ 　360°　； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ 　540°　； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中AB∥GF，猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 　720°　； （4）如图4，AB∥CD，在B，D两点的同一侧有M1，M2，M3，…Mn共n个折点，则∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D的度数为 　（n+1）×180°　（用含n的代数式表示）． 【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，根据平行线的性质得到∠A+∠AEF＝180°，∠CEF+∠C＝180°，即可得到结论； （2）分别过C，D作CG∥AB，DH∥AB，则CG∥DH∥EF，根据平行线的性质即可得到结论； （2）分别过C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，则CG∥DH∥EI∥CD，根据平行线的性质即可得到结论； （4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）•180°，于是得到∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D＝（n+1）•180°． 【解答】解：（1）过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB（已作）， ∴∠A+∠AEF＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）． 又∵AB∥CD（已知）， ∴EF∥CD（平行关系的传递性）， ∴∠CEF+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；EF；CD；C；360°； （2）如图2，分别过C，D作CG∥AB，DH∥AB，则CG∥DH∥EF， ∴∠BCG+∠B＝∠DCG+∠CDH＝∠EDH+∠E＝180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BCG+∠B+∠DCG+∠CDH+∠EDH+∠E＝3×180°＝540°， 故答案为：540°； （3）如图3，分别过C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，则CG∥DH∥EI∥CD， ∴∠B+∠BCG＝180°，∠GCD+∠CDH＝180°，∠HDE+∠IED＝180°，∠IEF+∠JFE＝180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝720°， 故答案为：720°； （4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）•180°， ∴∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D＝（n+1）•180°． 故答案为：（n+1）×180°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键． 24．（12分）综合运用 【问题情景】 如图1，AB∥DC，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP．∠BAP＝60°，∠DCP＝20°，求∠APC的度数．小明的思路如下：先过点P作PE∥AB，再根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，进而得到∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°． 【问题解决】 （1）如图2，AB∥DC，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K．若∠APC＝88°，则∠AKC＝　44°　． （2）在（1）的条件下，若∠APC＝α，求∠AKC的度数． （3）如图3，AB∥DC，点P落在DC外，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，若∠APC＝α，∠AKC＝β，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （2）根据解析（1）的思路进行求解即可； （3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得出，进而得到2∠AKC＝∠APC，即可求出α＝2β． 【解答】解：（1）如图，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK， ∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得∠APC＝∠BAP+∠DCP， ∵∠BAP 与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∵∠APC＝88°， ∴， 故答案为：44°． （2）根据解析（1）可知， ∵∠APC＝α， ∴； （3）α＝2β，理由如下： 如图，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE， ∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得∠APC＝∠BAP﹣∠DCP， ∵∠BAP 与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴2∠AKC＝∠APC， ∵∠APC＝α，∠AKC＝β， ∴α＝2β． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$