第01讲 平方根、立方根（5个知识清单+10类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第01讲 平方根、立方根 课程标准 学习目标 1 求一个数的算术平方根 2 利用算术平方根的非负性解题 3 估计算术平方根的取值范围 4与算术平方根有关的规律探索题 5 算术平方根的实际应用 6平方根概念理解 7 平方根的应用 8 立方根概念理解 9求一个数的立方根 10 立方根的实际应用 1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，并了解被开方数的非负性； 2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，进行简单的开平方运算。 3.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。 4.会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。 5.了解立方根的性质。 6.区分立方根与平方根的不同。 学习重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根 学习难点：了解被开方数的非负性； 知识点01．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【即学即练】 1．（2024春•颍泉区校级月考）实数0.36的平方根是（　　） A．0.6 B．﹣0.6 C．±0.6 D．±0.06 【分析】根据平方根的定义求解即可 【解答】解：∵（±0.6）2＝0.36， ∴实数0.36的平方根是±0.6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平方根，对于两个实数a、b若满足a2＝b，那么a就叫做b的平方根． 知识点02 算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【即学即练】 2．（2024春•金安区校级月考）64的算术平方根是（　　） A．±4 B．±8 C．4 D．8 【分析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根． 【解答】解：64的算术平方根是8． 故选：D． 【点评】本题考查了算术平方根的定义和性质，只需学生熟练掌握算术平方根的定义，即可完成． 知识点03 非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【即学即练】 3．（2024春•蚌埠月考）已知x，y为实数，且，则（x+y）2023的值为（　　） A．±1 B．0 C．﹣1 D．1 【分析】根据两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．根据非负数的性质得出x，y的值，然后代入（x+y）2023求值即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， 解得x＝1，y＝﹣2， 当x＝1，y＝﹣2时， （x+y）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1． 故选：C． 【点评】此题考查的知识点是非负数的性质，解题的关键是明确非负数的性质． 知识点04立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【即学即练】 4．（2024春•大观区校级月考）若，则的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．15 D．25 【分析】先运用非负数的性质求得x，y的值，再代入求解即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣5＝0，y+25＝0， 解得：x＝5，y＝﹣25， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了运用非负数的性质和立方根进行求解的能力，熟练掌握非负数的性质是关键． 知识点05 计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 【即学即练】 5．（2023春•金安区校级月考）如图，某同学利用计算器中的，，三个按键设置计算程序，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，程序将按照以下步骤进行，依次按照从第一步到第三步循环计算． 若一开始输入的数据为10，那么第2021步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C．0.1 D．0.01 【分析】先将＝10代入程序中，计算出前几步可得出数字的循环规律，利用周期循环规律即可求解． 【解答】解：由题意可知：第一步结果为102＝100， 第二步结果为＝0.01， 第三步结果为＝0.1， 第四步结果为0.12＝0.01， 第五步结果为＝100， 第六部结果为＝10， …… ∴运算结果是以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为一组周期循环的， ∵2021÷6＝336……5， ∴第2001步之后的显示结果为100， 故选：B． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题关键是通过计算得出数字的循环规律． 题型01 求一个数的算术平方根 1．（20-21七年级下·安徽安庆·期末）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A． B．9 C．3 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关键．根据数值转换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止． 【详解】解：第一次输入，则，是有理数； 第二次输入，则，是有理数； 第三次输入，则不是有理数，所以输出， 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·期末）已知，则的算术平方根是 ． 【答案】3 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先求解，再利用算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为： 3．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求，的值； (2)的算术平方根是16，求的平方根． 【答案】(1)， (2)． 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的概念． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得的值，进而求得的值； （2）利用算术平方根的定义求得，再代入数据求得的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，解得． ． ； （2）解：的算术平方根是16， ，解得． ． 的平方根为． 题型02 利用算术平方根的非负性解题 4．（21-22七年级下·安徽六安·期末）若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到，则，再根据若两个实数a、b满足，那么a就叫做b的平方根进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故选：B． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，则 的值是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性即可求解． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 6．（2024七年级下·安徽·专题练习）若，求的值 ． 【答案】6 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查的是非负数的性质及求代数式的值，涉及绝对值的非负性、算术平方根的非负性，根据题意得出a、b的值是解答此题的关键． 先根据非负数的性质得出关于、的方程， 求出、的值代入代数式进行计算即可 ． 【详解】解：， ，，解得，， 原式． 题型03 估计算术平方根的取值范围 7．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 8．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)81 (2)的算术平方根在之间 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 题型04与算术平方根有关的规律探索题 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）若，，则x的值是（    ） A．1060.9 B．10.609 C．106.09 D．1.0609 【答案】D 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】此题考查了算术平方根．根据算术平方根小数点移动的规律进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）已知，则 ． 【答案】0.25 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根，根据被开方数的小数点移动两位，算术平方根的小数点移动一位进行作答即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：0.25． 11．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 题型05 算术平方根的实际应用 12．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）面积为4的正方形，其边长等于（    ） A．4的算术平方根 B．4的平方根 C．4的立方根 D．的算术平方根 【答案】A 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义，求解即可． 【详解】解：面积为4的正方形，其边长等于，即：4的算术平方根； 故选A． 13．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了利用算术平方根解方程，由算术平方根的定义可得，解方程即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．   (1)大正方形纸片的边长是___________； (2)若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 ，且面积为 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】（）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （）先求出长方形的边长，再判断即可； 本题考查了算术平方根的应用，能够根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】（1）大正方形的边长是 ， 故答案为：； （2）设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 题型06平方根概念理解 15．（23-24七年级下·安徽·单元测试）下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的意义，负数没有平方根，即可求解． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴ A．0有平方根，是0，故本选项不符合题意； B． ，是正数，有平方根，故本选项不符合题意； C．，没有平方根，故本选项符合题意； D．，有平方根，故本选项不符合题意； 故选：C 16．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）如果a，b分别是的两个平方根，那么 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方根概念理解 【分析】此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得到，再根据，代入即可得出结论． 【详解】解：∵a，b分别是的两个平方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（20-21七年级下·安徽亳州·阶段练习）一组实数按下列规律排列： 1；；；2；；；    第1行 ；3；；；；；    第2行 ；4；；；；    ；    第3行 …… 根据这个规律解答以下问题： （1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______； （2）实数排在第几行第几列？并说明理由． 【答案】（1）；（2）第289行第5列 【知识点】平方根概念理解、数字类规律探索 【分析】（1）观察可得每行有7个数字，分别是从1开始的连续自然数的算术平方根，据此可得； （2）计算2021与7的结果，根据余数判断即可． 【详解】解：（1）由题意可得： 第4行第1列所表示的实数是； （2）2021÷7=288…5， ∴排在第289行第5列． 【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是根据已知数列总结出规律． 题型07 平方根的应用 18．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）一个非负数的平方根是与，那么这个数是（    ） A．1 B．9 C．或1 D．1或9 【答案】B 【知识点】平方根的应用、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的性质，根据一个非负数的两个平方根互为相反数，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， ∴这个数为， 故选：B． 19．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）一个正数的平方根是和，那么这个数是 ． 【答案】49 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根的应用 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，根据题意可得，求出a的值，即可得出这个数的一个平方根，进而求出这个数即可． 【详解】解：一个正数的平方根是和， ， 解得：， ， 那么这个数是， 故答案为：49． 20．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【答案】(1)3． (2)正方形的面积是5，边长为． 【知识点】立方根的实际应用、平方根的应用 【分析】本题考查了立方根和平方根的意义，熟练掌握立方根和平方根的意义是解答本题的关键． （1）直接根据立方根的意义求解即可； （2）先求出阴影部分的面积，再根据平方根的意义求解即可． 【详解】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得， 解得． 故魔方的棱长为3． （2）∵魔方的棱长为3， ∴阴影面积为：， 设正方形的边长为y，则， 解得，（舍去）， 故正方形的面积是5，边长为． 题型08 立方根概念理解 21．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 【答案】C 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查立方根，如果，那么叫做的立方根，这是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】∵， ∴， 即是的立方根， 故选：C． 21．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知与相等，则b的值为 ． 【答案】6 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及立方根，根据题意得到，解方程即可． 【详解】解：∵与相等 ∴， ∴． 故答案为：6． 22．（22-23七年级下·安徽池州·期中）已知某正数的两个不相等的平方根分别足和，的立方根是，求的值． 【答案】4 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】根据平方根的定义可得，即可求出的值，根据立方根的定义可求出的值，代入即可． 【详解】解：某正数的两个不相等的平方根分别是和，且一个正数的两个平方根互为相反数， ， 解得：， 又的立方根是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 题型09求一个数的立方根 23．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）64的立方根为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：64的立方根为4． 故选：A． 24．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的应用，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可，熟记立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：这个大铅球的半径是， 由题意得：， ∴，则， 故答案为：． 28．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）求x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同除以9得：， 开平方得：； （2）解：， 方程两边同除以8得：， 开立方得：， 解得：． 题型10 立方根的实际应用 27．（21-22七年级下·安徽六安·期中）如果一个正方体的体积变为原来的64倍，那么它的棱长增加为原来的多少倍?（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】立方根的实际应用 【分析】根据正方体的体积计算公式和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设正方体原来的棱长为，则原来的体积为， 增大后的正方体的体积为，则增大后的正方体的棱长为， 所以正方体的棱长增加为原来的4倍． 故选B． 【点睛】此题主要考查了立方体的体积公式，解题关键是利用立方根的定义，准确地求出新立方体的边长，从而求出边长之间的关系． 28．（22-23七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 29．（22-23七年级下·安徽淮南·阶段练习）求下列x的值 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，立方根的应用． （1）根据平方根的定义进行计算即可求解； （2）根据立方根的定义进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，． （2）解：， ， ． 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】先将根式进行化简，再利用两个数互为相反数的定义来判定求解． 【详解】解：A．，，它们互为相反数，此项符合题意； B．，，它们不互为相反数，此项不符合题意； C．，它与不互为相反数，此项不符合题意； D．，它与不互为相反数，此项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根与算术平方根和互为相反数的定义，将根式进行化简是解答关键． 2．若a，b互为倒数，且c，d互为相反数，则的值是（） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据a、b互为倒数，c、 d互为相反数求出ab＝1，c +d＝0，然后代入求值即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数， ∴ab＝1，c+d＝0， ∴． 故选：B 【点睛】此题考查倒数、相反数的定义，以及求一个数的立方根，算术平方根等知识，正确把握相关定义是解题关键． 3．下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：A、，此选项正确； B、，此选项错误； C、，此选项错误； D、，此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的化简，解题的关键是注意算术平方根是一个非负数，注意任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 4．下列说法中正确的是（    ） A．－16没有立方根 B．1的立方根是 C．的平方根是 D．－3的立方根是 【答案】C 【分析】根据平方根和立方根的概念来判断. 【详解】解：A、－16的立方根是，错误； B、1的立方根是1，错误； C、的平方根是，正确； D、－3的立方根是，错误. 故选C. 【点睛】此题主要考查了平方根以及立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． 5．自然数0没有（   ） A．倒数 B．相反数 C．算术平方根 D．立方根 【答案】A 【分析】本题考查了关于0的相关性质，解决本题的关键是明白分数分母不能为0，故0没有倒数． 根据相关的性质进行分析即可得到解答． 【详解】解：A、0没有倒数，故该选项符合题意； B、0的相反数为0，故该选项不符合题意； C、故该选项不符合题意； D、故该选项不符合题意； 故选A． 6．如果y＝，则2x＋y的平方根是（　　） A．9 B．±9 C．3 D．±3 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， 2x＋y的平方根是． 故选D． 【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键． 7．已知，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再根据算术平方根的定义即可得． 【详解】解：， ， 解得， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的定义是解题关键． 8．计算的结果中（    ） A．9 B．-9 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】此题只需要根据平方根的定义，对9开平方取正根即可． 【详解】解：=3. 故选C． 【点睛】本题考查算术平方根的运算，比较简单． 9．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题关键．根据平方根和算术平方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、9的平方根是，没有平方根，则此项错误，不符合题意； B、没有算术平方根，则此项错误，不符合题意； C、，4的平方根是，则此项错误，不符合题意； D、的平方根与算术平方根都是，则此项正确，符合题意； 故选：D． 10．下列命题中，是真命题的是（    ） A．的算术平方根是3 B．5是25的一个平方根 C．1的平方根是1 D．64的立方根是 【答案】B 【分析】利用平方根、算术平方根及立方根的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A．的算术平方根是，故A错误，不符合题意； B．5是25的一个平方根，故B正确，符合题意； C．1的平方根是±1，故C错误，不符合题意； D．64的立方根是4，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方根、算术平方根及立方根的定义，难度不大． 二、填空题 11．若一个正数的平方根是和，求的值为 【答案】 【分析】根据平方根的性质，可得和互为相反数，进而即可求解． 【详解】∵一个正数的平方根是和， ∴和互为相反数，即：+=0， ∴a=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查平方根的性质，数量掌握“一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数”，是解题的关键． 12．已知,则 . 【答案】17.32 【分析】根据：中，a的小数点每移动2位，m的小数点相应移动1位. 【详解】根据算术平方根性质，若,则17.32 故答案为17.32 【点睛】考核知识点：算术平方根性质.掌握被开方数的小数点移位规律是关键. 13．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是 ． 【答案】25 【分析】利用平方根定义即可求出这个数. 【详解】设这个数是x（x≥0），所以x＝（-5）2＝25. 【点睛】本题解题的关键是掌握平方根的定义. 14．已知，不使用计算器，求的近似值 ． 【答案】0.02515 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动3位，则立方根的小数点一定向相同方向移动1位． 【详解】解：∵, ∴， 故答案为：0.02515． 【点睛】本题考查了立方根的计算，根据立方根的性质进行求解是解题的关键． 三、解答题 15．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求这个立方体铁块的棱长． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数运算中的开立方的应用，要求牢记并掌握：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根(或三次方根) ．设立方体铁块的棱长为，根据题意可得：，即可求解． 【详解】解:设立方体铁块的棱长为， 立方体铁块的体积等于长方体铁块的体积， ， 解得：， 答：立方体铁块的棱长为． 16．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查立方根运算、算术平方根运算及利用立方根解方程等知识，熟记立方根及算术平方根定义及运算是解决问题的关键． （1）现有立方根及算术平方根的性质化简，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先将原方程整理得，再由立方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）， 原方程整理得，则， ． 17．已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大，求第二个正方体纸盒的棱长．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查立方根的应用，读懂题意，根据题意找到等量关系列出方程求解是关键． 设第二个正方体纸盒的棱长是，根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解即可． 【详解】设第二个纸盒的棱长为， ∵已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大， ∴， 答：第二个正方体纸盒的棱长是． 18．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能够在的方格图内，画出面积为的正方形吗？（请在图中画出） 【答案】(1)5； (2)见解析 【分析】本题考查了割补法求面积，正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键． （1）正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的，边长为面积的算术平方根； （2）边长为面积的算术平方根，故边长为，即可根据题意画出所需的正方形； 【详解】（1）解：拼成的正方形的面积为5，边长为； （2）根据题意可得，面积为的正方形的边长为， 故正方形即为所求． 19．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． (1)大正方形纸片的边长为______； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【答案】(1) (2)沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽． （1）由正方形的面积公式即可求解； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，得到，求出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为， 大正方形纸片的边长为， 故答案为：； （2）沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： 长方形纸片的长是宽的倍， 设长方形纸片的长和宽分别是，， ， ， ， ， 长方形纸片的长是， ， 沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 20．小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为的长方形桌面． (1)求正方形木板的边长； (2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 【答案】(1)正方形木板的边长为 (2)长方形纸片的长为，宽为， 【分析】本题考查算术平方根及无理数的估算，（2）中设要求裁出的桌面的长为，宽为，结合已知条件求得x的值是解题的关键． （1）结合已知条件，利用算术平方根的定义即可求得答案； （2）设要求裁出的桌面的长为，宽为，然后结合已知条件求得x的值，进而求得长和宽，再利用无理数的估算进行判断即可． 【详解】（1）解：∵正方形木板的面积为， ∴正方形木板的边长为， 即正方形木板的边长为； （2）解：能， 设要求裁出的桌面的长为，宽为， 则， 解得：， ∵， ∴， 则长方形纸片的长为，宽为， 故小明的爸爸不能做到． 21．某农场有一块长50米，宽30米的长方形场地，现要用场地面积的建一个观鱼池． (1)若要修建一个上述面积的长方形鱼池，且长方形的长和宽之比为，则鱼池的长和宽各为多少？ (2)保持已知面积不变，能否将鱼池修建成一个正方形，若能建成，鱼池的边长为多少？不能，请说明理由？ 【答案】(1)鱼池的长和宽各为米，米 (2)不能建成，理由见解析 【分析】本题考查了算式平方根的实际应用．熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键． （1）分别求出长方形鱼池的长和宽，跟场地的长和宽进行比较后即可得出结论； （2）先根据题意，求出鱼池的面积，求出正方形的边长，与场地的宽进行比较后即可得出结论． 【详解】（1）设鱼池的长为米，宽为米，， 根据题意得，， ， 解得：（负值舍去）， 所以，，， 答：鱼池的长和宽各为米，米． （2）解：不能，理由如下： 设鱼池的边长为米， 根据题意得，， 解得， ， ， ， 答：不能建成． 22．如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 cm； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用、解一元一次方程的应用，（1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）根据剪出的大长方形的面积为，列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，． ∴， ， ∵， ， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【答案】(1)8，6 (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）解：根据（1）中计算，可猜想， 理由如下： ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平方根、立方根 课程标准 学习目标 1 求一个数的算术平方根 2 利用算术平方根的非负性解题 3 估计算术平方根的取值范围 4与算术平方根有关的规律探索题 5 算术平方根的实际应用 6平方根概念理解 7 平方根的应用 8 立方根概念理解 9求一个数的立方根 10 立方根的实际应用 1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，并了解被开方数的非负性； 2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，进行简单的开平方运算。 3.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。 4.会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。 5.了解立方根的性质。 6.区分立方根与平方根的不同。 学习重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根 学习难点：了解被开方数的非负性； 知识点01．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【即学即练】 1．（2024春•颍泉区校级月考）实数0.36的平方根是（　　） A．0.6 B．﹣0.6 C．±0.6 D．±0.06 知识点02 算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【即学即练】 2．（2024春•金安区校级月考）64的算术平方根是（　　） A．±4 B．±8 C．4 D．8 知识点03 非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【即学即练】 3．（2024春•蚌埠月考）已知x，y为实数，且，则（x+y）2023的值为（　　） A．±1 B．0 C．﹣1 D．1 知识点04立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【即学即练】 4．（2024春•大观区校级月考）若，则的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．15 D．25 知识点05 计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 【即学即练】 5．（2023春•金安区校级月考）如图，某同学利用计算器中的，，三个按键设置计算程序，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，程序将按照以下步骤进行，依次按照从第一步到第三步循环计算． 若一开始输入的数据为10，那么第2021步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C．0.1 D．0.01 题型01 求一个数的算术平方根 1．（20-21七年级下·安徽安庆·期末）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A． B．9 C．3 D． 2．（23-24七年级下·全国·期末）已知，则的算术平方根是 ． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求，的值； (2)的算术平方根是16，求的平方根． 题型02 利用算术平方根的非负性解题 4．（21-22七年级下·安徽六安·期末）若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，则 的值是 ． 6．（2024七年级下·安徽·专题练习）若，求的值 ． 题型03 估计算术平方根的取值范围 7．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 8．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 题型04与算术平方根有关的规律探索题 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）若，，则x的值是（    ） A．1060.9 B．10.609 C．106.09 D．1.0609 10．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）已知，则 ． 11．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 题型05 算术平方根的实际应用 12．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）面积为4的正方形，其边长等于（    ） A．4的算术平方根 B．4的平方根 C．4的立方根 D．的算术平方根 13．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知，则 ． 14．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．   (1)大正方形纸片的边长是___________； (2)若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 ，且面积为 题型06平方根概念理解 15．（23-24七年级下·安徽·单元测试）下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）如果a，b分别是的两个平方根，那么 ． 17．（20-21七年级下·安徽亳州·阶段练习）一组实数按下列规律排列： 1；；；2；；；    第1行 ；3；；；；；    第2行 ；4；；；；    ；    第3行 …… 根据这个规律解答以下问题： （1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______； （2）实数排在第几行第几列？并说明理由． 题型07 平方根的应用 18．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）一个非负数的平方根是与，那么这个数是（    ） A．1 B．9 C．或1 D．1或9 19．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）一个正数的平方根是和，那么这个数是 ． 20．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 题型08 立方根概念理解 21．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 21．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知与相等，则b的值为 ． 22．（22-23七年级下·安徽池州·期中）已知某正数的两个不相等的平方根分别足和，的立方根是，求的值． 题型09求一个数的立方根 23．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）64的立方根为（   ） A．4 B． C． D． 24．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 28．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）求x的值： (1) (2) 题型10 立方根的实际应用 27．（21-22七年级下·安徽六安·期中）如果一个正方体的体积变为原来的64倍，那么它的棱长增加为原来的多少倍?（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 28．（22-23七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 29．（22-23七年级下·安徽淮南·阶段练习）求下列x的值 (1)； (2)． 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若a，b互为倒数，且c，d互为相反数，则的值是（） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（    ） A．－16没有立方根 B．1的立方根是 C．的平方根是 D．－3的立方根是 5．自然数0没有（   ） A．倒数 B．相反数 C．算术平方根 D．立方根 6．如果y＝，则2x＋y的平方根是（　　） A．9 B．±9 C．3 D．±3 7．已知，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．计算的结果中（    ） A．9 B．-9 C．3 D．-3 9．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 10．下列命题中，是真命题的是（    ） A．的算术平方根是3 B．5是25的一个平方根 C．1的平方根是1 D．64的立方根是 二、填空题 11．若一个正数的平方根是和，求的值为 12．已知,则 . 13．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是 ． 14．已知，不使用计算器，求的近似值 ． 三、解答题 15．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求这个立方体铁块的棱长． 16．（1）计算：； （2）解方程：． 17．已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大，求第二个正方体纸盒的棱长．（结果精确到） 18．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能够在的方格图内，画出面积为的正方形吗？（请在图中画出） 19．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． (1)大正方形纸片的边长为______； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 20．小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为的长方形桌面． (1)求正方形木板的边长； (2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 21．某农场有一块长50米，宽30米的长方形场地，现要用场地面积的建一个观鱼池． (1)若要修建一个上述面积的长方形鱼池，且长方形的长和宽之比为，则鱼池的长和宽各为多少？ (2)保持已知面积不变，能否将鱼池修建成一个正方形，若能建成，鱼池的边长为多少？不能，请说明理由？ 22．如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 cm； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$