天津市八所重点学校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷

2025年天津市八所重点学校高三毕单业班联考 数学试卷 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 考试结束后，上交答题卡 第I卷（选择题，共45分） 一，选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在年小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上， (1)设全集U={←2，-1,0,12,3}，集合A={1,2B={1,3},则C(4UB)=( A.1,3 B.{0,3 c.{2l} D.{2,0} (2)设a,beR,则“a2>b2”是“√a>√6"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)有一散点图如图所示，在六组数据(x,y,=1,2,6)中去掉B点后重新进行回归分析， 则下列说法正确的是() .C B D.E F A.样本数据的两变量x,y正相关 B.相关系数r的绝对值更接近于0 C.残差平方和变大 D.变量x与变量y相关性变强 (4)已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列说法正确的是（) A.若m⊥n,且nca,则m⊥C B.若al∥a,b∥a,a∩b=A,acB,bcB,则a∥月 C.若ml∥a,m⊥n,则n⊥a D.若a⊥BanB=c,a⊥c,则a⊥月 数学试卷第1页共6页 (5)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为() A.f(x)= e*-ex |x-3 B.f()= "-ex -4|x| c.fa)te 4|x-3 (6)已知2°=log2a, [固=6庄，c=血c+1,则实数a6e的大小关系是() A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b )已知风曲线C多多Q>0b>0的左右焦点分别为，R,M,N为双曲线一条 渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形MRN,为矩形，且∠MN=,则双 3 曲线C的离心率为() A.3 B. C. √21 D.3 (8)函数g似=如@x-君引。>0)的图象与：轴交点的横坐标构度一个公益为受的等差 数列，g)图象向右平移文个单位长度得到函数∫)的图象，则下列结论不正确的是() 60 A.y=xt 为奇函数 B.fx)的图象关于直线x 11对称 1 C.fx)在区间 上单调递增 D.骏y=+号区 上的值域为[1,1] 数学试卷第2页共6页 (9)如图，四边形ABCD为正方形，BD⊥平面ABCD,FB∥ED,ED=三AB=2FB, 记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为，'，'，有如下的结论，其中正确的 个数是（) E ①7=W, ②'=g ③2"=3 ④'=3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第Ⅱ卷（俳选择题，共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题纸上.题 中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分 2-2i (10)已知i是虚数单位，复数z满足z= ,则z的共轭复数2= 1+i (11)在 的展开式中，x的系数为 (用数字填写答案) (12)过原点0的-条直线与圆C:(x+2}+y2=3相切，交曲线y2=2x(p>0)于点M (异于原点O),若OM=6,则p的值为 (13)中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化. 其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将 234 采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、株捻、干燥这三道工序合格的概率分别为与子'行 每道 工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 在 绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 数学试卷第3页共6页 (14)在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,在AD上取一点M,在AB上取一点P,使得 P=2,AM=AD,过M点作MN∥AB交BC于N点，若线段MN上存在一动点E, 3 线段CD上存在一动点F, )若M证=，用向量而，而来标向量E: (ii)若PE.PF=4,则|PE+PFI的最小值为 (15)已知函数fx)=a+3+二-x+a有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列， 则实数a的值为 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤。 (16)(本小题满分14分) 在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知∠A为钝角，sim2B= -bcos B, a=7. (1)求角A的大小： 「2)若cosB=在： 则 ()求b的值； (i)求sim(2B-A)的值. 数学试卷第4页共6页 (17)(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角 三角形，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD,CD⊥AD,其中2BC=AD=4,CD=1,E是 PD的中点，O是AD的中点. (1)求证：PO⊥平面ABCD: (2)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值： (3)求点E到平面PAB的距离. (18)(本小题满分15分) 已阳圆c学卡-o>60的离心率为好·成d59 在椭圆C上.A,B分别 为椭圆的左右顶点， (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l:y=c+m与椭圆C相交于P,Q两点，且4k+3=4m2,求证：△OP2(0 为坐标原点)的面积为定值： ③)若M为平面上的一个动点设直线AM,BM的斜率分别为，店，且满足片·店=-} 直线AM,BM分别交动直线x=t于点D,E,过点D作BM的垂线交x轴于点H,判断 而，正是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由. 数学试卷第5页共6页 (19)(本小题满分15分) 已知等差数列{an}的前n项和为S。,杨}是公比大于0的等比数列，4=3，S=2S2,b=2, 且b2,a6,b成等差数列， (1)求数列{an}和亿}的通项公式： 2an-1 ,n=2k-1 (2)设Cn= 0 (6a,-7b keN'求克c: a,-2a2-可n=2 (3)对于数列{an},也}，在a和ak1之间插入数列色}的前k项k∈N,组成一个新的 数列{dn}a,b,a2,6,b,a3,b,b2,b,a4,求2d, 1 (20)(本小题满分16分) 已知函数f(x)=xnx,e为自然对数的底数. (1)求函数fx)的单调区间，并求出曲线y=fx)在x=e4处的切线方程： （2)已知g的=ae+na,若不等式因5g-1对于任意的xe0,四)恒成立 求实数a的取值范围： (3)若关于x的方程fx)=m有两个实数根：，x(:<x), 求证：为-x<+2m+me+1 3e4 数学试卷第6页共6页2025年天津市八所重点学校高三毕业班联考 数学试卷评分标准 一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1.D2.B3.D4.B5.A6.B7.C8.D 9.B 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含2个空的，答对1个空的 得3分，全部答对的得5分. 9 10.2i 11.80 12. 13. 597 2 60’13 14.PE=-1AB+}AD,25 15.或-1-3 三解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.(本小题满分14分) (1)由题意得2 2sin Bcos=5 bcos,因为B为锐角， > …1分 则sB≠0，则2si如B=56, 7 ……2分 6 2 1 则sinB√5 sinAsinA, …3分 7 解得sinA=5 ……4分 因为A为钝角，则A=受 ……5分 (2) ()）cosB=13 因为B为三角形内角， 则sinB= 13 _35 14 14 ……6分 则代入2snB=56得2×35_5b,解得6=3， 147 ……8分 (i)sn2B=2 i=2×2×号=2 1498 ……10分 (公式1分，结果1分) c0s2B=2c0s2B-1=2×(月2-1=需， …12分 (公式1分，结果1分) sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA ……13分 数学答案第1页共9页 微信公众号：玩转数学黄老师 ×(--×=- =39v3 2 98 ……14分 17.(本小题满分15分) (1)证明：由于△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， O是AD的中点，故OP⊥AD, 1分 由于平面PAD⊥平面ABCD, 平面PADn平面ABCD=AD, 2分 OPC平面PAD, 3分 故OP⊥平面ABCD, (2)连结OB,由于O是AD的中点，且2CB=AD=4,故CB=OD, 由于BC//AD,CD⊥AD, 故四边形OBCD为矩形， 所以OB⊥AD,故有OB、OD、OP两两垂直. 以O为坐标原点，OB、OD、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直 坐标系0xyz. 则0(0,0,0)，A(0,-2,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1) (建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分).5分 设平面PAB的法向量为元=(x,y,Z) AP=(0,2,2),PB=(1,0,-2) m·AP=0 2y+2z=0 m·PB=0” {x-2z=0，令x=2,则y=-1,z=1 故平面PAB的一个法向量为m=(2,-1,1) .7分 设平面PBC的法向量为元=(x,y,z) BC=(0,2,0),PB=(1,0,-2) 元·BC=0 ∫2y=0 元·PB=0，x-2z=0，令x=2,则y=0,z=1 故平面PBC的一个法向量为元=(2,0,1) 9分 设平面PAB与平面PBC的夹角为6 数学答案第2页共9页 微信公众号：玩转数学黄老师 cos6=lcos<元，元>1=mm=5 m同店=网 6 …11分 故平面PAB与平面PBC的夹角余弦值为 6 12分 (设角和作答具备其一即可，均不写扣1分) (3)PE=(0,1,-1), ….13分 由(2)知，平面PAB的一个法向量为元=(2，-1,1) 点E到平面PAB的距离为 d-品9 …15分 (或者转化为点D到平面PAB的距离的一半，酌情给分即可) 18.(本小题满分15分) 解：(1) we=c=I a 2 .a=2c,a2=4c2 a2=b2+c2 1分 ∴.b2=3c2 椭圆方程为 3 3 c2=1 2分 所以椭圆方程为： + =1 3分 43 (2) y=红+m, 立直线与椭圆C的方程+山， 得(3+4k2)x2+8kx+4m2-12=0, 4分 数学答案第3页共9页 微信公众号：玩转数学黄老师 △=64k2m2-4(3+4k2)）(4m2-12）=192k2-48m2+144=48(4k2-m2+3)>0. 设P(),Q(x22) 8km 4m2-12 x+x2= 3+4k2,3= 3+4k2 5分 又Pg=V1+k2x-x =+Vx+}-4 6分 8km 2 =+k 4m2-12 4× 3+4k2 3+4k2 =V+y48(42-m2+3) 7分 3+4k2 因为点O到直线PQ的距离d= +R,且4k2+3=4m2,…8分 m 所以S.o=2×PO1xd=x+y484-m+) 3+4k2 Vi+k2 6m2 6m26m23 3+4k=3+4k=4m=2 综上，△OPQ的面积为定值，，9分 (3)由题意知直线AM,BM的斜率分别为k,k,且满足太~k,= 4 设直线AM的方程为y=k(x+2),令x=1,则可得y=k(t+2),即 D,kt+2), 10分 直线BM的方程为y=k(x-2),同理求得E,k,t-2), 11分 又直线DH的方程为y-k+2)=-(x-), 令=0，得=1++2)=-多，即H生0 ，12分 放而证-(4+2到"-2列-+k-41s分 数学答案第4页共9页 微信公众号：玩转数学黄老师 -3+63-4-31-6+12, 14分 16 16 当1=6时，3-6+12取到最大值12， 16 即HD·HE存在最大值，最大值为12 15分 19.(本小题满分15分) ()设等差数列{a,}的公差为d,等比数列{b}的公比为q,q>0, 由a3=3,S3=2S2,得a1=d=1,故an=n. ……1分 又b1=2,b2+b3=2a6=12, 2q+2q2=12,q=2,故bn=2m. ….2分 2an-1 ,n=2k-1 (2n-1 2n ,n=2k-1 (2)由cn= bn (6an-7)bn ,则cn= 2an-102an+2-),n=2k 2n-10(2n+3),n=2k….3分 (6n-7)2n 2n 29=c1+++2-1+c20 =(c1+C3+…+C2n-1)+(c2+C4+…+c2n)=Pn+Qn …4分 则B=员+员+是+…+。 22n-1 =京++号++品， 1 5 9 .5分 两式相减得，郑。=京+4哈+京+…十 1 4n-3 4 22n-）- 22n+11 1 =+4×--名-岛 22n+1 6322n+1 ….6分 则R=号- ….7分 由、(6n-7)2n 2n+2 2n (2n-1)(2n+3) 2n+32n-1 ……8分 则Q=号-+-芳+-若+…+ 22n 7 4n+3 4n-1 4 三一 22n+2 n+3 ….9分 数学答案第5页共9页 微信公众号：玩转数学黄老师 则2沿9=B+Q=号-品+ 4n+3 ……10分 (3)根据题意可得， 数列{dn}:a1,b1,a2,b1,b2,a3,b1b2,b3,a4,…yan-1b1,b2,b3,,bn-1an', 等差数列(an的前n项和为S。=n+ 2 等比数列bn}的前n项和为Tn=2n+1-2, ……12分 1d=a1+b1+a2+(b1+b2)+a3+(b1+b2+b3)+a4+…+an-1+(b1+b2+b3+ …+bn-i)+an' =Sn+T1+T2+…+Tn-1 =++(22+23+…+2)-2(m-1) 2 ……14分 =2-3n-4+2n+1 2 ….15分 20.(本小题满分16分) (1).'f(x)xlnx,f'(x)=Inx +1 f(x)的定义域为(0，+o) 令f'(x)=0,得x= 1分 x∈(0，)时，f'()<0,fx)单调递减， x∈(，+∞)时，f'(y)>0,fx)单调递增， 5fx)的单调减区间为(0，)，单调增区间为（很+o∞）2分 又f'(e-4)=-3,f(e-4=-4e-4, .3分 曲线y=f(x)在x=e4处的切线方程为，即y=-3x-e4.4分 (2)法一： 令F(x)=aex-1-lnx+lna,问题转化为F(x)≥1恒成立 F'()=aex-1-且a>0. .5分 设M()=F'(x),则M'()=ae*-1+是>0， .M(x)在(0，+o)上单调递增，即F'(x)在(0，+∞)上单调递增， 当a=1时，F'(1)=0,.F(x)mim=F(1)=1,:F(x)≥1成立.6分 数学答案第6页共9页 微信公众号：玩转数学黄老师 当a>1时，<1，e1<1.F'白F'(④=a(e1-10a-)<0, ∴.存在唯一xo>0,使得F'(xo)=aexo-1-上=0， .7分 且当xe(0,xo)时F'(x)<0,当x∈(xo,+oo)时F'()>0,ae*g-1=三，÷lna+x0-1= -Inxo' 8分 因此F(x)min=F(xo)=aexo-1-lnxo+lna =3+lna+为-1+ina之2na-1+2 1 ·xo=2lna+1>l, 9分 :F(x)>1,f(x)≥1恒成立： 当0<a<1时，F(1)=a+lna<a<1,∴.F(1)<1,F(x)≥1不是恒成立..10分 综上所述，实数a的取值范围是[1，+o). 法二： ≤g6)-1得ae*-1-lnx+lna之1，即ena+-1+lna+x-1≥lnx+x,而 lnx+x=enx+lnx,所以elna+x-1+lna+x-1≥elnx+ Inx. 5分 令h(m)=em+m,则h'(m)=em+1>0,所以h(m)在R上单调递增. .6分 由elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx,可知h(na+x-1)≥h(lnx), .7分 所以na+x-1≥lnx,所以lna≥(nx-x+1)max: ……8分 令F(x)=Inx-x+1,则F'()=-1= 所以当x∈(0,1)时，F'(x)>0,F(x)单调递增： 当x∈(1，+∞)时，F'(x)<0,F(x)单调递减. 所以[F(x)]max=F(1)=0, .9分 则1na≥0，即a≥1. 所以a的取值范围为a≥1. .10分 法三： F(x)=aex-1-lnx+lna,问题转化为F(x)≥1恒成立 因为定义域为(0，+∞)，所以F(1)≥1，即a+1na≥1. 5分 数学答案第7页共9页 微信公众号：玩转数学黄老师 令S(a)=a+1na,则S(a)在区间(0，+oo)内单调递增. .6分 因为S(1)=1,所以a≥1时，有S(a)≥S(1),即a+na≥1. .7分 下面证明当a≥1时，F(x)≥1恒成立. 令T(a)=aex-1-lnx+lna,只需证当a≥1时，T(a)≥1恒成立. 因为T'(a)=e*-1+>0,所以T(a)在区间[1，+o)内单调递增，则[T(amin=T(1)=e*-1- Inx. 因此要证明a≥1时，T(a)≥1恒成立，只需证明[T(a)]min=e-1-lnx之1即可..8 分 由ex≥x+1,lnx≤x-1,得ex-1≥x,-lnx≥1-x. 上面两个不等式两边相加可得ex-1-lnx≥1， 9分 故a≥1时，F(x)≥1恒成立. 当0<a<1时，因为F(1)=a+lna<1,显然不满足f(x)≥1恒成立.（此步骤不写不扣分） 所以a的取值范围为a≥1. ....10分 (3)由(1)知，若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2(x1<x2) :x→0时，f0)→0，f)=0,极小值f(目)=-<m<0 则0<x<日<x2<1, ..11分 ih(x)=f(x)-(-3x-e-)=xlnx +3x+e-4 ,h'(x)=Inx +4, 令h'(x)=0,得x=e-4,当0<x<e-4时，h'(x)<0:当x>e-4时，h'(x)>0: ∴.g(x)在(0，e-4)上单调递减，在(e-4,+o)上单调递增， 故h(x)min=h(e)=0,则h(x)≥0恒成立，即f(x)≥(-3x-e4)恒成立. f(x1)≥-3x1-e-4,.12分 又f0x1)=m,.x1≥-mct1 3e4 13分 又令p6y=lnx-专（x-之 可证得x∈(0,1)时，p(x)>0 .14分 数学答案第8页共9页 微信公众号：玩转数学黄老师 即Inx>(x-动·xnx>x2-1) 可知m=f(x2)>(x3-1),解得x2<1+2m, 15分 综上x2-X1<V1+2m+me+ 3e4 .16分 数学答案第9页共9页 微信公众号：玩转数学黄老师