四川省绵阳市2024-2025学年高三上学期第二次诊断性考试（1月二模）数学试题

秘密★启用前【考试时间：2025年1月15日15：00一17：00】 绵阳市高中2022级第二次诊断性考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足xi(2-),则|z= A.2 B.3 C.√2 D.5 2.已知集合A={,y=x,B={c,y2+0y1)21},则集合AnB中元素的个数为 A.2 B.1 C.0 D.不确定 3.直三棱柱ABC-A1B1C中，AB-ACAA1,AB⊥AC,则AB1与BC所成的角的大小为 A.30° B.45 C.60 D.90 4.若直线h:x+2y-3-=0与直线2：-2y叶1=0(k∈R)平行，则这两条直线间的距离为 A.5 B.25 c D.45 5 5 5.已知等比数列{an}的前n项和为S,若8S。=7S3,则公比g A.q-2 B.g时 C.q-2 D.g月 6.已知过点P2,-1)的直线1与抛物线y2=2x交于点A,B两点，若A,B的纵坐标分 别为n,2,则y+1)y+) A.-4 B.-3 C.0 D.2 数学试题卷第1页（共4页） 7.已知正四棱台ABCD-A1B1CD1中，AB=2A1B1=4,可在该正四棱台中放入的最大球的 体积为2 ,则点A1到平面BCCB1的距离为 A. 2w6 B.6 c. 2 D.5 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，若函数f(x)-g(x) 的值域为-4,1]，则函数f(2x)+g(2x)的最小值为 A.-16 B.-4 C.-1 D.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.对于函数f(x)=sinx+V5cosx,g()=V5sinx-cosx,则 A.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 B,fx)与g(x)有相同的最小正周期 C.将x)图象向右平移正个单位，可得到g(x)图象 D.f(x)图象与g(x)图象在(0，π)上只有一个交点 10.设函数f=x-ahx-ba,bER,则下列说法正确的是 A.f(x)一定存在单调递减区间 B.存在a,b,使得f(x)没有最值 C.若f(x)既有极大值，又有极小值，则a>2B D.令a=2,b=-3,当0<x<3时，f(6-x)>f(x) 已知圆C:+0-2P=1,双曲线C:号片=1a>0,b>0)的左，右焦点分 别为F,F2,P为双曲线C2右支上的一点，直线PF的斜率恰好为该双曲线的离心 率e,且△PFF2为直角三角形，则 A,e的值唯一 B.1PR卡 2a C.1<e<2 D.C2的渐近线与C共有4个公共点 数学试题卷第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a=(2,1),b-(3,-3),则ab= 13.已知a+B-受ma+mB=3,则eosa-月 14.在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱 好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是 D 正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2 的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶 点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A,B,C, D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点， 且PD/平面ABC,则P点的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+b=2 ccos B. （D若C=受求： (2)若a=1,b=3,求c. 16.(15分) 已知函数f(x)=e-ar+1. (1)若a=0时，求曲线f(x)在(1,1)处的切线方程： (2)若1<a<e时，f(x)在区间[0,1]上的最小值为3-2ln2,求实数a的值. 17.(15分) 己知数列{a,}是公差大于0的等差数列，数列{1}的前n项和为，” aa 3n+1 (1)求数列{an}的通项公式： [k,n=ax (2)设b.-,a4<n<a keN'. ()试写出b,b2,b的值： (i)求数列{b,}的前20项和S20· 数学试题卷第3页（共4页) 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥AC,点E为 PD的中点，且AE=AD=2,CD=2N2. (1)求证：AC⊥BE: (2)若二面角E-AC-D的平面角的余弦值为 ,求三棱锥P-ACD的体积： 3 B (3)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的 最大值， 19.(17分) 如图，已知面积为8√5的矩形ABCD,与坐标轴的交点E,F,G,H是椭圆T: x2,y2 +京=1(a>b>0)的四个顶点，且该椭圆的离心率头 (1)求椭圆T的标准方程： (2)O为坐标原点，过下顶点F的直线与x轴相交于点P(不同于O),与直线 AD相交于点R,与椭圆T相交于点M,直线HM与直线CD相交于点Q, (i)证明： PI_DOI IOGI IDGI (i)设线段OR的中点为S,I,J为椭圆T上的两点，且直线S,S与椭圆T都 仅有一个公共点，OT⊥山，垂足为T.探究：是否存在定点K,使得T为定值？若存 在，求点K的坐标以及此定值；若不存在，请说明理由， H D B A 数学试题卷第4页（共4页）