1.2.3 直线与平面的夹角-【新课程寒假作业】2024-2025学年高二数学（通用版）

寒 假 作 业 新课程 1.2.2 空间中的平面与空间向量 1. B 2. B 3. D 4. C 5. C 6. ABC 7. 1 0 8. 11 姨 11 ， 11 姨 11 ， 3 11 姨 11 1 # 或 - 11 姨 11 ， - 11 姨 11 ， - 3 11 姨 11 1 1 9. （ 2 ， -4 ， -1 ） 或 （ -2 ， 4 ， 1 ） 10. 1 2 11. 略 1.2.3 直线与平面的夹角 第 1 课时 直线与平面夹角的定义 1. A 2. D 3. D 4. B 5. A 6. ABD 7. π 3 8. 7 姨 4 9. 10 姨 4 10. 10 姨 5 π 4 11. （ 1 ） 略 （ 2 ） 10 姨 5 第 2 课时 直线与平面的夹角的应用 1. B 2. B 3. C 4. D 5. D 6. CD 7. 7 姨 3 8. 15 姨 2 3 9. 5 3 10. ①③ 11. （ 1 ） 略 （ 2 ） ３ ５ 1.2.4 二 面 角 第 1 课时 二面角的定义 1. C 2. B 3. C 4. B 5. B 6. BCD 7. 60° 8. 2 11 姨 9. 1 4 10. 6 姨 3 11. （ 1 ） 略 （ 2 ） 42 姨 7 第 2 课时 二面角的应用 1. A 2. A 3. B 4. C 5. B 6. ABD 7. 60° 8. π 3 9. 6 姨 6 ， 2 姨 2 2 & 10. - 9 16 ， 9 16 1 1 11. （ 1 ） 略 （ 2 ） 2 5 姨 5 1.2.5 空间中的距离 1. B 2. D 3. B 4. C 5. B 6. BC 7. 3 8. 3 姨 2 9. 3 17 姨 17 17 姨 17 10. 4 3 姨 3 11. 存在 ， AQ QD ＝ 1 3 第一章综合测试 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7. A 8. B 9. 2 10. 45° 11. 平行 12. 1 13. （ 1 ） 3 姨 3 （ 2 ） ２ 3 姨 3 14. （ 1 ） 略 （ 2 ） 存在 ， 点 Q 是 EF 的中点 . 第二章 平面解析几何 2.1 坐 标 法 1. D 2. D 3. C 4. B 80 高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 1. 平面的一条斜线和这个平面所成角 θ 的范围是 （ ） A. 0°<θ<90° B. 0°≤θ<90° C. 0°<θ≤90° D. 0°<θ<180° 2. 若平面 α 的法向量为 n ， 直线 l 的方向向量为 a ， 直线 l 与平面 α 的夹角为 θ ， 则下列 关系式成立的是 （ ） A. cosθ= n · a ｜n｜｜a｜ B. cosθ= ｜n · a｜ ｜n｜｜a｜ C. sinθ= n · a ｜n｜｜a｜ D. sinθ= ｜n · a｜ ｜n｜｜a｜ 3. 若平面 α 的一个法向量为 n= （ 4 ， 1 ， 1 ）， 直线 l 的一个方向向量 a= （ -2 ， -3 ， 3 ）， 则 l 与 α 所成角的余弦值为 （ ） A. - １１ 姨 １１ B. １１ 姨 １１ C. - １１0 姨 １１ D. 9１３ 姨 ３３ 4. 如图 ， 在棱长为 1 的正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E 为 CC 1 的中点 ， 则 直线 A 1 B 与平面 BDE 所成的角为 （ ） A. 仔 ６ B. 仔 3 C. 仔 2 D. 5仔 6 5. 如图 ， 在三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， AA １ ⊥ 底面 ABC ， AA 1 =3 ， AB=AC= BC=2 ， 则 AA 1 与平面 AB 1 C 1 所成角的大小为 （ ） A. 30° B. ４５° C. ６0° D. 90° 6. （ 多选题 ） 下列命题中正确的是 （ ） A. A ， B ， M ， N 是空间中的四点 ， 若 B B% A ， B B% M ， B B% N 不能构成空间基底 ， 则 A ， B ， M ， N 共面 B. 已知 {a ， b ， c} 为空间的一个基底 ， 若 m=a+c ， 则 {a ， b ， m} 也是空间的一个基底 C. 若直线 l 的方向向量为 e= （ 1 ， 0 ， 3 ）， 平面 α 的法向量为 n= -2 ， 0 ， 2 3 3 ' ， 则直线 l∥α D. 若直线 l 的方向向量为 e= （ 1 ， 0 ， 3 ）， 平面 α 的法向量为 n= （ -2 ， 0 ， 2 ）， 则直线 l 与 能力 · 提升 1.2.3 直线与平面的夹角 夯实 · 基础 第 1 课时 直线与平面夹角的定义 A B C D A 1 B 1 D 1 C 1 E 第 4 题图 A C B C 1 A 1 B 1 第 5 题图 15 第 周 年 月 日 寒 假 作 业 新课程 平面 琢 所成角的正弦值为 5 姨 5 7. 已知平面 琢 的一个法向量 n= 0 ， - 1 2 ， - 2 姨 姨 # ， A∈琢 ， P埸琢 ， 且 P P' A = - 3 姨 2 ， 1 2 ， 2 姨 姨 姨 ， 则直线 PA 与平面 琢 所成的角为 . 8. 在空间直角坐标系 O鄄xyz 中 ， 已知 A （ 1 ， -2 ， 0 ）， B （ 2 ， 1 ， 6 姨 ）， 则向量 A P' B 与平面 xOz 的法向量的夹角的正弦值为 . 9. 正三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的所有棱长都相等 ， 则 AC 1 与平面 BB 1 C 1 C 的 夹角的余弦值为 . 10. 如图 ， 在三棱锥 S鄄ABC 中 ， SA=SB=SC ， 且 ∠ASB=∠BSC=∠CSA= 仔 2 ， M ， N 分别是 AB 和 SC 的中点 ， 则异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦 值为 ， 直线 SM 与平面 SAC 所成角的大小为 . 11. 如图 ， 在直三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， 底面 ABC 为等腰直角三角形 ， AB⊥AC ， AB=AC= 2 ， AA 1 =4 ， M 是侧棱 CC 1 上一点 ， 设 MC=h ， 用空间向量知识解答下列问题 ： （ 1 ） 若 h=1 ， 证明 ： BM⊥A 1 C ； （ 2 ） 若 h=2 ， 求直线 BA 1 与平面 ABM 所成角的正弦值 . S N B C M A 第 10 题图 拓展 · 探究 A B C M C 1 B 1 A 1 第 11 题图 16 高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 1. 已知三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的侧棱与底面垂直 ， 体积为 9 4 ， 底面是边长为 3 姨 的正三角 形 . 若 P 为底面 A 1 B 1 C 1 的中心 ， 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 （ ） A. 5仔 12 B. 仔 3 C. 仔 4 D. 仔 6 2. 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， P 是侧面 ADD 1 A 1 上的动点 ， PB 1 与 A 1 C 垂直 ， 则直线 PB 1 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是 （ ） A. 1 3 B. ３ 姨 3 C. 1 2 D. 2 姨 ２ 3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 已知点 P 是正方形 AA 1 D 1 D 内部 （ 不含边界 ） 的一个动点 ， 若直线 AP 与平面 AA 1 B 1 B 所成角的正弦值和异面直线 AP 与 DC 1 所成角的余弦 值相等 ， 则线段 DP 长度的最小值是 （ ） A. ６ 姨 ２ B. ２ 2 姨 ３ C. ６ 姨 ３ D. 4 3 4. 已知三棱锥 S鄄ABC 中 ， 底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形 ， SA 垂直于底面 ABC ， SA=3 ， 那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 （ ） A. ３ 姨 4 B. ５ 姨 4 C. 7 姨 4 D. ３ 4 5. 在三棱锥 P鄄ABC 中 ， AB⊥BC ， AB=BC= 1 2 PA ， 点 O ， D 分别是 AC ， PC 的中点 ， OP⊥ 底面 ABC ， 则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 （ ） A. 2１ 姨 ６ B. 8 ３ 姨 ３ C. 2１0 姨 ６0 D. 2１0 姨 ３0 6. （ 多选题 ） 正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E 为棱 CC 1 的中点 ， 则下列说法正确的有 （ ） A. DC∥ 平面 AD 1 E B. B 1 C⊥ 平面 AD 1 E C. 直线 AE 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1 所成角的正切值为 2 姨 4 D. 平面 AD 1 E 截正方体所得截面为等腰梯形 第 2 课时 直线与平面的夹角的应用 夯实 · 基础 能力 · 提升 17 第 周 年 月 日 寒 假 作 业 新课程 7. 如图 ， 圆锥的高 PO= 2 姨 ， 底面☉ O 的直径 AB=2 ， C 是圆上一点 ， 且 ∠CAB=30° ， D 为 AC 的中点 ， 则直线 OC 和平面 PAC 所成角的余弦值 为 . 8. 如图 ， AB奂琢 ， AC⊥琢 ， AB⊥BD ， 且 AB=1 ， BD=3 ， AC=5 ， CD= 15 姨 ， 则 ｜C C' A +A C' B +B C' D ｜= ， 线段 BD 与平面 琢 所成角的正弦值为 . 9. 如图 ， 在四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 底面 ABCD 为正方形 ， 侧棱 AA 1 ⊥ 底面 ABCD ， AB=3 ， AA 1 =4 ， P 是侧面 BCC 1 B 1 内的动点 ， 且 AP⊥BD 1 ， 记 AP 与平面 BCC 1 B 1 所成的角为 兹 ， 则 tan兹 的最大值为 . 10. 在如图所示的几何体 ABCDEF 中 ， 四边形 EDCF 是正方形 ， ABCD 是等腰梯形 ， AD=DE ， ∠ADE=90° ， AB∥CD ， ∠ADC=120° . 给出下列三个命题 ， 其中为真命题的是 . ① 平面 ABCD⊥ 平面 EDCF ； ② 异面直线 AF 与 BD 所成角的余弦值为 3 4 ； ③ 直线 AF 与 平面 BDF 所成角的正弦值为 5 姨 5 . 11. 如图 ， 已知三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 ， 平面 AA 1 C 1 C⊥ 平面 ABC ， ∠ABC=90° ， ∠BAC=30° ， A 1 A=A 1 C=AC ， E ， F 分别是 AC ， A 1 B 1 的中点 . （ 1 ） 证明 ： EF⊥BC ； （ 2 ） 求直线 EF 与平面 A 1 BC 所成角的余弦值 . C D A B 琢 第 8 题图 拓展 · 探究 E A C B A 1 C 1 B 1 F 第 11 题图 第 9 题图 第 10 题图 A B O D C P 第 7 题图 A 1 B 1 D 1 C 1 A B C D P D C E F A B 18