1.1.1 空间向量及其运算-【新课程寒假作业】2024-2025学年高二数学（通用版）

高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 第 1 课时 空间向量的线性运算 1. D 2. D 3. A 4. D 5. B 6. ABCD 7. BD 1 1" 8. 0 9. 2 3 姨 10. ①②③④ 11. （ 1 ） E 1" F = 1 2 AA 1" ′+A 1" D + 2 3 A 1" B . （ 2 ） α= 1 2 ， β= 1 4 ， γ= 3 4 . 第 2 课时 空间向量的数量积 1. D 2. B 3. D 4. C 5. B 6. BCD 7. C 1" D 8. 3 4 π 9. 3 姨 10. 1 4 a 2 11. （ 1 ） 1 4 （ 2 ） 2 姨 2 1.1.2 空间向量基本定理 1. D 2. C 3. A 4. D 5. D 6. AC 7. - 1 2 a+ 1 2 b-c 8. 1 -1 9. x=y=z=0 10. ４ ３ 11. 略 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第 1 课时 空间向量运算的坐标表示 1. A 2. C 3. C 4. B 5. C 6. AC 7. 2π 3 8. 6+2 3 姨 9. - 2 3 4 3 ， 4 3 ， 8 3 3 % 10. 3 13 ， 4 13 ， 12 13 3 % 或 - 3 13 ， - 4 13 ， - 12 13 3 % 11. （ 1 ） k=- １ 3 （ 2 ） k= 106 3 第 2 课时 空间直角坐标系 1. D 2. B 3. D 4. C 5. A 6. ACD 7. 3 2 8. 21 姨 6 a 9. 60° 10. 4 3 ， 4 3 ， 8 3 3 % 11. 不存在 . 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点 、 直线与空间向量 1. A 2. B 3. B 4. A 5. B 6. AD 7. 1 3 ， 2 3 ， 2 3 3 % 或 - 1 3 ， - 2 3 ， - 2 3 3 % 8. -3 或 1 9. 垂直 10. 1 ∶ 1 11. 5 11 姨 ２２ 参考答案 79 高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 1. 已知空间中有任意五个点 A ， B ， C ， D ， E ， 则 D D" A +A D" E +C D" D -C D" B +E D" A = （ ） A. D D" E B. A D" C C. A D" B D. B D" A 2. 已知向量 A D" B ， A D" C ， B D" C 满足 |A D" B |=|A D" C |+|B D" C | ， 则 （ ） A. A D" B =A D" C +B D" C B. A D" B =-A D" C -B D" C C. A D" C 与 B D" C 同向 D. A D" C 与 C D" B 同向 3. 如图 ， 在平行六面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E 为 A 1 D 1 的中点 ， 设 A D" B =a ， A D" D =b ， AA 1 D" =c ， 则 C D" E = （ ） A. -a- 1 2 b+c B. a- 1 2 b+c C. a- 1 2 b-c D. a+ 1 2 b-c 4. 如图 ， 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 下列各式运算的结果为向量 AC 1 D" 的个数为 （ ） ① （ A D" B +B D" C ）+CC 1 D" ； ② （AA 1 D" +A 1 D 1 D" ） +D 1 C 1 D" ； ③ （A D" B +BB 1 D" ） +B 1 C 1 D" ； ④ （AA 1 D" +A 1 B 1 D" ） +B 1 C 1 D" . A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5. 在四面体 OABC 中 ， 点 M ， N 分别为 OA ， BC 的中点 ， 若 O D" G = 1 3 O D" A +xO D" B +yO D" C ， 且 G ， M ， N 三点共线 ， 则 x+y= （ ） A. - 1 3 B. 1 3 C. 2 3 D. - 2 3 6. （ 多选题 ） 化简下列各式 ， 结果为零向量的是 （ ） A. A D" B +B D" C +C D" A B. O D" A -O D" D +A D" D 夯实 · 基础 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其运算 1.1 空间向量及其运算 第 1 课时 空间向量的线性运算 A 1 A B C D E B 1 C 1 D 1 第 3 题图 第 4 题图 能力 · 提升 A B C C 1 D 1 B 1 A 1 D 1 第 周 年 月 日 寒 假 作 业 新课程 C. N !" Q +Q !" P +M !" N -M !" P D. M !" N +B !" M +N !" B 7. 在长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 化简 D !" A -D !" B +B 1 !" C -B 1 !" B +A 1 B 1 !" -A 1 !" B = . 8. 在三棱锥 A鄄BCD 中 ， 若 △BCD 是正三角形 ， E 为其中心 ， 则 A !" B + 1 2 B !" C - ３ 2 D !" E - A !" D = . 9. 四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2 ， 若点 E ， F 分别为棱 AB ， AD 的中点 ， 则 |A !" B +B !" C | ＝ ， |B !" C -E !" F |＝ . 10. 已知 λ ， μ∈R ， 给出以下命题 ： ①λ<0 ， a≠0 时 ， λa 与 a 的方向一定相反 ； ②λ≠0 ， a≠0 时 ， λa 与 a 是共线向量 ； ③λμ>0 ， a≠0 时 ， λa 与 μa 的方向一定相同 ； ④λμ<0 ， a≠0 时 ， λa 与 μa 的方向一定相反 . 其中正确的是 . （ 填序号 ） 11. 已知 ABCD鄄A′B′C′D′ 是平行六面体 ， E 是 AA′ 的中点 ， F 在 D′C′ 上且 D′F=2FC′. （ 1 ） 用 A !" B ， A !" D ， AA !" ′ 表示 E !" F ； （ 2 ） 设 M 是 BD 的中点 ， N 在侧面 BCC′B′ 的对角线 BC′ 上 ， 且 BN=3NC′ ， 若 M !" N =αA !" B + βA !" D +γAA !" ′， 试求 α ， β ， γ 的值 . 拓展 · 探究 2 高二数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 1. 已知 a+b+c＝0 ， |a|＝2 ， |b|＝3 ， |c|＝4 ， 则 a 与 b 的夹角 〈 a ， b 〉 ＝ （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 以上都不对 2. 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1 ， 点 F ， G 分别是 AD ， DC 的中 点 ， 则 F F" G ·A F" B = （ ） A. 3 姨 4 B. 1 4 C. 1 2 D. 3 姨 2 3. 在空间四边形 OABC 中 ， OB＝OC ， ∠AOB＝∠AOC＝ 仔 3 ， 则 cos 〈 O F" A ， B F" C 〉 的值为 （ ） A. 1 2 B. 2 姨 2 C. - 1 2 D. 0 4. 已知 a ， b 是异面直线 ， A ， B∈a ， C ， D∈b ， AC⊥b ， BD⊥b ， 且 AB=2 ， CD=1 ， 则 〈 A F" B ， C F" D 〉= （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 设 A ， B ， C ， D 是空间中不共面的四点 ， 且满足 A F" B ·A F" C =0 ， A F" C·A F" D =0 ， A F" B·A F" D =0 ， 则 △BCD 是 （ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 6. （ 多选题 ） 已知四边形 ABCD 为矩形 （ 长 、 宽不相等 ）， PA⊥ 平面 ABCD ， 连接 AC ， BD ， PB ， PC ， PD ， 则下列各组向量中 ， 数量积为 0 的是 （ ） A. P F" C 与 B F" D B. D F" A 与 P F" B C. P F" D 与 A F" B D. P F" A 与 C F" D 7. 在空间四边形 ABCD 中 ， ∠ACD=∠BDC=90° ， 且 AB=2 ， CD=1 ， 则 A F" B 在 C F" D 上的投影 向量为 . 8. 已知 |a|＝2 2 姨 ， |b|＝ 2 姨 2 ， a · b＝- 2 姨 ， 则 a · b 所夹的角为 . 9. 已知向量 a ， b ， c 两两的夹角都是 60° ， 且 |a|＝|b|＝|c|＝1 ， 则 |a-2b+c|＝ . 10. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 a ， 点 E ， F 分别是 BC ， AD 的中点 ， 则 A F" E ·A F" F 的值 为 . 能力 · 提升 第 2 课时 空间向量的数量积 夯实 · 基础 3 第 周 年 月 日 寒 假 作 业 新课程 11. 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线都等于 1 ， 点 E ， F ， G 分别是 AB ， AD ， CD 的中点 ， 设 A A" B =a ， A A" C =b ， A A" D =c. 计算 ： （ 1 ） E A" F·B A" A ； （ 2 ） |E A" G |. 拓展 · 探究 4