第十六章 二次根式（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第十六章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式 【解惑】下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，其中的二次根式是 （填序号）． 3．下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式有 类型二、二次根式有意义 【解惑】若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 3．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 类型三、同类二次根式 【解惑】若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 类型四、最简二次根式 【解惑】下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中是最简二次根式的有 个． 3．下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 类型五、二次根式比较大小 【解惑】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 2．比较大小： ．（填“”、“”、“”）． 3．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 类型六、二次根式数轴化简 【解惑】实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【融会贯通】 1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D．2b 2．已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 3．实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 类型七、二次根式中的加减运算 【解惑】计算 (1) (2) 【融会贯通】 1．计算：． 2．计算． 3．计算： (1)． (2)． 类型八、二次根式中的乘除运算 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．计算： 2．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 3．计算： 类型九、二次根式中的四则运算 【解惑】计算 (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) 3．计算：． 类型十、二次根式的应用 【解惑】小明有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍．若小明用这根铁丝首尾相接围成正方形，则围成的正方形与原长方形相比，谁的面积大？ 【融会贯通】 1．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 2．如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：） 3．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【一览众山小】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 5．计算的结果等于 ． 6．若实数，，满足关系式，则的值为 7．计算： (1) (2) 8．已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)若，请计算的算术平方根． 9．阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 10．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式 【解惑】下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数x有可能为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数3为正数，所以是二次根式，故此选项不符合题意； D、根指数为3，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 2．下列各式：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，其中的二次根式是 （填序号）． 【答案】①③④⑤⑦ 【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】由二次根式的定义可知：，，，，是二次根式， 故答案为：①③④⑤⑦． 【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 3．下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式有 【答案】①③ 【分析】根据二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式判断即可． 【详解】二次根式有：①；③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式． 类型二、二次根式有意义 【解惑】若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B 【融会贯通】 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：根据题意得． 故选：A． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 3．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得． 故答案为：． 类型三、同类二次根式 【解惑】若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故本选项符合题意； C、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 【融会贯通】 1．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 2．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，根据同类二次根式的定义（　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．）进行解题即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：7． 类型四、最简二次根式 【解惑】下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此解答即可． 【详解】解：A、中被开方是小数，所以不是最简二次根式，故A不符合题意． B、，是最简二次根式，故B符合题意． C、，不是最简二次根式，故C不符合题意． D、，被开方数含分母，故D不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2．下列各式中是最简二次根式的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 3．下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 类型五、二次根式比较大小 【解惑】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2．比较大小： ．（填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，掌握二次根式的性质是解题的关键．先把化成，再进行比较即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【答案】(1)>； (2)，见解析． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 类型六、二次根式数轴化简 【解惑】实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 【融会贯通】 1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D．2b 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，根据实数a和b在数轴上的位置得出，，，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故选A． 2．已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图示可得：且，则， 所以 ． 故答案为． 3．实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，平方根与立方根，二次根式的性质与化简等知识，由图可知，，得到，，然后化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴ ． 类型七、二次根式中的加减运算 【解惑】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法和乘方运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘除法，最后算加减法运算即可，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2．计算． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；先化简，然后再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． （1）先将每个二次根式化简，再作加减法； （2）先化简二次根式和利用完全平方公式将式子展开，再算加减法． 【详解】（1）解： （2） 类型八、二次根式中的乘除运算 【解惑】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解： 原式 2．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，再约分即可； （2）先化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简，然后合并同类二次根式即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 （3） 解：原式 （4） 解：原式 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 类型九、二次根式中的四则运算 【解惑】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）运用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行零次幂、负指数幂、去绝对值运算，同时将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解； 掌握二次根式混合运算的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式，后计算加减即可； （2）先利用乘法公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简，再合并同类项即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】先利用乘法分配律和平方差公式进行计算，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 类型十、二次根式的应用 【解惑】小明有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍．若小明用这根铁丝首尾相接围成正方形，则围成的正方形与原长方形相比，谁的面积大？ 【答案】围成的正方形面积大 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，先求出长方形面积，再求出正方形边长，进而求出正方形面积，比较即可得到答案，掌握二次根式的运算法则是关键． 【详解】解：由题意可知，长方形的长为， 长方形的周长为． 围成的正方形边长为． 则长方形的面积为．正方形面积为 因为，所以围成的正方形面积大． 【融会贯通】 1．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 【答案】(1)5秒 (2)米 【分析】本题考查有关二次根式运算的运用： （1）将代入求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当米时， 答：落到地面需要5秒； （2）解：当秒时， 解得：， 答：物体下落前离开地面米． 2．如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：） 【答案】元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．先用正方形面积减去4个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解：通道的面积为 （平方米）， ∴购买地砖需要花费元． 3．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 【一览众山小】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据二次根式的加减乘除运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、2与不是同类二次根式，不能合并，错误，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 4．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．计算的结果等于 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式等知识点．利用平方差公式计算即可得解． 【详解】解： 故答案为：2． 6．若实数，，满足关系式，则的值为 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性、方程组的解法等知识点，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据能开平方的数一定是非负数，得、，即，进而得到，即①，从而有，再根据算术平方根的非负性可得出②，③，联立①②③解方程组可得出m的值即可． 【详解】解：由题意可得，、，即， ∴，即①． ∴， ∴②，③，， 联立①②③得，， 得，， 将代入③，解得， 将，代入①得，，解得：． 故答案为：22． 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法以及二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先将次幂，立方根，算术平方根化简，再进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 8．已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)若，请计算的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根及立方根得出，，然后求解即可； （2）将（1）中结果代入，由二次根式有意义的条件求出，，然后求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴，， ∴，． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵48的算术平方根为， ∴的算术平方根是． 【点睛】本题考查立方根、平方根及算术平方根的计算，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关计算方法是解题关键． 9．阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 10．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 6 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