16.2 二次根式的乘除 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

16.2 二次根式的乘除 一、二次根式的乘法 1.二次根式的乘法法则：算术平方根的乘积等于各个被开方数积的算术平方根。注意，a、b都必须是非负数。 2.二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘。运算步骤为： 第一步，根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数； 第二步，根式和根式按公式相乘。 3.积的算术平方根的性质及应用：在使用上述积的算术平方根的性质进行计算时，一定要注意前提条件，即被开方数的每个因数都必须为非负数。对于不能直接用的，一定要先进行适当转化。 4.当被开方数是多项式时，先要因式分解化为积的形式。 二、二次根式的除法 1.二次根式的除法法则：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根。 2.二次根式的商的算术平方根的性质：把二次根式的除法法则反过来就得到。注意，运算结果要最简；除式是分数（或分式的）先要转化为乘法再进行运算。 3.分母有理化：把分母中的根号化去，使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化。 三、最简二次根式 满足如下两个特点： 1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 四、化简二次根式 化简二次根式的步骤： 1.把被开方数分解因式（或因数）； 2.把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式√a²=a（a≥0）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。 五、二次根式乘除运算的一般步骤 1.运用法则，化归为根号内的实数运算； 2.完成根号内相乘、相除（约分）等运算；多项式先因式分解，再乘除； 3.化简二次根式。 巩固课内例1:二次根式的乘除(根号与根号相乘) 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可 ． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘法运算，由二次根式乘法运算法则求解即可得到答案，熟记二次根式乘法运算公式是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 巩固课内例2:二次根式的乘除(根号内相乘) 1．将化简，正确的结果是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简即可作答． 【详解】， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的就是二次根式的性质，属于基础题型．熟练掌握性质是解决这个题目的关键． 2．化简：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】利用二次根号的性质和二次根式乘法法的运算法则进行化简求值，默认a，b都为正数． 【详解】解：（1） （2） 故答案为；． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质和运算法则，计算时要仔细，是一道基础题． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)12； (2)36． 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． （1）将化简为再计算即可； （2）将化简为再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例3:二次根式的乘除(公因数化简) 1．计算×的结果是（   ） A．6 B．6 C．6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式乘法法则是解题关键．直接运用二次根式乘法法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故选：A 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据计算，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可 （3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 巩固课内例4:二次根式的除法(根号与根号相除) 1．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 巩固课内例5:二次根式的除法(根号内相除) 1．可把化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法和除法法则计算即可 【详解】解：． 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的乘法和除法，熟练掌握运算法则是解题的关键 2．化简： ， ． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法运算进行化简即可得解；分子分母都乘以分母的有理化因式，进行计算即可得解． 【详解】; ; ; 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，分母有理化，比较简单，找准分母的有理化因式是解题的关键． 3．化简∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简： （1）分数化成假分数，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 巩固课内例6:二次根式的除法(最简二次根式) 1．若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据乘法的意义可得. 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 2． ． 【答案】 【分析】根据公式计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握公式是解题的关键． 3．计算： （1）；                    （2）；                （3）； （4）；           （5）；                   （6） （7）              （8）； 【答案】（1）；（2）； （3）；（4）（5）；（6）；（7）；（8）4 【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8）=． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，掌握乘除法的运算法则是解题的关键． 巩固课内例7:二次根式乘除的应用 1．若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高． 【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键． 2．如果一个长方形的面积为，它的长是，那么这个长方形的周长是 ． 【答案】 【分析】根据长方形面积计算公式，结合二次根式的性质计算，即可得到长方形的宽，从而计算得到长方形的周长． 【详解】∵一个长方形的面积为，它的长是 ∴长方形的宽为： ∴这个长方形的周长是： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的运算性质，从而完成求解． 3．直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，理解三角形面积的计算，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 根据三角形面积的计算方法，运用二次根式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的面积． 类型一、最简二次根式的认识 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可,掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【详解】解：A选项， ，故该选项不符合题意； B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； C选项，，故该选项不符合题意； D选项，，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是二次根式， 是最简二次根式； 故答案为：． 3．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解： 是最简二次根式 类型二、化简为最简二次根式 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质进行求解． 【详解】解：， 故选B． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．由即可化简． 【详解】解：． 故答案为：． 3．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 类型三、根据最简二次根式求参 1．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 2．若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 3．如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值． 【答案】x＝8，y＝6. 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】解：由题意，得 3a﹣11＝19﹣2a， 解得　　　a＝6. 　　 所以　　　＋＝0. 因为　　≥0，≥0， 所以　　24－3x＝0，y－6＝0. 解得　    x＝8，y＝6. 【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键. 类型一、二次根式的乘法 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了本题主要考查二次根式的乘除运算，化简二次根式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该项符合题意； 故选： D． 2．计算的结果等于 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，利用平方差公式计算即可得解，熟练掌握二次根式的混合运算法则并能灵活运用平方差公式是解决此题的关键． 【详解】解： 故答案为：2． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)63 【分析】本题考查二次根式的乘法运算： （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 类型二、二次根式的除法 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法，根据二次根式的除法法则可判断A，B；根据二次根式的性质可判断C和D． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 2．（1） ；（2） ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次根式的除法，分式的约分，根据二次根式的除法法则可化简，把的分子分解因式后约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）；（2）． 3．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 类型三、二次根式中的乘除混合运算 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 类型一、估算二次根式 1．估算的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算，先运用二次根式的乘法进行化简，然后估算求解即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴， 故选：C． 2．若，请估算t更接近于哪个整数 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算，先根据二次根式的乘法运算法则算出，结合进行无理数的估算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴估算t更接近于0 故答案为：0 3．若计算的结果为，请估算的值最接近于哪两个整数之间． 【答案】介于整数4与5之间 【分析】利用二次根式的运算法则，负整数指数幂和零指数幂的性质，进行求解，即可即可判断． 【详解】解：根据题意得：， ∵， 介于整数4与5之间． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及负整数指数幂和零指数幂的性质，是解题的关键． 类型二、二次根式的新定义运算 1．对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义计算，二次根式乘法运算，根据题意列出算式，利用二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2．对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 类型三、二次根式的规律 1．一组二次根式，依照此规律，下列根式是最简二次根式的是（    ） A．第12个根式 B．第10个根式 C．第13个根式 D．第22个根式 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式（被开方数是整数或整式，且不含有补开得尽方的因数或因式），先找出所给一列二次根式的规律，再逐项进行判断即可 【详解】解：根据题意得，这组二次根式的被开方数为3，5，7，9⋯⋯，（的整数） 所以，A.第12个二次根式为，不是最简二次根式，故不符合题意； B. 第10个二次根式为，是最简二次根式，故合题意； C. 第13个二次根式为，不是最简二次根式，故不符合题意； D. 第22个二次根式为，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B 2．观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数类规律题，观察可知，第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，进而可得得出若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：，最后代入50求解即可． 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 3．先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，见解析 【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； ②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值； （2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）． ②∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：， 验证如下： ． 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．估计的值应在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先计算二次根式的乘法运算，再进行估算即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 3．已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点．由题干中数据总结规律求得，再根据有理化因式计算即可． 【详解】解：第1个数据为， 第2个数据为， 第3个数据为， 第4个数据为， 则第10个数据为， ∴为， ∴与的积为有理数的是， 故选：D． 4．计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 9 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法运算，根据，，以及二次根式的化简可得答案． 【详解】解：； ； ； 故答案为：，，； 5．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 6．设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 7．计算： (1) (2) 【答案】(1)3； (2)2. 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法及应用平方差公式进行二次根式计算，掌握二次根式的乘除法法则及平方差公式是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法法则计算即可． （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 8．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，二次根式的乘法运算，先利用乘法公式与单项式乘以多项式计算乘法运算，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 9．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 10．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）． 【答案】（1）1+；（2）. 【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2 二次根式的乘除 一、二次根式的乘法 1.二次根式的乘法法则：算术平方根的乘积等于各个被开方数积的算术平方根。注意，a、b都必须是非负数。 2.二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘。运算步骤为： 第一步，根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数； 第二步，根式和根式按公式相乘。 3.积的算术平方根的性质及应用：在使用上述积的算术平方根的性质进行计算时，一定要注意前提条件，即被开方数的每个因数都必须为非负数。对于不能直接用的，一定要先进行适当转化。 4.当被开方数是多项式时，先要因式分解化为积的形式。 二、二次根式的除法 1.二次根式的除法法则：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根。 2.二次根式的商的算术平方根的性质：把二次根式的除法法则反过来就得到。注意，运算结果要最简；除式是分数（或分式的）先要转化为乘法再进行运算。 3.分母有理化：把分母中的根号化去，使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化。 三、最简二次根式 满足如下两个特点： 1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 四、化简二次根式 化简二次根式的步骤： 1.把被开方数分解因式（或因数）； 2.把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式√a²=a（a≥0）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。 五、二次根式乘除运算的一般步骤 1.运用法则，化归为根号内的实数运算； 2.完成根号内相乘、相除（约分）等运算；多项式先因式分解，再乘除； 3.化简二次根式。 巩固课内例1:二次根式的乘除(根号与根号相乘) 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例2:二次根式的乘除(根号内相乘) 1．将化简，正确的结果是（    ） A． B． C．3 D． 2．化简：（1） ；（2） ． 3．化简： (1)； (2)． 巩固课内例3:二次根式的乘除(公因数化简) 1．计算×的结果是（   ） A．6 B．6 C．6 D．6 2．计算： ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 巩固课内例4:二次根式的除法(根号与根号相除) 1．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 2．计算的结果是 ． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 巩固课内例5:二次根式的除法(根号内相除) 1．可把化简为（    ） A． B． C． D． 2．化简： ， ． 3．化简∶ (1)； (2)． 巩固课内例6:二次根式的除法(最简二次根式) 1．若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 2． ． 3．计算： （1）；                    （2）；                （3）； （4）；           （5）；                   （6） （7）              （8）； 巩固课内例7:二次根式乘除的应用 1．若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 2．如果一个长方形的面积为，它的长是，那么这个长方形的周长是 ． 3．直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 类型一、最简二次根式的认识 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 3．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 类型二、化简为最简二次根式 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 类型三、根据最简二次根式求参 1．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 2．若和都是最简二次根式，则 ， ． 3．如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值． 类型一、二次根式的乘法 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于 ． 3．计算： (1)； (2)． 类型二、二次根式的除法 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（1） ；（2） ． 3．化简下列各式： (1) (2) 类型三、二次根式中的乘除混合运算 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 类型一、估算二次根式 1．估算的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．若，请估算t更接近于哪个整数 ． 3．若计算的结果为，请估算的值最接近于哪两个整数之间． 类型二、二次根式的新定义运算 1．对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 2．对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 3．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 类型三、二次根式的规律 1．一组二次根式，依照此规律，下列根式是最简二次根式的是（    ） A．第12个根式 B．第10个根式 C．第13个根式 D．第22个根式 2．观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 3．先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．估计的值应在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 4．计算： （1） ； （2） ； （3） ． 5．计算： ． 6．设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 7．计算： (1) (2) 8．先化简，再求值：，其中，． 9．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 10．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）． 学科网（北京）股份有限公司 $$