广东省佛山市顺德区某校2024-2025学年高一上学期期末考试实战演练数学试题

第 1 页 共 2 页 高一期末考试实战演练数学学科答案 6.解： 2 23 2 ( )( 2 1) 0m mn n m n m n m n         ， 0m  ， 0n  ，则 0m n  ，故 2 1 0m n   ， 即 2 1m n  ， 1 1 1 1 2 2( )( 2 ) 3 3 2 3 2 2n m n mm n m n m n m n m n           … ， 当且仅当 2 2 1 n m m n m n       ，解得 2 1m   ， 2 2 2 n  ，故 1 1 m n  的最小值为 3 2 2 ． 8.解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称． 可作出函数 2 2 ( 0)y x x x   的图像关于原点对称的图像，看它与函数 2 ( 0)xy xe   交点个数即可． 如图所示： 当 1x  时， 20 1xe   ，观察图像可得：它们有 2个交点． 11.解：依题意，函数 ( )f x 存在“倍值区间”，则满足 ( )f x 在 [m， ]n 上是单调函数， 若 ( )f x 为增函数，则有 ( ) 3 ( ) 3 f m m f n n    ，若 ( )f x 为减函数，则有 ( ) 3 ( ) 3 f m n f n m    ， 由此分析选项： 对于 A， 2( ) 2f x x ，在区间 3[0, ] 2 上是增函数，且值域为 9[0, ] 2 ，则区间 3[0, ] 2 是函数 ( )f x 的“倍 值区间”，符合题意； 对于 B， 1( )f x x  在区间 1[ ,1] 3 上是减函数，且值域为 [1，3]，则区间 1[ ,1] 3 是函数 ( )f x 的“倍值区 间”，符合题意； 对于C ， ( )f x 在 [ 2,0), (0, 2] 上单调递减，在 ( , 2],[ 2, )   上单调递增， 假定函数 ( )f x 存在倍值区间 [m， ]n ，若 ( )f x 在 [m， ]n 上单调递增，则 ( ) 3 ( ) 3 f m m f n n    ， 即有 2 3 2 3 m m m n n n         ，而 2m n „ 或 2 m n„ ，无解， 若 ( )f x 在[m， ]n 上单调递减，则 ( ) 3 ( ) 3 f m n f n m    ，即 2 3 2 3 m n m n m n         ，两式相减得 1 2 mn  ， 而 0mn  ，则两式相加得 1mn  ，矛盾， ( )f x 不存在倍值区间，不符合题意； 对于D，当 0x  时， 7( ) 2 f x x x   ，函数 2y x x   在 (0, 2]上单调递减， 于是 ( )f x 在 3[0, ] 3 上单调递增，且值域为 [0, 3]，因此区间 [0, 3]是函数 ( )f x 的“倍值区间”， 符合题意． 故选： ABD． 12．3 13. 32 3  14.6 14.解：根据题意，设 BAD   ， 由于 2 EAC BAD EAC ECA        ，则有 ECA   ， 在Rt ADB 中， cos cosAD BAD AB    ，而 3AD  ，则 3 cos AB   ， 在Rt AEC 中， sin sinAE BAD AC    ，而 2AE  ，则 2 sin AC   ， 故 ABC 的面积 1 1 3 2 6 2 2 cos sin sin 2 S AB AC           ， 当且仅当 4   时， sin 2 取得最大值 1，此时 ABC 的面积取得最小值 6．故答案为：6． 四、解答题 15．（1） 2 3 e ；（2） 3 4 ；（3）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D A C A B D B ABC AC ABD 第 2 页 共 2 页 16.解：（1） ( )f x 为奇函数，证明如下：要使函数 ( )f x 有意义．则 2 0 2 0 x x      ， 解得 2 2x   ．故所求函数 ( )f x 的定义域为 ( 2,2) ．设 ( 2,2)x   ，则 ( 2,2)x   ． 且 ( ) ( 2) (2 ) ( )f x lg x lg x f x        ，故 ( )f x 为奇函数． （2）因为 ( )f x 在定义域 ( 2,2) 内是增函数，因为 ( ) 1f x  ，所以 2 10 2 x x    ，解得 18 11 x  ． 所以不等式 ( ) 1f x  的解集是 18( 11 ， 2)． 17.解析：(1)由题设可知，两个函数 xy ka （ 0k  ， 1a  ），y p x k  （ 0k  ， 0p  ）在 (0, ) 上均为增函数， 随着 x的增大，函数 xy ka （ 0k  ， 1a  ）的值增加得越来越快， 而函数 y p x k  （ 0k  ， 0p  ）的值增加得越来越慢， 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型 xy ka （ 0k  ， 1a  ）满足要求． 由题意可得 2 3 24 36 ka ka     解得 32 3 k  ， 3 2 a  ，故该函数模型的解析式为 32 3( ) 3 2 xy  ． (2)当 0x  时， 032 3 32( ) 3 2 3 y   ，故元旦放入凤眼莲的面积为 232 3 m ， 由 32 3 32( ) 10 3 2 3 x   ，即 3( ) 10 2 x  ，等价于 3 2 log 10x  利用换底公式可得 3 2 lg10 lg10 1 1log 10 5.73 lg3 lg 2 lg3 lg 2 0.4771 0.301lg 2         ，故 6x  . 因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份是 6月份． 18.解：（1）令 0x y  ，解得 (0) 2f  ， 又当 0x  时 ( ) 2f x  ，可判断 ( )f x 为减函数， 证明如下： 1x ， 2x R ，不妨设 1 2x x ，依题意 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2f x x f x f x    ， 即 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2f x f x f x x    ，因为 1 2x x ，所以 1 2 0x x  ，所以 1 2( ) 2f x x  ， 因此 1 2( ) ( ) 0f x f x  ，即 1 2( ) ( )f x f x ，所以 ( )f x 为减函数． （2）原不等可化为 2( ) (( 1) ) 2 ( 1)f ax f a x f   … ，即： 2( ( 1) ) ( 1)f ax a x f  … ， 因 ( )f x 单调递减，故 2 ( 1) 1ax a x  „ 成立，即： 2 ( 1) 1 0ax a x   „ ， ( 1)( 1) 0ax x  „ ，当 0 1a  时，有 1 1 a  ，解为 11 x a „ „ ；当 1a  时， 1 1 a  ，解为 1x  ； 当 1a  时， 1 1 a  ，解为 1 1x a „ „ ； 综上：当 1a  时，解集为{1}；当 0 1a  时，解集为 1{ |1 }x x a „ „ ；当 1a  时，解集为 1{ | 1}x x a „ „ ． 19.解析：（1）函数 ( ) cos( ) 3 f x x   （ 0  ），图象上任意两条相邻对称轴间的距离为 2  ． 所以周期 2 2 T   ，即T  ，那么 2    ，可得 2  ． 所以 ( ) cos(2 ) 3 f x x   令 2 2 2 3 k x k       ， k Z ，可得： 2 3 6 k x k        ， 所以可得函数的单调递增区间 2[ , ] 3 6 k k      ， k Z 令 2 2 2 3 k x k      ， k Z ，可得： 6 3 k x k       ， ∴可得函数的单调递减区间[ , ] 6 3 k k     ， k Z 令 2 3 2 x k     ，可得： 1 12 2 x k   ，可得函数的对称中心为 1( ,0) 12 2 k  ， k Z 。 （2）根据第（1）问可得 3( ) cos(2 ) 3 5 f     ， 2cos(2 ) cos[(2 ) ] 3 3        根据诱导公式三可得 cos[(2 ) ] cos[ (2 )] 3 3          根据诱导公式四可得 3cos[ (2 )] cos(2 ) 3 3 5           .由此可得 2 3cos(2 ) 3 5     （3）方程 22sin cos 4 0x m x   在 (0, ) 2 x  上有实数解， 因为 2 2sin 1 cosx x  ，所以 22cos cos 2 0x m x   令 cost x ，因为 (0, ) 2 x  ，所以 (0,1)t 。 则可得 22 2 0t mt   在 (0,1)上有解，等价于 12( )m t t    ， 令 1( ) 2( )f t t t    ，显然可知函数 ( )f t 在 (0,1)上单调递增，所以 ( ) ( , 4)f t    所以m的取值范围是 ( , 4)  ． 高一期末考试实战演练数学学科试卷 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（ ）． A． B． C． D． 3．若，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．方程的解一定位于区间（ ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致是 A．B．C． D． 6．已知，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．6 7.设函数，给出下列命题，正确的是（ ）． A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．把的值域是 D．的最小正周期为，且在上为增函数 8.直角坐标系内，两点满足：（1）点，都在的图像上；（2）点，关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹对点”，与可看作一个“姊妹对点”，已知函数，则的“姊妹对点”有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.已知集合，，1，，若，则实数可以为（ ） A． B．1 C．0 D．2 10.己知，则下列不等关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件： ①在上是单调函数；②在上的值域是. 则称区间为函数的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12．若函数，则 13．如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 . 14．如图，已知直线是之间的一定点，并且点到的距离分别是2，3，是直线上的动点，作，且使与直线交于点．则的面积的最小值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)求值： (1)： (2). (3) 16. (15分)已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 17.(15分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型（，）与（，）可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份． (参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) 18. (17分)已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，. (1)判断并证明的单调性； (2)当时，求关于的不等式的解集. 19.(17分)已知函数（），图象上任意两条相邻对称轴间的距离为． （1）求函数的单调区间和对称中心． （2）若，求的值。 （3）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围． 高一期末考试实战演练 数学试题 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$