微专题突破练15：随机变量及其分布-2025届高三数学二轮复习

微专题15　随机变量及其分布 一、单选题 1.(2024·济南模拟)已知随机变量X～B，则P(X＝2)＝(　　) 2.(2024·合肥模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>1.5)等于(　　) 0.14 0.62 0.72 0.86 3.已知随机变量X的分布列为 X 0 2 4 P m －2m 则E(X)＝(　　) 1 4.(2024·辽阳模拟)辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M(单位：kg)服从正态分布N(25，σ2)，且P(24.9<M<25.1)＝0.8，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在25 kg～25.1 kg的盘锦大米的袋数的方差为(　　) 14.4 9.6 24 48 5.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取1件.若抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(　　) 2 1 3 4 6.(2024·南昌调研)我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行”.五行的相生相克理论如图，即金生水，水生木，木生火，火生土，土生金；金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.依此理论，每次随机任取两行，重复取10次，若取出的两行为“生”的次数记为X，则E(X)与D(X)的值分别为(　　) 1， 3， 5， 7， 7.(2024·福州质检)下列命题错误的是(　　) 若数据x1，x2，x3，…，xn的标准差为s，则数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的标准差为3s 若X～B(4，p)，D(X)＝，则P(X＝2)＝ 若X～N(1，σ2)，P(X>0)＝0.75，则P(0<X<2)＝0.5 若X为取有限个值的离散型随机变量，则[E(X)]2≥E(X2) 8.(2024·绵阳诊断)若离散型随机变量X的分布列如表所示，E(X)＝0，D(X)＝1，则P(X<1)＝(　　) X －1 0 1 2 P a b c 二、多选题 9.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则(　　) P(7<ξ<9)＝0.8 E(X)＝1.8 E(ξ)>E(5X) P(X≥1)>0.9 10.(2024·南京调研)某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，，，，则(　　) 乙组同学恰好命中2次的概率为 甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 甲组同学命中次数的方差为 乙组同学命中次数的数学期望 11.(2024·武汉调研)在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，则(　　) μ＝80，σ＝400 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 三、填空题 12.盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的均值E(ξ)＝________. 13.某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(175，σ2)，已知P(175≤X<180)＝0.2，若P(X≤a)∈[0.3，0.5].写出一个符合条件的a的值为________. 14.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ>0)的泊松分布.若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为________. 四、解答题 15.(13分)(2024·韶关模拟)小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次，击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲、乙、丙均没有重复的部分.这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号. (1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率； (2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望. 16.(15分)为丰富群众的文化生活，某社区利用周末举办羽毛球比赛.经过抽签，甲、乙两人进行比赛，比赛实行三局两胜制(若某人胜了两局则为获胜方，比赛结束).根据以往数据统计，甲、乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为，每局比赛相互独立. (1)求甲获胜的概率. (2)比赛规则规定：比赛实行积分制，胜一局得3分，负一局得1分；若连胜两局，则还可获得5分的加分.用X表示甲、乙比赛结束后甲获得的积分，求X的分布列和数学期望. 参考答案 1.B　[因为随机变量X～B， 所以P(X＝2)＝C＝＝.] 2.D　[随机变量X服从正态分布N(2，σ2)， 且P(2<X≤2.5)＝0.36， 所以P(1.5≤X<2)＝0.36，P(X<1.5)＝(1－0.36×2)＝0.14， 所以P(X>1.5)＝1－0.14＝0.86.] 3.D　[由题可知＋m＋－2m＝1， 解得m＝， 则E(X)＝0×＋2×＋4×＝.] 4.A　[由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M(单位：kg)服从正态分布N(25，σ2)，且P(24.9<M<25.1)＝0.8，故P(25<M<25.1)＝×0.8＝0.4， 从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量为25 kg～25.1 kg的盘锦大米的袋数X～B(60，0.4)，故D(X)＝60×0.4×(1－0.4)＝14.4，故选A.] 5.C　[ξ的可能取值为0，1，2. P(ξ＝0)＝××＝， P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝， P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝， 故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.] 6.C　[设从五行中随机任取两行为“生”的事件为A，则P(A)＝＝. 依题意，随机变量X服从二项分布， 即X～B， 故E(X)＝10×＝5，D(X)＝10××＝，故选C.] 7.D　[数据x1，x2，x3，…，xn的标准差为s，则数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的标准差为＝3s，故A正确；X～B(4，p)，D(X)＝， 则4p(1－p)＝，得p(1－p)＝， P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝6[p(1－p)]2＝6×＝，故B正确； X～N(1，σ2)，P(X>0)＝0.75，则P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2[P(X>0)－P(X>1)]＝2×(0.75－0.5)＝0.5，故C正确； X为取有限个值的离散型随机变量，则D(X)＝E(X2)－[E(X)]2≥0，故D错误.] 8.D　[由题意知，a＋b＋c＋＝1；① 由E(X)＝0，即E(X)＝－1×a＋0×b＋1×c＋2×＝0， 得－a＋c＋＝0；② 由D(X)＝1，即D(X)＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1， 故a＋c＋＝1.③ 联立①②③解得a＝，b＝，c＝， 又因为P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)， 所以P(X<1)＝a＋b＝.] 9.BD　[由正态分布的对称性可知： P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2， 故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误； X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确； E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9， 故E(ξ)<E(5X)，C错误； 因为X～B(3，0.6)， 所以P(X＝0)＝C(0.6)0×(0.4)3＝0.064， 故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，D正确.] 10.BCD　[设“乙组同学恰好命中2次”为事件M， 则P(M)＝××＋××＋××＝，故A错误； 设“甲组同学恰好命中2次”为事件N， 则P(N)＝C×＝. 因为>，故B正确； 因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为X， 则X～B， 故D(X)＝3××＝，故C正确； 设乙组同学命中次数为随机变量Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， 所以P(Y＝0)＝××＝， P(Y＝1)＝××＋××＋××＝， P(Y＝2)＝P(M)＝， P(Y＝3)＝××＝， 故E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，故D正确.] 11.BCD　[对于A，由E(X)＝80，D(X)＝400， 则μ＝80，σ2＝400，故A错误； 对于B，由μ＝80，σ2＝400，则X～N(80，202)， 则μ－σ＝80－20＝60，μ＋2σ＝80＋2×20＝120， 故有P(60≤x≤100)＝m，P(40≤X≤120)＝n， 则P(100≤X≤120)＝， 则P(60≤X≤120)＝＋m＝， 即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为，故B正确； 对于C，P(X≥120)＝，则从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P＝2××＝，故C正确； 对于D，P(X≥60)＝＋，又P(X≥120)＝，故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格的概率为＋，该生测试成绩优秀的概率为，则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为＝，故D正确.] 12.　[由题意可知，随机变量ξ的可能取值有2，3，4， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.] 13.172([170，175]中的任意一个数均可)　[因为X～N(175，σ2)，且P(175≤X<180)＝0.2， 则P(X≤170)＝P(X≥180)＝0.5－0.2＝0.3， 且P(X≤175)＝0.5， 故若P(X≤a)∈[0.3，0.5]， 则a∈[170，175].([170，175]中的任意一个数均可).] 14.　[依题意得P(X＝1)＝P(X＝2)， 即＝，解得λ＝2， 所以P(X＝k)＝e－2， 所以P(X＝0)＝e－2＝， P(X＝1)＝e－2＝， P(X＝2)＝e－2＝， 则两周共销售2件的概率为 p＝C··＋C＝.] 15.解　(1)记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A；“射击一次获得一等奖”为事件B；“射击一次获得二等奖”为事件C，所以有A＝B∪C，所以P(B)＝，P(C)＝×＝，所以P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.故所求的概率为. (2)获得三等奖的次数为X，X的可能取值为0，1，2，3，4. 记“获得三等奖”为事件D， 所以P(D)＝＋×＝， 所以P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝C＝＝， P(X＝3)＝C＝＝， P(X＝4)＝C＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 显然X～B，所以E(X)＝4×＝1. 16.解　(1)甲获胜的情况如表所示： 第一局 第二局 第三局 概率 胜 胜 × 胜 负 胜 ×× 负 胜 胜 ×× 则甲获胜的概率 p＝×＋××＋××＝. (2)甲各局的胜负情况及最后积分如表所示. 第一局 第二局 第三局 得分 概率 胜 胜 11 × 负 负 2 × 胜 负 胜 7 ×× 负 胜 胜 12 ×× 胜 负 负 5 ×× 负 胜 负 5 ×× X的可能取值为2，5，7，11，12. P(X＝2)＝， P(X＝5)＝＋＝， P(X＝7)＝， P(X＝11)＝，P(X＝12)＝. 所以X的分布列为 X 2 5 7 11 12 P E(X)＝2×＋5×＋7×＋11×＋12×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$