专题01 比例五大专题突破(解比例篇)-2024-2025学年六年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第四单元比例·解比例篇 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 3、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 2 比例各部分名称 2 比例的基本性质 2 解比例的概念 2 典例分析 3 专题突破 8 突破点一：比号式 8 突破点二：分数式 10 突破点三：混合式 12 突破点四：复杂的比例方程 14 突破点五：解决实际问题 15 常用知识点 1． 比例各部分名称 比例各部分名称：组成比例的四个数，叫作比例的项。 两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 比号形式 分数形式 比例写成分数形式： 左边的分子和右边的分母是外项； 左边的分母和右边的分子是内项。 12 × 4 = 6 × 8 2． 比例的基本性质 比例式→乘积式：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 用字母表示（a、b、c、d均不为0） 如果a∶b=c∶d，则ad=bc。 ad = bc 外项积=内项积 如果，则ad=bc。 ad = bc 交叉相乘积相等：等号两边的分子、分母交叉相乘，积相等。 3． 解比例的概念 事项 概念 依据 解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项，求比例中的未知项，叫作解比例。 比例的基本性质 （1）解比例的方法。 解比例时，务必分清内外项，利用比例的基本性质，先把比例转化为乘积式（即方程），再根据等式的性质解方程，求出未知项的值。 （2）常用的2种验算方法。 ①根据比例的意义→看比值，比值相等说明计算正确； ②根据比例的基本性质→看外项积是否等于内项积，相等说明计算正确。 （3）注意事项。 ①要写“解”； ②等号要对齐； ③一般把含x的乘积写在等号左侧。 （4）常见类型。 第一种类型：比号式 第二种类型：分数式 第三种类型：混合式 第四种类型：复杂的比例方程 第五种类型：解决实际问题 典例分析 9∶0.5 = x∶ →比号式比例方程 →外项积=内项积 解： 0.5x = 9× 0.5x = 6→等式的性质 0.5x÷0.5 = 6÷0.5 x = 12等号对齐 【验算】：把x=12代入原比例，左边=9∶0.5=9÷0.5=18，右边=12∶=12÷=18，左边=右边，比例成立，所以x=12是原比例的解。 = →交叉相乘积相等 →分数式比例方程 解： 42%x = 6.3×0.9 0.42x = 6.3×0.9→等式的性质 0.42x÷0.42 = x = 13.5 【验算】：把x=13.5代入原比例，左边==6.3÷13.5=，右边==42%÷0.9=，左边=右边，比例成立，所以x=13.5是原比例的解。 →混合式比例方程 15∶x = →统一形式 解： = →交叉相乘积相等 4.8x = 15×9.6→等式的性质 4.8x÷4.8 = x = 30 【验算】：将x=30代入原比例，左边=15∶30=15÷30=，右边==4.8÷9.6=，左边=右边，比例成立，所以x=30是原比例的解。 →复杂的比例方程 （5x+4）∶（9x-6）= 4 : 5→外项积=内项积 解： （5x+4）×5 =（9x-6）×4 25x+20 = 36x-24 25x+20-25x = 36x-25x-24 11x-24 = 20→等式的性质 11x-24+24 = 20+24 11 x ÷11=（20+24）÷11 x = 4 【验算】：将x=4代入原比例，左边=（5×4+4）∶（9×4-6）=24∶30=，右边=4∶5=，左边=右边，比例成立，所以x=4是原比例的解。 解决实际问题 一般步骤： ①找→数量关系：找出题中三个量，判断哪个量是不变量，判断其余两个量成什么比例关系。 正比例：比值一定 反比例：乘积一定 ②设→建立等量关系，并设等量关系中的未知数为x ③列→列比例方程 ④化→比例式转化为乘积式 ⑤解→解方程 ⑥验→检验x的值 ⑦答→写答语 例1：相同质量的水和冰的体积之比是9∶10。一块体积是50dm³的冰，化成水后的体积是多少？ 【分析】：“相同质量的水和冰的体积之比是9∶10”，据此可得等量关系： 水体积∶冰体积=9∶10；已知冰体积是50dm³，求化成水后的体积，设所求为xdm³，根据等量关系得方程：x∶50 = 9∶10。 【详解】： 解：设化成水后的体积是x立方分米。 x∶50 = 9∶10 10x = 450 10 x÷10 = 450÷10 x = 45 答：化成水后的体积是45立方分米。 【检验】：一块体积50dm³的冰，化成水后的体积是45dm³,则相同质量下，水体积∶冰体积=45∶50=9∶10，符合题意。 例2：某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？ 【分析】：太阳下，同一时刻、同一地点，物体的实际高度和影长的比值相等。 “把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米”，据此可得等量关系： 实际高度∶影长=3∶1.2；已知塔影长7.2m，求塔的实际高度，设所求为x米，根据等量关系得方程：x∶7.2 = 3∶1.2。 【详解】： 解：设这座水塔的高是x米。 x∶7.2 = 3∶1.2 1.2x = 7.2×3 1.2x÷1.2 = x = 18 答：这座水塔的高是18米。 【检验】：3米长的竹竿，影长1.2米，实际高度是影长的3÷1.2=2.5倍； 同一时间，水塔实际高度18米，影长7.2米，实际高度是影长的18÷7.2=2.5倍，符合题意。 例3：中国空间站在太空中绕地球运行6周大约需要9小时，运行15周大约要用多长时间？ 【分析】：题中涉及运行周数、总时间和运行一周所需时间三个量，且运行一周所需时间是一定的，即：，比值一定，总时间和运行周数成正比例。 等量关系： 设运行15周大约要用x小时，根据等量关系得方程：。 【详解】： 解：设运行15周大约需要x小时。 6x=9×15 6x÷6=9×15÷6 x=22.5 答：运行15周大约要用22.5小时。 【检验】：运行6周需要9小时，则运行一周需要9÷6=1.5小时，现运行22.5小时，运行周数是22.5÷1.5=15（周），符合题意。 例4：小东家的客厅是正方形，用边长0.6m的方砖铺地，正好需要100块。如果改用边长0.5m的方砖铺地，需要多少块? 【分析】：题中涉及一块砖的面积、砖的块数和客厅面积三个量，且客厅总面积是一定的，即：一块砖的面积×块数=客厅面积（一定） ，乘积一定，一块砖的面积和砖的块数成反比例。 等量关系：0.6×0.6×100=0.5×0.5×砖的块数 设改用边长0.5m的方砖铺地需要x块，根据等量关系得方程：0.6×0.6×100=0.5×0.5x。 【详解】： 解：设改用边长0.5m的方砖铺地需要x块。 0.5×0.5x=0.6×0.6×100 0.25x=36 0.25x÷0.25=36÷0.25 x=144 答：改用边长0.5m的方砖铺地需要144块。 【检验】：边长0.6m的方砖铺地，一块面积是0.6×0.6，需要100块，客厅面积是0.6×0.6×100=36（m²），现需要方砖144块，则一块方砖面积是36÷144=0.25（m²），0.25=0.5×0.5，此时方砖边长是0.5m，符合题意。 专题突破 突破点一：比号式 ①x∶=70∶6 解： 6x=70× 6x÷6=70×÷6 x=7 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：6x=70×； 根据等式的性质，左右两边同时除以6。 ②0.375∶x=∶60% （*验算） 解：x=0.375×60% x=× x÷=××20 x= 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：x=0.375×60%，为方便计算统一形式，改写成分数； 根据等式的性质，左右两边同时除以，“÷”相当于“×20”。 【验算】：把x=代入原比例， 左边=0.375∶=÷= 右边=∶60% =÷= 左边=右边，比例成立，所以x=是原比例的解。 ③∶2.5x=60%∶20 解：60%×2.5x=×20 ×x=12 x=12 x÷=12÷ x=8 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：60%×2.5x=×20，为方便计算统一形式，改写成分数； 根据等式的性质，左右两边同时除以。 ④∶x=30%∶10.8 解：30%x=×10.8 0.3x=1.5×10.8 0.3x÷0.3=1.5×10.8÷0.3 x=54 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：30%x=×10.8，统一形式，改写成小数； 根据等式的性质，左右两边同时除以0.3。 ⑤1.5∶8=0.5∶x （*验算） 解：1.5x=8×0.5 1.5x÷1.5x=4÷1.5 x= 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：1.5x=8×0.6； 根据等式的性质，左右两边同时除以1.5。 【验算】：把x=代入原比例， 左边=1.5∶8=1.5÷8= 右边=0.5∶=÷= 左边=右边，比例成立，所以x=是原比例的解。 ⑥1.25∶0.25=x∶16 解： 0.25x=1.25×16 0.25x÷0.25=1.25×16÷0.25 x=80 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：0.25x=1.25×16； 根据等式的性质，左右两边同时除以0.25。 ⑦5∶x=∶6 解：x=5×6 x÷=5×6÷ x=8 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：x=5×6； 根据等式的性质，左右两边同时除以。 ⑧∶=x∶ 解：x=× x÷=×÷ x= 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：x=×； 根据等式的性质，左右两边同时除以。 突破点二：分数式 ① 解：5x=1.25×6 5x÷5=1.25×6÷5 x=1.5 【分析】：交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：5x=1.25×6； 根据等式的性质，左右两边同时除以5。 ② 解：20x=25×28 20x÷20=700÷20 x=35 【分析】：交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：20x=25×28； 根据等式的性质，左右两边同时除以20。 ③ 解： 0.1x=100×0.01 0.1x=1 0.1x÷0.1=1÷0.1 x=10 【分析】：交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：0.1x=100×0.01； 根据等式的性质，左右两边同时除以0.1。 ④ 解：6x=7.5×0.16 6x÷6=1.2÷6 x=0.2 【分析】：交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：6x=7.5×0.16； 根据等式的性质，左右两边同时除以6。 ⑤ （*验算） 解：3.6x=4×4.8 3.6x÷3.6= x= 【分析】：交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：3.6x=4×4.8； 根据等式的性质，左右两边同时除以3.6。 【验算】：把x=代入原比例， 左边==3.6÷4.8=，右边==4÷= 左边=右边，比例成立，所以x=是原比例的解。 ⑥ 解： 3x=2×（1+20%） 3x÷3=2×1.2÷3 x=0.8 【分析】：交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得： 3x=2×（1+20%）； 根据等式的性质，左右两边同时除以3。 ⑦ （*验算） 解： 7×（5x-1）=3×6 35x-7=18 35x-7+7=18+7 35x=25 35x÷35=25÷35 x= 【分析】：交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：7×（5x-1）=3×6； 去括号整理，得到：35x-7=18； 根据等式的性质，左右两边同时加7，得到：35x=25；左右两边再同时除以35。 【验算】：把x=代入原比例， 左边==（5×-1）∶6=÷6= 右边=，左边=右边，比例成立，所以x=是原比例的解。 ⑧ 解： 1.5×（x+1）=1.8×（0.2+x） 1.5x+1.5=0.36+1.8x 1.5x+1.5-1.5x=0.36+1.8x-1.5x 0.3x+0.36=1.5 0.3x+0.36-0.36=1.5-0.36 0.3x=1.14 0.3x÷0.3=1.14÷0.3 x=3.8 【分析】：交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：1.5×（x+1）=1.8×（0.2+x）； 去括号整理，得到：1.5x+1.5=0.36+1.8x； “两边同加未知数，则同减较小的”，左右两边同减1.5x，得到：0.3x+0.36=1.5； 根据等式的性质，左右两边同时减0.36，得到：0.3x=1.14；左右两边再同时除以0.3。 突破点三：混合式 ①7∶8= （*验算） 解：7∶8=35∶x 7x=35×8 7x÷7= x=40 【分析】：先统一成比号式→7∶8=35∶x； 外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：7x=35×8； 根据等式的性质，左右两边同时除以7。 【验算】：把x=40代入原比例， 左边=7∶8=，右边==，左边=右边， 比例成立，所以x=40是原比例的解。 ②0.5∶x= 解： 0.5∶x=0.6∶2.4 0.6x=0.5×2.4 0.6x÷0.6= x=2 【分析】：先统一成比号式→0.5∶x=0.6∶2.4；外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：0.6x=0.5×2.4； 根据等式的性质，左右两边同时除以0.6。 ③8∶7.5 （*验算） 解： 8×3x=0.4×7.5 24x=0.4×7.5 24x÷24= x= 【分析】：先统一成分数式→； 交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得： 8×3x=0.4×7.5； 根据等式的性质，左右两边同时除以24。 【验算】：把x=代入原比例， 左边=0.4∶（3×）=÷= 右边=8∶7.5=8÷7.5= 左边=右边，比例成立，所以x=是原比例的解。 ④x∶8 解： 0.25x=1.25×8 0.25x÷0.25= x=40 【分析】：先统一成分数式→； 交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得： 0.25x=1.25×8； 根据等式的性质，左右两边同时除以0.25。 ⑤=（8-x）∶ 解： 4∶9=（8-x）∶ 9×（8-x）= 4× 9×（8-x）÷9=4×÷9 8-x= 8-x+x=+x +x-=8- x= 【分析】： 先统一成比号式→4∶9=（8-x）∶； 外项积=内项积，把比例转化为方程，可得： 9×（8-x）= 4×； 根据等式的性质，左右两边同时除以9，得到：8-x=； “-x”，将减法转化为加法，左右两边同加x，得到：+x=8； 左右两边再同时减。 ⑥0.8∶ 解： （50-x）∶4=0.8∶ ×（50-x）=4×0.8 ×（50-x）÷=4×0.8×2 50-x=6.4 50-x+x=6.4+x 6.4+x=50 6.4+x-6.4=50-6.4 x=43.6 【分析】： 先统一成比号形式→（50-x）∶4=0.8∶； 外项积=内项积，把比例转化为方程，可得： ×（50-x）=4×0.8；根据等式的性质，左右两边同时除以，可得：50-x=6.4； “-x”，将减法转化为加法，左右两边同加x，得到：6.4+x=50 根据等式的性质，左右两边同时减6.4。 突破点四：复杂的比例方程 ①（3x+2）∶5=2x∶3 解： 3×（3x+2）=5×2x 9x+6=10x 9x+6-9x=10x-9x x=6 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：3×（3x+2）=5×2x； 去括号整理，得到：9x+6=10x； “两边同加未知数，则同减较小的”，左右两边同减9x。 ② x∶2.7=（16-x）∶0.9 解： 2.7×（16-x）= 0.9x 43.2-2.7x=0.9x 43.2-2.7x+2.7x=0.9x+2.7x 3.6x=43.2 3.6x÷3.6=43.2÷3.6 x=12 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得： 2.7×（16-x）= 0.9x； 去括号整理，得到：43.2-2.7x=0.9x； “一边加未知数一边减未知数，同加做减数的未知数”，左右两边同加2.7x，得到：3.6x=43.2； 根据等式的性质，左右两边同时除以3.6。 ③（2-x）∶5 = 3∶20 （*验算） 解： 20×（2-x）=5×3 20×（2-x）÷20=15÷20 2-x=0.75 2-x+x=0.75+x x+0.75-0.75=2-0.75 x=1.25 【分析】：外项积=内项积，把比例转化为方程，可得：20×（2-x）=5×3； 根据等式的性质，左右两边同时除以20，可得：2-x=0.75； “-x”，将减法转化为加法，左右两边同加x，得到：0.75+x=2； 左右两边再同时减0.75。 【验算】：把x=1.25代入原比例， 左边=（2-1.25）∶5=0.75÷5=0.15 右边=3÷20=0.15 左边=右边，比例成立，所以x=1.25是原比例的解。 突破点五：解决实际问题 1． 甲烧杯装有浓度为6%的酒精200克，乙烧杯装有浓度为10.5%的酒精100克。现向两个烧杯各加入x克水后，两个烧杯中酒精浓度相同。问x的值为（ ）。 A. 350 B. 400 C. 550 D. 600 【答案】：D 【分析】：“现向两个烧杯各加入x克水后，两个烧杯中酒精浓度相同”，根据“浓度=溶质质量÷溶液质量×100%”可得等量关系： ，加水不加酒精，前后纯酒精质量不变。其中： 甲杯：“甲烧杯装有浓度为6%的酒精200克”，根据“溶质质量=溶液质量×浓度”可得， 甲杯纯酒精=（200×6%）g，甲杯现酒精溶液=甲杯原酒精溶液+x=（200+x）g； 乙杯：“乙烧杯装有浓度为10.5%的酒精100克”，根据“溶质质量=溶液质量×浓度”可得， 乙杯纯酒精=（100×10.5%）g，乙杯现酒精溶液=乙杯原酒精溶液+x=（100+x）g。 综上，可得方程：。 （200+x）×100×10.5%=（100+x）×200×6% （200+x）×10.5=（100+x）×12 2100+10.5x=1200+12x 2100+10.5x-10.5x=1200+12x-10.5x 1.5x+1200=2100 1.5x+1200-1200=2100-1200 1.5x=900 1.5x÷1.5=900÷1.5 x=600 所以，向两个烧杯各加入600克水后，两个烧杯中酒精浓度相同，故选D。 2． 一个长方形，用垂直于长和宽的两条线分成四块（如图），其中三块面积分别是12、15、24平方米，则第四块的面积是（ 30 ）平方米。 12 15 24 【答案】：30 【分析】：将长方形分成四块，进行编号，如下图所示： 观察图形可得：S①=AE×AF=12，S③=AE×FD=24 S①∶S③=（AE×AF）∶（AE×FD）=AF∶FD=12∶24=1∶2； S②=EB×AF=15，S④=EB×FD S②∶S④=（EB×AF）∶（EB×FD）=AF∶FD=1∶2；据此可得等量关系： S①∶S③=S②∶S④，设第四块的面积是x平方米，根据等量关系得方程：12∶24=15∶x。 【详解】： 解：设第四块的面积是x平方米。 12∶24=15∶x 12x=24×15 12x÷12=24×15÷12 x=30 所以第四块的面积是30平方米。 3． 某天同一时刻同一地点分别测量了两棵高度不同的树的高度和影子长度，如图比较矮的树高4米，比较高的树高度是（ ）米。 【答案】：5.6 【分析】：“太阳下，同一时刻、同一地点，物体的实际高度和影长的比值相等”，据此解答。 等量关系：。 由图可知，矮树高4米，影长5米，高树影长7米，求高树的高。设高数的高是x米，根据等量关系得方程：。 【详解】： 解：设比较高的树高度是x米。 5x=4×7 5x÷5=28÷5 x=5.6 所以比较高的树高度是5.6米。 4． 小明去西安兵马俑游玩，买了一个秦代将军模型（如下图）。已知该人物模型的高度与实际高度的比是1∶10。请问这个将军俑的实际高度是多少米？（用比例解答） 【答案】：1.95 【分析】：由题可得等量关系：； 由图可知，该人物模型高度是19.5cm，求实际高度。注意单位换算，19.5cm=0.195m，设这个将军俑的实际高度是x米，根据等量关系得方程：。 【详解】：19.5cm=0.195m 解：设这个将军俑的实际高度是x米。 x=0.195×10 x=1.95 答：这个将军俑的实际高度是1.95米。 5． 有一个甘蔗榨汁机，可以用500克的甘蔗榨出150克的甘蔗汁，现在有10千克的甘蔗，可以榨出多少克甘蔗汁？（用比例解答） 【答案】：3000 【分析】：同一个甘蔗榨汁机，每克甘蔗能榨出的甘蔗汁的质量是一定的，即榨出的甘蔗汁质量÷甘蔗质量=每克甘蔗能榨出的甘蔗汁质量（一定），比值一定，则榨出的甘蔗汁质量与甘蔗质量成正比例，据此得等量关系：。 注意单位换算，10千克=10000克。设10千克的甘蔗可以榨出x克甘蔗汁，根据等量关系得方程：。 【详解】： 解：设10千克的甘蔗可以榨出x克甘蔗汁。 500x=150×10000 500x÷500=150×10000÷500 x=3000 答：10千克的甘蔗，可以榨出3000克甘蔗汁。 6． 配制一种药液，药粉和水的质量比是3∶40。（用比例解答） （1） 用800克水配制这样的药液需要药粉多少克？ （2） 300克药粉需加水多少克？ 【答案】：（1）60；（2）4000 【分析】：由题可得等量关系：。 （1） 已知水质量是800克，求药粉质量，设需要药粉x克，根据等量关系得方程：； （2） 已知药粉质量是300克，求水质量，设需加水x克，根据等量关系得方程：。 【详解】： （1） 解：设用800克水配制这样的药液需要药粉x克。 40x=3×800 40x÷40=3×800÷40 x=60 答：用800克水配制这样的药液需要药粉60克。 （2） 解：设300克药粉需加水x克。 3x=300×40 3x÷3=300×40÷3 x=4000 答：300克药粉需加水4000克。 7． 一种大豆，每25千克可以榨油5.5千克。照这样计算（用比例解答） （1）30吨大豆可以榨油多少吨？ （2）要榨22吨油，需要这样的大豆多少吨？ 【答案】：（1）6.6；（2）100 【分析】：由题可知，出油率是一定的，即油的质量÷大豆质量=出油率（一定），比值一定，所以油的质量和大豆质量成正比例，据此得等量关系：。 （1） 已知大豆质量，求油的质量。设可以榨油x吨，根据等量关系得方程：； （2） 已知油的质量，求大豆质量。设需要这样的大豆x吨，根据等量关系得方程：。 【详解】： （1）解：设30吨大豆可以榨油x吨。 25x=30×5.5 25x÷25=30×5.5÷25 x=6.6 答：30吨大豆可以榨油6.6吨。 （2）解：设榨22吨油，需要这样的大豆x吨。 5.5x=22×25 5.5x÷5.5=22×25÷5.5 x=100 答：要榨22吨油，需要这样的大豆100吨。 8． 一辆运货汽车从甲地到乙地，2小时行驶了120km。按这样的速度，从甲地到乙地需要5小时才能到达，甲乙两地相距多远？（用比例解答） 【答案】：300 【分析】：“按这样的速度”，说明汽车速度一定，即路程÷时间=速度（一定），比值一定，所以路程和时间成正比例，据此得等量关系：。 已知从甲地到乙地需要5小时，求甲乙两地的距离，设甲乙两地相距x千米，根据等量关系得方程：。 【详解】： 解：设甲乙两地相距x千米。 2x=120×5 2x÷2=120×5÷2 x=300 答：甲乙两地相距300千米。 9． 学校图书馆的科技书与故事书各有360本，还需添置多少本故事书，才能使科技书和故事书的本数比达到2∶3？（用比例解答） 【答案】：180 【分析】：添置若干本故事书后，科技书和故事书的本数比达到2∶3，据此得等量关系： 。已知故事书和科技书原各有360本，且科技书前后不变，设添置x本故事书，根据等量关系得方程：。 【详解】： 解：设还需添置x本故事书，才能使科技书和故事书的本数比达到2∶3。 2×（360+x）= 360×3 2×（360+x）÷2=360×3÷2 360+x=540 360+x-360=540-360 x=180 答：还需添置180本故事书，才能使科技书和故事书的本数比达到2∶3。 10． 某小区发生了一起盗窃事件，犯罪嫌疑人在犯罪现场留下了一个长24cm的足印。经过周密的侦查，警察锁定了四名犯罪嫌疑人，下表是这四名犯罪嫌疑人的身高信息。请你协助警察判断出这四人中谁的嫌疑最大。（提示：成年人的足长与身高的比大约是1∶7） 犯罪嫌疑人 王某 张某 刘某 李某 身高/cm 180 175 169 160 【答案】：刘某的嫌疑最大 【分析】：由题可知，成年人的足长与身高的比大约是1∶7，据此得等量关系：。 犯罪嫌疑人足长是24cm，设犯罪嫌疑人身高是xcm，根据等量关系得方程：。 求出犯罪嫌疑人的身高后，和四人的身高进行比较，最接近者嫌疑最大。 【详解】： 解：设犯罪嫌疑人的身高约是x厘米。 x=24×7 x=168 表格中四人，刘某的身高是169cm，最接近168cm，所以刘某的嫌疑最大。 答：刘某的嫌疑最大。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第四单元比例·解比例篇 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 3、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 2 比例各部分名称 2 比例的基本性质 2 解比例的概念 2 典例分析 3 专题突破 8 突破点一：比号式 8 突破点二：分数式 9 突破点三：混合式 11 突破点四：复杂的比例方程 12 突破点五：解决实际问题 13 常用知识点 1． 比例各部分名称 比例各部分名称：组成比例的四个数，叫作比例的项。 两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 比号形式 分数形式 比例写成分数形式： 左边的分子和右边的分母是外项； 左边的分母和右边的分子是内项。 12 × 4 = 6 × 8 2． 比例的基本性质 比例式→乘积式：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 用字母表示（a、b、c、d均不为0） 如果a∶b=c∶d，则ad=bc。 ad = bc 外项积=内项积 如果，则ad=bc。 ad = bc 交叉相乘积相等：等号两边的分子、分母交叉相乘，积相等。 3． 解比例的概念 事项 概念 依据 解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项，求比例中的未知项，叫作解比例。 比例的基本性质 （1）解比例的方法。 解比例时，务必分清内外项，利用比例的基本性质，先把比例转化为乘积式（即方程），再根据等式的性质解方程，求出未知项的值。 （2）常用的2种验算方法。 ①根据比例的意义→看比值，比值相等说明计算正确； ②根据比例的基本性质→看外项积是否等于内项积，相等说明计算正确。 （3）注意事项。 ①要写“解”； ②等号要对齐； ③一般把含x的乘积写在等号左侧。 （4）常见类型。 第一种类型：比号式 第二种类型：分数式 第三种类型：混合式 第四种类型：复杂的比例方程 第五种类型：解决实际问题 典例分析 9∶0.5 = x∶ →比号式比例方程 →外项积=内项积 解： 0.5x = 9× 0.5x = 6→等式的性质 0.5x÷0.5 = 6÷0.5 x = 12等号对齐 【验算】：把x=12代入原比例，左边=9∶0.5=9÷0.5=18，右边=12∶=12÷=18，左边=右边，比例成立，所以x=12是原比例的解。 = →交叉相乘积相等 →分数式比例方程 解： 42%x = 6.3×0.9 0.42x = 6.3×0.9→等式的性质 0.42x÷0.42 = x = 13.5 【验算】：把x=13.5代入原比例，左边==6.3÷13.5=，右边==42%÷0.9=，左边=右边，比例成立，所以x=13.5是原比例的解。 →混合式比例方程 15∶x = →统一形式 解： = →交叉相乘积相等 4.8x = 15×9.6→等式的性质 4.8x÷4.8 = x = 30 【验算】：将x=30代入原比例，左边=15∶30=15÷30=，右边==4.8÷9.6=，左边=右边，比例成立，所以x=30是原比例的解。 →复杂的比例方程 （5x+4）∶（9x-6）= 4 : 5→外项积=内项积 解： （5x+4）×5 =（9x-6）×4 25x+20 = 36x-24 25x+20-25x = 36x-25x-24 11x-24 = 20→等式的性质 11x-24+24 = 20+24 11 x ÷11=（20+24）÷11 x = 4 【验算】：将x=4代入原比例，左边=（5×4+4）∶（9×4-6）=24∶30=，右边=4∶5=，左边=右边，比例成立，所以x=4是原比例的解。 解决实际问题 一般步骤： ①找→数量关系：找出题中三个量，判断哪个量是不变量，判断其余两个量成什么比例关系。 正比例：比值一定 反比例：乘积一定 ②设→建立等量关系，并设等量关系中的未知数为x ③列→列比例方程 ④化→比例式转化为乘积式 ⑤解→解方程 ⑥验→检验x的值 ⑦答→写答语 例1：相同质量的水和冰的体积之比是9∶10。一块体积是50dm³的冰，化成水后的体积是多少？ 【分析】：“相同质量的水和冰的体积之比是9∶10”，据此可得等量关系： 水体积∶冰体积=9∶10；已知冰体积是50dm³，求化成水后的体积，设所求为xdm³，根据等量关系得方程：x∶50 = 9∶10。 【详解】： 解：设化成水后的体积是x立方分米。 x∶50 = 9∶10 10x = 450 10 x÷10 = 450÷10 x = 45 答：化成水后的体积是45立方分米。 【检验】：一块体积50dm³的冰，化成水后的体积是45dm³,则相同质量下，水体积∶冰体积=45∶50=9∶10，符合题意。 例2：某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？ 【分析】：太阳下，同一时刻、同一地点，物体的实际高度和影长的比值相等。 “把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米”，据此可得等量关系： 实际高度∶影长=3∶1.2；已知塔影长7.2m，求塔的实际高度，设所求为x米，根据等量关系得方程：x∶7.2 = 3∶1.2。 【详解】： 解：设这座水塔的高是x米。 x∶7.2 = 3∶1.2 1.2x = 7.2×3 1.2x÷1.2 = x = 18 答：这座水塔的高是18米。 【检验】：3米长的竹竿，影长1.2米，实际高度是影长的3÷1.2=2.5倍； 同一时间，水塔实际高度18米，影长7.2米，实际高度是影长的18÷7.2=2.5倍，符合题意。 例3：中国空间站在太空中绕地球运行6周大约需要9小时，运行15周大约要用多长时间？ 【分析】：题中涉及运行周数、总时间和运行一周所需时间三个量，且运行一周所需时间是一定的，即：，比值一定，总时间和运行周数成正比例。 等量关系： 设运行15周大约要用x小时，根据等量关系得方程：。 【详解】： 解：设运行15周大约需要x小时。 6x=9×15 6x÷6=9×15÷6 x=22.5 答：运行15周大约要用22.5小时。 【检验】：运行6周需要9小时，则运行一周需要9÷6=1.5小时，现运行22.5小时，运行周数是22.5÷1.5=15（周），符合题意。 例4：小东家的客厅是正方形，用边长0.6m的方砖铺地，正好需要100块。如果改用边长0.5m的方砖铺地，需要多少块? 【分析】：题中涉及一块砖的面积、砖的块数和客厅面积三个量，且客厅总面积是一定的，即：一块砖的面积×块数=客厅面积（一定） ，乘积一定，一块砖的面积和砖的块数成反比例。 等量关系：0.6×0.6×100=0.5×0.5×砖的块数 设改用边长0.5m的方砖铺地需要x块，根据等量关系得方程：0.6×0.6×100=0.5×0.5x。 【详解】： 解：设改用边长0.5m的方砖铺地需要x块。 0.5×0.5x=0.6×0.6×100 0.25x=36 0.25x÷0.25=36÷0.25 x=144 答：改用边长0.5m的方砖铺地需要144块。 【检验】：边长0.6m的方砖铺地，一块面积是0.6×0.6，需要100块，客厅面积是0.6×0.6×100=36（m²），现需要方砖144块，则一块方砖面积是36÷144=0.25（m²），0.25=0.5×0.5，此时方砖边长是0.5m，符合题意。 专题突破 突破点一：比号式 ①x∶=70∶6 ②0.375∶x=∶60% （*验算） ③∶2.5x=60%∶20 ④∶x=30%∶10.8 ⑤1.5∶8=0.5∶x （*验算） ⑥1.25∶0.25=x∶16 ⑦5∶x=∶6 ⑧∶=x∶ 突破点二：分数式 ① ② ③ ④ ⑤ （*验算） ⑥ ⑦ （*验算） ⑧ 突破点三：混合式 ①7∶8= （*验算） ②0.5∶x= ③x∶8 ④8∶7.5 （*验算） ⑤=（8-x）∶ ⑥0.8∶ 突破点四：复杂的比例方程 ①（3x+2）∶5=2x∶3 ② x∶2.7=（16-x）∶0.9 ③（2-x）∶5 = 3∶20 （*验算） ④（x+0.5）∶=（x-4）∶ 突破点五：解决实际问题 1． 甲烧杯装有浓度为6%的酒精200克，乙烧杯装有浓度为10.5%的酒精100克。现向两个烧杯各加入x克水后，两个烧杯中酒精浓度相同。问x的值为（ ）。 A. 350 B. 400 C. 550 D. 600 2． 一个长方形，用垂直于长和宽的两条线分成四块（如图），其中三块面积分别是12、15、24平方米，则第四块的面积是（ ）平方米。 12 15 24 3． 某天同一时刻同一地点分别测量了两棵高度不同的树的高度和影子长度，如图比较矮的树高4米，比较高的树高度是（ ）米。 4． 小明去西安兵马俑游玩，买了一个秦代将军模型（如下图）。已知该人物模型的高度与实际高度的比是1∶10。请问这个将军俑的实际高度是多少米？（用比例解答） 5． 有一个甘蔗榨汁机，可以用500克的甘蔗榨出150克的甘蔗汁，现在有10千克的甘蔗，可以榨出多少克甘蔗汁？（用比例解答） 6． 配制一种药液，药粉和水的质量比是3∶40。（用比例解答） （1） 用800克水配制这样的药液需要药粉多少克？ （2） 300克药粉需加水多少克？ 7． 一种大豆，每25千克可以榨油5.5千克。照这样计算（用比例解答） （1）30吨大豆可以榨油多少吨？ （2）要榨22吨油，需要这样的大豆多少吨？ 8． 一辆运货汽车从甲地到乙地，2小时行驶了120km。按这样的速度，从甲地到乙地需要5小时才能到达，甲乙两地相距多远？（用比例解答） 9． 学校图书馆的科技书与故事书各有360本，还需添置多少本故事书，才能使科技书和故事书的本数比达到2∶3？（用比例解答） 10． 某小区发生了一起盗窃事件，犯罪嫌疑人在犯罪现场留下了一个长24cm的足印。经过周密的侦查，警察锁定了四名犯罪嫌疑人，下表是这四名犯罪嫌疑人的身高信息。请你协助警察判断出这四人中谁的嫌疑最大。（提示：成年人的足长与身高的比大约是1∶7） 犯罪嫌疑人 王某 张某 刘某 李某 身高/cm 180 175 169 160 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$