安徽省阜阳市颍州区阜阳实验中学2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025 学年度第一学期期末考试 八年级数学试题卷答案 一、选择题 1~~5 CDABD 6~~10 DABBD 二、填空题 11. x ≠2 12. 5 2 13. 30 14. 14 3 三、解答题 15. （1） π − 1 0 − 3 × −2 −2 + 1 − 2 = 1 − 3 × 14 + 2 − 1 =− 3 4 + 2 （2） 2� �2� − ��2 + �� �� − �2 ÷ �2� = 2�3� − 2�2�2 + �2�2 − �3� ÷ �2� = �3� − �2�2 ÷ �2� = � − � 16.(1)证明:.:BC⊥AB,∴∠ABC=90°.∴∠C+∠BAC=90° .∵AD 是△ABE的角平分线，∠BAC=1 2 ∠EAB. ∠ C+ 1 2 ∠EAB=90° .即 2∠C+∠EAB=180°. .:2∠1+∠EAB=180°,∴∠1=∠C,∴EF‖BC. .(2)解:∵∠ABC=90°,∠C=72°,∴∠BAC=18°. ∵AD平分∠BAE,∴∠EAD=∠BAC=18°. ∠ADE=∠BDC, ∴∠EAD+∠AED=∠C+∠CBE. .即 18°+78°=72°+∠CBE.∴∠CBE=24°. 17.解： （1）如图所示，△A1B1C1即为所求作三角形。 （2）如图所示，点 P即为所求作的点。 18.解：(1)10 以内的“希尔伯特”数有 0, 1, 3, 4, 7, 9（任填 2个） (2)设第一个奇数为 2n-1，第二个奇数为 2n+1， 则“希尔伯特”数为(2n+1)2+(2n-1)2-(2n+1)(2n-1)(n 为自然数) ∵(2n+1)2+(2n-12-(2n+1)(2n-1)=4n2+3 ∵4n2能被 4整除， ∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被 4除余 3。 19.(1)证明:∵DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F, ∴∠AED=∠CFD=90°. ∵ D 为 AC 的中点,∴AD=CD. 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中, AD=CD, DE=DF, ∴ Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). ∴ ∠A =∠ACB.∴AB =BC. ∵AB=AC,∴AB=AC=BC. ∴△ABC 是等边三角形. (2)解:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB=∠ABC=60°. ∴∠ACB =∠G+∠CDG=60°. ∵CD=CG,∴∠G=∠CDG=30°. ∵ D 为 AC 的中点,∴BD 平分∠ABC. ∴ ∠DBC=30°.∴ BD =GD. ∵DF⊥BC,∴BF=FG=3. ∵∠DFC=90°,∠ACB=60°, ∴∠CDF=30° CF= 1 2 CD= 1 2 CG. FG= 3 2 CG=3 ∴CG=2. 20.解：(1) 设乙图书每本价格为 x元， 则甲图书每本价格是 2.5x 元， 根据题意可得： 800 � − 800 2.5� = 24, 解得：x=20, 经检验得：x=20 是原分式方程的解，且符合题意. 则 2.5x=50, 答： 甲图书每本价格是 50 元， 乙图书每本价格为 20 元； (2)设购买甲图书本数为 a， 则购买乙图书的本数为：2a+8, 故 50a+20(2a+8)≤1060, 解得：a≤10, 故 2a+8≤28, 答： 该图书馆最多可以购买 28 本乙图书. 21.(1)证明: ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ABD=∠ACD, ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD, ∴∠DBC=∠DCB, ∴BD=CD. 在△ABD 与△ACD 中, AB=AC,∠ABD=∠ACD，BD=CD, ∴△ABD≌△ACD(SAS), ∠BAD= 1 2 ∠BAC=∠CAD=40°, ∵∠ADE 是△ABD 的外角, ∴∠ADE=∠BAD+∠ABD =60°, ∵∠BAC=80°, ∴∠ABC=∠ACB=50°, ∴∠DBC=∠DCB=30°, ∴∠EDC =∠DBC+∠DCB=60°, ∴∠ADE=∠EDC, ∴DE 平分∠ADC. (2)DE=AD+BD, 理由如下:在 DE 上取点 F, 使 DF= DA, 连接 AF. ∵AB=AE, ∴∠ABE=∠E, ∵DA=DF, ∠ADE=60°, ∴△ADF 为等边三角形， ∴∠ADF=∠AFD=60°, ∴∠ADB=∠AFE=120°. 在△ABD 与△AEF 中, ∴△ABD≌△AEF(AAS). ∴BD= EF, ∵DE=DF+EF, ∴DE=AD+BD. 22. 解: (1) 设(a=2023-x,b=x-2025,则 a+b=(2023-x)+(x-2025)=-2, a2+b2=10. 所以(2023-x)(x-2025 = ab = 1 2 [(a+b) 2 -(a 2 +b 2 )]=-3. (2) 因为 AB=20,BC=12,BE=DF=x,所以 FC=20-x,EC=12-x. 因为长方形 CEPF 的面积为 160,所以 FC·EC=(20-x)(12-x)=160. 设 20-x=a,12-x=b,则 a-b=(20-x)-(12-x)=8. 所以阴影部分的面积和为： FC2+EC2=(20-x)2+(12-x)2=a2+b2=(a-b)2+2ab=82+2×160=384. 23. （1）C（-1,4）； (2)OA = CD +OD.理由: ∵ △ABC 是等腰直角三角形, ∴BA = BC,∠ABC = 90°,∴∠ABO +∠CBD = 90°. ∵ ∠ABO + ∠BAO = 90°, ∴∠CBD = ∠BAO,可证△ABO≌△BCD(AAS), ∴OB = CD,OA = BD, 而 BD = OB + OD = CD +OD, ∴OA = CD +OD; (3)CF= 1 2 AE.理由： 如图,CF 和 AB 的延长线相交于点 D, ∴ ∠CBD = 180° - ∠ABC = 90° ∴ ∠BCD + ∠D = 90°. ∵CF ⊥x 轴,∴∠DAF + ∠D = 90°, ∴ ∠BCD = ∠DAF. 在△ABE 和△CBD 中, ∠ABE=∠CBD，AB=CB,∠BAE=∠BCD, ∴ △ABE ≌△CBD(ASA),∴AE = CD. ∵x 轴平分∠BAC,CF ⊥x 轴, ∴∠CAF = ∠DAF,∠AFC = ∠AFD, 又 AF = AF, ∴△ACF ≌ △ADF(ASA). ∴CF=DF, ∴ CF= 1 2 CD= 1 2 AE.