江西省南昌市南昌一中联考2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

初二数学试卷 第 1页，共 6页 2024-2025学年第一学期期末阶段性学习质量检测 初二数学试卷 说明: 1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分 120分，考试时间 100分钟。 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。 一、选择题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 1.我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校 园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是( ) A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 2.下列计算正确的是( ) A. 3� + 2�2 = 5�3 B. �10 ÷ �5 = �2 C. �4 ⋅ �3 = �12 D. (�3)4 = �12 3.下列各式中，能用完全平方公式计算的是( ) A. (2� − 3�)( − 2� − 3�) B. (� + 3�)(� + 3�) C. (� − 3�)(� + 3�) D. (3� − 4�)(4� + 3�) 4.如图，小敏做了一个角平分仪����，其中�� = ��，�� = ��，将仪器上 的点�与∠���的顶点�重合，调整��和��，使它们分别落在角的两边上，过 点�，�画一条射线��，��就是∠���的平分线.此角平分仪的画图原理是( ) A. ��� B. ��� C. ��� D. ��� 5.根据下列表格信息，�可能为( ) � … −2 −1 0 1 2 … � … 0 ∗ ∗ 无意义 ∗ … A. �+2 �−1 B. �−2 �+1 C. �+2 �+1 D. �−2 �−1 6.如图，点�是∠���内任意一点，且∠��� = 40°，点�和点� 分别是射线��和射线��上的动点，当△ ���周长取最小值时， 则∠���的度数为( ) A. 140° B. 100° C. 50° D. 40° 初二数学试卷 第 2页，共 6页 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 7.分式 � �+2 有意义的�的取值范围是_______________ 8.计算：( − 5�4) ⋅ ( − 6��3) =________． 9.如图所示，已知�� = ��，�� = ��.如果�� = 8， �� = 2，�� = ． 10.如图，在△ ���中，�，�分别是��，��上的点，连接��并延长交��的延长 线于点�，若∠� = 45°，∠� = 50°，∠� = 26°，则∠���的度数为______°. 11.“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站 30 里 的书院参观，学生步行出发 1 小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的 1.5 倍， 孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时�里，则可列方程为 ______． 12.如图，△ ���是等腰三角形，�� = ��，∠� = 20°，��平分∠���；点� 是射线��上一点，如果点�满足△���是等腰三角形，那么∠���的度数是 ______． 三、简答题（本大题共 5小题，每小题 6分，共 30分） 13.（1）计算：(2�2)3 − �2·�4 （2）化简：(� + 2)(� − 2) − (� − 1)(� + 6)． 14.因式分解： (1)�2 − 16�2 (2)3�2 − 6�� + 3�2． 15.如图，在△ ���中，�� = ��，∠��� = 120°，�是��边上的中点，若�� = 3，求�� 的长． 初二数学试卷 第 3页，共 6页 16.下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： �−3 �−2 + 2 = 1 2−� 解：方程两边同乘______， 得� − 3 + 2(� − 2) =− 1 第一步 去括号，得� − 3 + 2� − 4 =− 1 第二步 移项、合并同类项，得 3� = 6 第三步 解得，� = 2 第四步 则原分式方程的解为� = 2 第五步 (1)第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，依据是______． (2)小明在反思上述解答过程时，发现缺少了一步，请将其补充完整． 17.如图是 4 × 4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，仅用无刻度直尺．．．．．在图①和 图②中按要求作图． (保留作图痕迹)． (1)在图①中作锐角三角形���，使点�在格点上； (2)在图②中的线段��上作点�，使��最短． 解答题（本大题共 3小题，每小题 8分，共 24分） 18.已知多项式� = �� − 3，� = 2� + �，�与�的乘积中不含有�项，常数项是−3． (1)求�，�的值． (2)求� ⋅ � − �2的值． 19.已知� − � − 1 = 0，求代数式3(�−2�)+3� �2−2��+�2 的值． 初二数学试卷 第 4页，共 6页 20.学习了公式法�2 ± 2�� + �2 = (� ± �)2后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式�2 + 4� + 3 因式分解：_____ �2 + 4� + 3 = �2 + 4� + 4 − 1 = (� + 2)2 − 1 = (� + 2 + 1)(� + 2 − 1) = (� + 3)(� + 1)． ②求多项式�2 + 4� + 3 的最小值． 由①，得�2 + 4� + 3 = (� + 2)2 − 1，因为(� + 2)2 ≥ 0，所以(� + 2)2 − 1 ≥− 1.所 以当� =− 2 时，�2 + 4� + 3 的值最小，且最小值为−1． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式�2 + 4� − 21 因式分解； (2)求多项式�2 + 8� − 15 的最小值． 五、解答题（本大题共 2小题，每小题 9分，共 18分） 21.(本小题 9 分) 观察以下等式： 第 1 个等式：1 3 × (1 + 2 1 ) = 2 − 1 1 ， 第 2 个等式：3 4 × (1 + 2 2 ) = 2 − 1 2 ， 第 3 个等式：5 5 × (1 + 2 3 ) = 2 − 1 3 ， 第 4 个等式：7 6 × (1 + 2 4 ) = 2 − 1 4 ． 第 5 个等式：9 7 × (1 + 2 5 ) = 2 − 1 5 ． ⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第 7 个等式：______； (2)写出你猜想的第�个等式：______(用含�的等式表示)，并证明． 初二数学试卷 第 5页，共 6页 22.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在 该书的第 2 卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几 何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出 的代数公式，(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号) 公式①：(� + � + �)� = �� + �� + �� 公式②：(� + �)(� + �) = �� + �� + �� + �� 公式③：(� − �)2 = �2 − 2�� + �2 公式④：(� + �)2 = �2 + 2�� + �2 图 1 对应公式____，图 2 对应公式____，图 3 对应公式____，图 4 对应公式____． (2)如图 6，在等腰直角三角形���中，∠��� = 90°，�为��的中点，�为边��上任意一 点(不与端点重合)，过点�作�� ⊥ ��于点�，作�� ⊥ ��于点�，过点�作��//��交�� 的延长线于点�.记△ ���与△ ���的面积之和为�1，△ ���与△ ���的面积之和为�2． ①若�为边��的中点，则�1 �2 的值为____； ②若�不为边��的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不 成立，请说明理由． 初二数学试卷 第 6页，共 6页 四、解答题（本大题共 12分） 23.回答问题 【初步探索】 (1)如图 1：在四边形����中，�� = ��，∠� = ∠��� = 90°，�、�分别是��、��上的 点，且�� = �� + ��，探究图中∠���、∠���、∠���之间的数量关系．小王同学探究 此问题的方法是：延长��到点�，使�� = ��.连接��，先证明△ ��� ≌△ ���，再证明 △ ��� ≌△ ���，可得出结论，他的结论应是_________________； 【灵活运用】 (2)如图 2，若在四边形����中，�� = ��，∠� + ∠� = 180°. �、�分别是��、��上的 点，且�� = �� + ��，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图 3，已知在四边形����中，∠��� + ∠��� = 180°，�� = ��，若点�在��的延 长线上，点�在��的延长线上，如图 3 所示，仍然满足�� = �� + ��，请写出∠���与 ∠���的数量关系，并给出证明过程． 2024－2025 学年第一学期期末终结性学习质量检测 初二数学参考答案及评分建议 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1.   2.   3.   4.   5.   6.   二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7.   8.   9.   10.   11.   12. 、或  三、简答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13.（1） 解： ……………………1 ……………………2 ． ……………………3 （2） 解：原式 ……………………1 ，  ……………………3 14. 解：； ……………………3 ……………………1 ．   ……………………3 15. 解：，， ， ……………………2 是边上的中点， ， ……………………4 ， ， 的长为．  ……………………6 16.     化分式方程为整式方程  等式的基本性质 ……………………3 缺少 检验  ……………………4 经检验x=2不是原方程的解，原方程无解。 ……………………6 17. （评分建议：每小题“作图”正确给 2 分，“答”给 1 分） 【小题】 解：如图，即为所求答案不唯一．  ……………………3 【小题】 如图，点即为所求．  ……………………6  四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18. 解：，， ，……………………2 与的乘积中不含有项，常数项是， ，， 把，代入，可得， 故；； ……………………4 根据可知，，， ， ……………………6 ．  ……………………8 19. 解：原式 ……………………2 ，……………………4 ， ，……………………6 原式．……………………8   20. 解： ……………………2 ；……………………4 ， ……………………6 ， ， 多项式的最小值． ……………………8 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21. 解：……………………3 ．……………………6 证明：因为左边右边， 所以等式成立． ……………………9 22.，，，；……………………4 解：；……………………6 不为边的中点时中的结论仍成立，证明如下： 设，， 由已知可得、、、是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，，，， ， ， ． ……………………9 六、解答题（本大题共 12 分） 23. 解：；……………………2 仍成立，理由：……………………2 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， 在和中， ， ；……………………8 ， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接，……………………9 ，， ， 在和中， ，……………………10 ，， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ． ……………………12 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$