4.2一次函数与正比例函数 课件 2024-—2025学年北师大版八年级数学上册

4.2 一次函数与正比例函数 北师大版 数学 八年级 上册 1.什么是函数？ 2.函数有哪些表示方法？ 复习引入 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数. 函数的表示法： ①图象法 ②列表法 ③关系式法（解析式法） 导入新知 4.2 一次函数与正比例函数 1. 理解一次函数和正比例函数的概念；掌握一次函数和正比例函数之间的关系。 2. 经历探索过程，发展学生抽象思维能力 素养目标 3. 能根据已知条件写出一次函数表达式；进一步发展学生的数学应用能力 4.2 一次函数与正比例函数 x/kg 1 2 3 4 5 … y/cm … （1）计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表： 3.5 4 4.5 5 5.5 复习引入 （2）你能写出y与x之间的关系式吗？ 知识点 1 一次函数与正比例函数的概念 探究新知 某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm. 问题1 解：y与x之间的关系式为：y=3+0.5x. 4.2 一次函数与正比例函数 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L. （1）完成下表： 0 6 12 18 24 36 （2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ （3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ y=0.12x z = 60-0.12x 探究新知 问题2 4.2 一次函数与正比例函数 研讨以下函数关系式: (1)y=0.5x+3. (2)y=0.12x. (3)y=-0.12x+60. 它们的结构有什么特点？ 解析:1．都是含有两个变量x，y的等式. 2．x和y的指数都是1. 3．自变量x的系数都不为0. 探究新知 4.2 一次函数与正比例函数 满足这些特点的函数就是一次函数，你能用自己的语言给一次函数下个定义吗？ 若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b (k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 一次函数的定义： 探究新知 4.2 一次函数与正比例函数 一次函数 正比例函数 如：y=0.5x+3 k=0.5，b=3 如：y=0.12x 例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y=-x-4; (2)y＝5x2-6； (3)y=2πx; 是一次函数的是 ， 是正比例函数的是 （填序号） 探究新知 素养考点 1 一次函数与正比例函数的判断 4.2 一次函数与正比例函数 特别提醒： 正比例函数是特殊的一次函数 （1）（3）（4） （3） 探究新知 方法点拨 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 4.2 一次函数与正比例函数 例2 已知函数y=(m-2)x+4-m2 （1）当m为何值时，这个函数是一次函数? 解：（1）由一次函数定义可得m-2≠0，解得m≠2.即m≠2时，这个函数是一次函数. （2）由正比例函数定义可得m-2≠0且4-m2=0，解得m=-2.即m=-2时，这个函数是正比例函数. 探究新知 素养考点 2 利用一次函数的概念求字母的值 （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数? 4.2 一次函数与正比例函数 【方法点拨】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数． 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3. 探究新知 知识点 2 一次函数与正比例函数的应用 例1 4.2 一次函数与正比例函数 探究新知 4.2 一次函数与正比例函数 （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; 解：由路程=速度×时间得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. 解：由圆的面积公式得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3. 解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，因而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本. (1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式. (2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式. (3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么? 4.2 一次函数与正比例函数 素养考点 3 根据已知条件写出一次函数表达式 解:(1)y1 =x. (2)y2=0.4x+12. (3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算. 1. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ C 基础巩固题 课堂检测 4.2 一次函数与正比例函数 2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y时x的正比例函数. ≠2 =-2 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6 m3时，水费按0.6元/m3收费，每户每月用水量超过6 m3时，超过的部分按1元/ m3 收费.设每户每月用水量为x m3，应交水费y元． （ 1 ）写出每月用水量不超过6 m3和超过6 m3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数； （ 2 ）已知某户5月份的用水量为8 m3 ，求该用户5月份的水费． 课堂检测 能力提升题 （2）当x=8时，y=8-2.4=5.6（元）. 所以该用户5月份的水费为5.6元。 解：（1）不超过6 m3 时：y=0.6x； 超过6 m3 时：y=0.6×6+1(x-6)=x-2.4；y是x的一次函数； 4.2 一次函数与正比例函数 免一次作业 你的温馨提示 你的收获 数学老师的红包 数形结合 百炼成钢 開 数学老师的红包 数形结合 百炼成钢 数学老师的红包 数形结合 百炼成钢 你的疑惑 数学老师的红包 数形结合 百炼成钢 课堂小结 4.2 一次函数与正比例函数 開 開 開 一次函数与正比例函数 一次函数的简单应用 课堂小结 4.2 一次函数与正比例函数 函数是一次函数 关系式为：y=kx+b (k,b为常数，k≠0） 函数是正比例函数 关系式为：y=kx (k为常数，k≠0） 特别提醒：正比例函数是特殊的一次函数 一次函数形式：y=kx+b（k≠0） 特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数 课后作业 作业 内容 教材作业 课后习题1、2、3、4题 自主安排 选做题：同步练习提高训练 4.2 一次函数与正比例函数 $$