精品解析：黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

松雷中学2024-2025学年度上学期期末考试 高一学年数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：黄东晓 校对人：杨兵兵 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项是符合题目要求. 1. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则 A. B. C. D. 5. 已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 茶水温度/ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上的值域为 C. 函数是奇函数 D. 函数的图象可由上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移得到 11. 已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小正周期是4 C. 函数在上单调递增 D. 直线是图象的对称轴 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为_____. 13. 集合的真子集的个数是_____. 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求的值. （2）若正实数满足，求的最小值. 16. （1）化简：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值. 17. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. （1）将矩形的面积表示成关于的函数的形式； （2）求的最大值，及此时的角. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当． （1）求的值； （2）求函数的解析式，并画出的草图； （3）设函数，若有4个零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数，那么是否存在实数，使得的最小值为1，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学2024-2025学年度上学期期末考试 高一学年数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：黄东晓 校对人：杨兵兵 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项是符合题目要求. 1. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题，为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合B，再利用并集定义可得到结果. 【详解】因为集合， ， 所以， 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平方关系可得，根据商的关系，将其转化为含的式子，代入条件可得结论. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 又， 所以. 故选：B. 4. 已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出结果. 【详解】因为，所以， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关指数函数和对数函数的单调性，比较大小，属于基础题目. 5. 已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数图象性质解决即可. 【详解】由题知，幂函数， 根据幂函数图象性质特点知，幂函数图象恒过点， 所以 当时，幂函数图象过点，说明有充分性； 幂函数图象过点时，，也可以，说明无必要性； 故选：A 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 7. 若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零. 【详解】由已知当时，需， 令，则函数在上为减函数， 所以， 又函数在定义域上为增函数， 所以函数是减函数， 故在区间上的最大值是， 最小值是， 由题设得，则， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 8. 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 茶水温度/ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据确定模型，求得解析式，当，求得即可. 【详解】由表格中数据可得，茶水温度下降的速度先快后慢， 所以选①， 则即， 解得，所以， 当时，可得， 即. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AD，通过举反例判断BC，由此确定结论. 【详解】对于选项A：，∴，故，∴ ∴，即，故A正确； 对于选项B，当时， 有，，但此时，，故选项B错误； 对于选项C，当时，有，， 但此时，，故选项C错误； 对于选项D，∵，∴，故， ∴，即， 再由不等式的同项可加性，由和可得，故选项D正确. 故选：AD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上的值域为 C. 函数是奇函数 D. 函数的图象可由上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象可得，根据周期可求出，结合图象过点求出，即可判断A；根据余弦函数的性质即可判断B；根据三角函数的奇偶性即可判断C；根据周期变换和平移变换的原则即可判断D. 【详解】由图可知，，又， 所以，所以， 则， 又，所以， 所以， 又，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 所以函数在上的值域为，故B错误； 对于C，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数，即函数是奇函数，故C正确； 对于D，上所有点的横坐标变为原来的倍，得， 再向右平移，得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小正周期是4 C. 函数在上单调递增 D. 直线是图象的对称轴 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设可得，函数关于对称，且、在上单调递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性，进而判断各选项即可. 【详解】由，得，所以函数为奇函数， 由是偶函数，得函数关于对称， 则直线是图象的对称轴，故D正确； 且，则， 所以，则， 所以函数的周期为8，故B错误； 对于A，由，若，则，故A正确； 对任意的，，当时，都有， 即，所以在上递减， 结合奇函数知，函数在上递减，即函数上函数递减， 由于函数关于对称， 所以函数在上单调递增，故C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题设得到，函数关于对称，且、在上单调递减，进而判断各选项即可. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为_____. 【答案】2π 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积． 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则扇形的半径为， 面积为． 故答案为：． 13. 集合的真子集的个数是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定集合中元素的个数，即可得到真子集的个数. 【详解】由题意得，为的正因数， 故， 所以此集合的真子集个数为. 故答案为：. 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数，讨论单调性即可求解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 作出函数的图象如下，    令可得，当时，，解得或， 当时，，解得或， 所以函数的图象与直线有个交点， 分别为， 因为有四个不同的解且， 所以，且，且， ， 又因为，， 所以，即， 所以， 所以，且， 因为函数，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求的值. （2）若正实数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得是方程的两根，再利用韦达定理即可求解. （2）由（1）得正实数满足，再利用“1的代换”即可求解. 【小问1详解】 由题意得是方程的两根， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）得正实数满足， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 16. （1）化简：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的诱导公式直接化简即可； （2）由同角的三角函数平方关系计算即可； （3）由同角的三角函数的商数关系和平方关系计算即可； 【详解】（1）. （2）因为， 所以，所以， 所以， 又，故，，则， 所以. （3）因为， 所以. 17. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. （1）将矩形的面积表示成关于的函数的形式； （2）求的最大值，及此时的角. 【答案】（1）（） （2）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）借助三角函数定义及几何性质即可求解； （2）借助三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 在中，，， ，， ， ， （）； 【小问2详解】 ， ， ， 因为， ， 当，即时， 取得最大值. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当． （1）求的值； （2）求函数的解析式，并画出的草图； （3）设函数，若有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3）． 【解析】 【分析】（1）利用偶函数性质计算可得； （2）根据时的解析式，由偶函数性质可得的解析式; （3）利用图象可知与的图象有4个交点，可得. 【小问1详解】 由题意可知函数是上的偶函数， 所以，即． 又因为当，则， 所以． 【小问2详解】 因为为上的偶函数，， 当时，，所以， 故 画出函数的图象如图． 【小问3详解】 函数有4个零点等价于与的图象有4个交点． 所以， 实数的取值范围为． 19. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数，那么是否存在实数，使得的最小值为1，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由函数的定义域为，根据偶函数的定义即可求解； （2）将函数变形，令，，由基本不等式结合对数函数的单调性即可求解； （3）令，构造新函数，，根据二次函数的性质分情况讨论即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 因为函数为偶函数，所以， 所以，得； 【小问2详解】 ， 设， 所以，， 因为，所以，所以， 当且仅当，，即，时，等号成立， 所以函数的值域为； 【小问3详解】 ，，， 令，所以设，，函数的对称轴， 当，即时，在上单调递增， ，所以，得，成立， 当时，即时，在上单调递减， ，所以，得，舍去， 当时，即，函数的最小值为， 所以，得，舍去， 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $