第十六章 二次根式（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第十六章 二次根式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2．（本题3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此解答即可． 【详解】解：A、中被开方是小数，所以不是最简二次根式，故A不符合题意． B、，是最简二次根式，故B符合题意． C、，不是最简二次根式，故C不符合题意． D、，被开方数含分母，故D不符合题意． 故选：B． 3．（本题3分）下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简的方法是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则即可判断． 【详解】A、与不能合并，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、是最简二次根式，不能再化简，故不符合题意； D、，故符合题意． 故选：D 4．（本题3分）小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的除法、数学思想，根据题意确定蕴含的思想方法． 【详解】解：题目先是从特殊情况算起，再总结一般性的规律，探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般， 故选：A． 5．（本题3分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 6．（本题3分）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 7．（本题3分）对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，根据题中的新定义正确列式计算是解题的关键． 根据新定义分别求出和，然后利用平方差公式结合二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．（本题3分）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 9．（本题3分）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 10．（本题3分）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）当式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了代数式有意义的条件，根据被开方数是非负数和分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且 解得且 故答案为：且 12．（本题3分）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而可得y的值，然后代入计算即可． 【详解】由题意，要使二次根式有意义得， 解得， 故答案为： 13．（本题3分）计算：(－＋)(＋－)＝ ． 【答案】2 【详解】(－＋)(＋－)＝=5-=5-（3-2+2）=2， 故答案为2. 14．（本题3分）计算的值为 ． 【答案】2 【分析】先根据积的乘方的逆运算，再合并同类二次根式即可； 【详解】解：原式= =； 故答案为：2 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 15．（本题3分）若1＜x＜2，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵1＜x＜2，∴原式=|x﹣2|+|1﹣x|=2﹣x+x﹣1=1．故答案为1． 点睛：本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键． 16．（本题3分）已知：a＜0，化简= ． 【答案】-2 【详解】分析：首先将二次根式进行化简，然后根据二次根式的性质得出，从而求出a=－1，然后将其代入得出代数式的值． 详解：原式=，∵，∴， 解得：a=±1， ∵a＜0， ∴a=－1，  ∴原式=0－2=－2． 点睛：本题主要考查的是二次根式的化简法则，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据二次根式的性质求出a的值． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式，后计算加减即可； （2）先利用乘法公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的运算法则“除以一个数等于乘以它的倒数”把除法改写成乘法；利用平方差公式和完全平方公式将分式的分子分母分别因式分解；约分化简后，求x的值；去掉绝对值符号时注意正负，正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将x的值代入原式． 【详解】解：原式= = = = = 原式=== 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的混合运算法则和用公式法进行因式分解是解题的关键．注意最后求值的结果要分母有理化． 19．（本题6分）已知x＝，y＝，求的值． 【答案】 【分析】先化简x，y，计算出x+y，x-y，xy的值，把分式化简后，代入计算即可． 【详解】∵x＝＝＝5＋2， y＝＝＝5－2． ∴　x＋y＝10，x－y＝4，xy＝52－(2)2＝1． ＝＝＝＝． 20．（本题8分）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 21．（本题8分）通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 【答案】(1)①4，；② (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算,实数与数轴以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出； （2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简， 合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：依题意①； ； 探究：对于任意非负有理数，． 故答案为：4，； ②； 探究：对于任意负有理数，． 综上，对于任意有理数，． 故答案为：2，3，，； （2）解：观察数轴可知：，，，． ． 22．（本题9分）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 23．（本题9分）先化简，再求值：a+，其中a＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（2）=-a（a＜0）（3）2024. 【详解】试题分析：（1）根据二次根式的性质=|a|，判断出小亮的计算是错误的； （2）错误原因是：二次根式的性质=|a|的应用错误； （3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （2）=-a（a＜0） （3）原式＝a+2＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2018）＝2024. 24．（本题10分）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用前三个式子的规律解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律得，据此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：； （3）解：正确，理由如下， 由（2）的结论得， ∴． 25．（本题10分）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【答案】(1) (2) (3)选①，；选②， 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式． （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式； （2）先求出，，得到，再代入求解即可； （3）选①，将原子化成和，两式相加，进一步计算即可求解； 选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：选①， ∵， ∴， 同理， 两式得， ∴； 选②，∵ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（本题3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 5．（本题3分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 6．（本题3分）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 7．（本题3分）对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 8．（本题3分）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 9．（本题3分）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）当式子有意义，则的取值范围是 ． 12．（本题3分）若，则的值为 ． 13．（本题3分）计算：(－＋)(＋－)＝ ． 14．（本题3分）计算的值为 ． 15．（本题3分）若1＜x＜2，则 ． 16．（本题3分）已知：a＜0，化简= ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）计算： (1)； (2)． 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 19．（本题6分）已知x＝，y＝，求的值． 20．（本题8分）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 21．（本题8分）通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 22．（本题9分）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 23．（本题9分）先化简，再求值：a+，其中a＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2018． 24．（本题10分）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 25．（本题10分）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$