第03讲 导数的单调性（思维导图+3知识点+六大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第03讲 导数的单调性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：原函数与导函数间的关系】 【考点二：求不含参函数的单调区间】 【考点三：求含参函数的单调区间】 【考点四：已知函数的单调性求参数的值（范围）】 【考点五：利用单调性解不等式】 【考点六：利用单调性比较大小】 模块四 小试牛刀过关测 1.理解导数与函数的单调性的关系,提升直观想象和逻辑推理的核心素养. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法,提升逻辑推理的核心素养. 3.会用导数求函数的单调区间,提升数学运算的核心素养. 一、函数单调性和导数的关系 1、函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 二、已知函数的单调性求参数 1、函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； 2、函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； 3、已知函数在区间D内单调不存在变号零点 4、已知函数在区间D内不单调存在变号零点 三、研究函数与导函数图象之间关系的方法 1、研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致。 2、函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 【考点一：原函数与导函数间的关系】 一、单选题 1．（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图是函数的导函数的图象，则（    ） A．在区间内是常函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为（   ）    A．   B．   C．   D．   5．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点二：求不含参函数的单调区间】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D．和 2．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京通州·期中）定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 5．（23-24高二下·吉林·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【考点三：求含参函数的单调区间】 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，讨论的单调性． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 3．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 4．（2024·山东·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 6．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【考点四：已知函数的单调性求参数的值（范围）】 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林四平·期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）函数在上不单调则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 6．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【考点五：利用单调性解不等式】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数，若，则实数x的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 5．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 6．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 【考点六：利用单调性比较大小】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，若，，，则有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖北·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二下·四川南充·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设在上为增函数，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 6．（23-24高二下·山东德州·期中）设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·江苏常州·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（    ） A．有三个单调区间 B． C． D．在上单调递增，在上单调递减 11．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示．则对于任意，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）已知，则不等式的解集是 ． 13．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）函数在上的单调递增区间为 ． 14．（23-24高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间． 16．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 17．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 18．（23-24高二下·吉林延边·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 导数的单调性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：原函数与导函数间的关系】 【考点二：求不含参函数的单调区间】 【考点三：求含参函数的单调区间】 【考点四：已知函数的单调性求参数的值（范围）】 【考点五：利用单调性解不等式】 【考点六：利用单调性比较大小】 模块四 小试牛刀过关测 1.理解导数与函数的单调性的关系,提升直观想象和逻辑推理的核心素养. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法,提升逻辑推理的核心素养. 3.会用导数求函数的单调区间,提升数学运算的核心素养. 一、函数单调性和导数的关系 1、函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 二、已知函数的单调性求参数 1、函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； 2、函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； 3、已知函数在区间D内单调不存在变号零点 4、已知函数在区间D内不单调存在变号零点 三、研究函数与导函数图象之间关系的方法 1、研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致。 2、函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 【考点一：原函数与导函数间的关系】 一、单选题 1．（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系即可得解. 【详解】若要，则由图可知，， 故的单调增区间为，. 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图是函数的导函数的图象，则（    ） A．在区间内是常函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数 【答案】D 【分析】根据题意，结合导函数的图象，利用函数的单调性与的函数值间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由时，（正实数）， 则在区间内是单调递增的一次函数，所以A错误； 对于B中，当时，，当时，， 所以在区间内先增后减，所以B错误； 对于C中，当时，，在区间内是减函数，所以C错误； 对于D中，当时，在区间内是增函数，所以D正确． 故选：D. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排除法，根据的符号判断的单调性，可排除A，D；再根据导数的几何意义排除C. 【详解】观察导函数图象可知在区间先正后负，在区间先负后正， 故函数在区间内先递增后递减，在区间内先递减后递增， 结合4个选项的图象，可排除A，D； 由导函数的函数值是变化的，即函数在递减区间的斜率也是变化的，排除C， 故选：B． 4．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据导函数正负确定函数的单调性排除B,再根据导数的大小变化确定选项即可. 【详解】因为，所以单调递增，B选项错误； 又因为在单调递减，可以得出的切线斜率逐渐变小，A,C选项错误；D选项正确. 故选：D. 5．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 【考点二：求不含参函数的单调区间】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，求解的解集，即是函数的单调递减区间. 【详解】由题意得， 令，得，所以的单调递减区间为． 故选：A 2．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 4．（23-24高二下·北京通州·期中）定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】对函数求导并令，利用三角函数单调性解不等式即可求得结论. 【详解】由可得， 令, 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得； 因此可得在的单调递减区间是和. 故选：D 5．（23-24高二下·吉林·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得，所以函数的单调递增区间是. 故选：B 【考点三：求含参函数的单调区间】 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性. 【详解】由题意知：函数的定义域为，且， 令，解得或2， 当时，令，解得或；令，解得； 可知在区间和上单调递减，在区间上单调递增； 当时，令，解得；令，解得或； 可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述： 当时，在区间和上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得导数的两个零点为或，对分类讨论即可求解. 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 3．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数与单调性的关系，求出单调区间即可； （2）对含参函数求导，从而得出导数的零点，再通过对二次函数的根的讨论，得出单调区间. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2），定义域为， ，令，得或. ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减； ③当时，对恒成立，所以在单调递增； ④当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增. 4．（2024·山东·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导，结合题意有，，即可求解值； （2）对函数求导，分和两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性. 【详解】（1）因为，， 所以， 曲线在处的切线与垂直， 所以， 得； （2）由得， 当时，的定义域为， 令得， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，的定义域为， 令得 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，分，，，和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间. 【详解】（1）由，可得， 则且， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 6．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)若，讨论的单调性； 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，进而可得切线方程为，进而可得恒过原点； （2），分，，三种情况讨论可得的单调性. 【详解】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 故切线方程为，即，所以恒过原点． （2）由（1）得， ①时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 令，则 ②且，即时，，在上单调递增， 时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减， 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增； 在上单调递减． 【点睛】方法点情，利用分类讨论法是求解含参数的函数的单调区间常用的方法. 【考点四：已知函数的单调性求参数的值（范围）】 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可 【详解】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D 2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可. 【详解】 ，若函数在区间上单调递减， 即在上恒成立， 即在[1,2]上恒成立. 令，则在上单调递减，, 所以,, 即 故选：C. 3．（23-24高二下·吉林四平·期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，分和两种情况，结合在区间内存在单调减区间，求出的取值范围即可. 【详解】，， 当时，，不符合题意； 当时，令，解得， 在区间内存在单调减区间， ，解得. 实数的取值范围是. 故选：. 4．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）函数在上不单调则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在上不单调，可得在上 必有零点，利用,构造函数,再求出的取值范围. 【详解】依题意, 因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 令，令，得 , 令，则 , 当时，单调递增，又， 所以，故, 所以的取值范围是 故选：D 二、填空题 5．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导，利用导数可知的单调增区间为，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，得，可知的单调增区间为， 若函数在区间内单调递增，依题意，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 6．（23-24高二上·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数求导后，在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得. 【详解】由函数（且）在区间上单调递增， 得在区间上恒成立， 又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可， 令， 若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正； 若，则，则一次函数在区间单调递增， 所以只需，即，解得， 故答案为：. 【考点五：利用单调性解不等式】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数，若，则实数x的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断出函数 的单调性，即可根据单调性的定义解出． 【详解】因为 ， 所以 ，即在上函数 单调递增， 由 可得， ，解得 ，即 . 故选：D. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先构造函数，再求导函数判断函数的单调性，最后应用单调性解不等式即可. 【详解】令函数，因为，所以在R上单调递增． 因为，所以不等式等价于， 所以． 故选：B. 3．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得. 【详解】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题. 解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函数值等条件，利用单调性求解抽象不等式. 二、填空题 4．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式. 【详解】由得， 所以函数是R上的增函数， 又由得函数是奇函数， 则由得， 所以， 解得. 故答案为：. 5．（23-24高二下·天津北辰·期中）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，求导判断函数为单调递减，从而可得在上，在上，，求出不等式的解集即可. 【详解】令，则， 可知在上为减函数，而， 在上，，，所以 ； 在上，，，而，； 可得在上， 又因为是定义在上的奇函数，则在上，， 不等式等价于或 ，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 6．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，由题意可得在上单调递增，不等式可转化为，结合函数单调性计算即可得. 【详解】令，则有， 由在上恒成立，故在上恒成立， 即函数在上单调递增， 由，则， 即不等式可转化为， 结合函数单调性可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 【考点六：利用单调性比较大小】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系. 【详解】由可得， 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以， 即，则， 所以. 故选：D 2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，，当时，，最后利用导数得到函数的单调性即可求解. 【详解】由函数，得当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为. 当时，，，所以在上单调递减. 又，，， 所以，所以. 故选：A. 3．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得为偶函数，则，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得，，，又当时，由，可得为单调递增函数，即可得到答案. 【详解】因为函数且定义域为R，则，所以为偶函数， 因为， 则， 又，，， ，， 则，所以， 当时，因为，所以为单调递增函数， 所以. 故选：B. 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建，利用导数判断的单调性，进而可得，再结合对数函数单调性可得. 【详解】记，则， 可知在上单调递增，则，即， 可得； 又因为，则，即； 所以. 故选：B. 5．（23-24高二下·湖北·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于，扩大适当的倍数变为整数幂的形式比较即可；对于，构造函数比较大小即可 【详解】对于，同时12次方可得与，易知，所以； 对于，同时次方可得与，由题干可知，所以，即； 对于，同时取对数可得与，，，解得， 易得在单调递增，单调递减，易知，所以． 综上可得， 故选：B. 一、单选题 1．（23-24高二下·四川南充·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，令求解可得. 【详解】由题知，， 令，解得， 所以，函数的单调减区间为. 故选：C 2．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的图象得到的单调区间，从而得到的取值情况，从而得解. 【详解】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，时， 时，时， 所以不等式的解集为. 故选：C 3．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导后，求出函数的单调区间，然后根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】由，得， 当时，， 所以在上递增， 因为， 所以， 故选：A 4．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设在上为增函数，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题化为在上恒成立求参数范围. 【详解】由题意，在上恒成立，即恒成立， 而，故. 故选：D 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 6．（23-24高二下·山东德州·期中）设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助的图象，判断和的符号，从而得到答案. 【详解】由图可得：时，，单调递增，则，所以， 时，，单调递减，则，所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，，单调递减，则，所以， 时，，单调递增，则，所以， 综上：的解集为； 故选：A 7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出为偶函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案. 【详解】定义域为R， ， 所以函数为偶函数，又因为， 时，， 时，， 故， 所以在上单调递增， 则不等， 即解得:. 所以不等式的解集为. 故选：C. 8．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求导后根据已知条件可判断在上递减，从而可判断出的大小. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以在上递减， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：B 9．（23-24高二下·江苏常州·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边分别同时取对数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】由，，， 得， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：将两边分别同时取对数，构造函数是解决本题的关键. 二、多选题 10．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（    ） A．有三个单调区间 B． C． D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】CD 【分析】根据导数值与0的关系结合原函数的单调性判断各个选项即可． 【详解】对于A，由图象可以看出，的符号是先负后正，再负再正， 所以函数有四个单调区间，故A错误； 对于B，当时，，函数单调递减， 所以，故B错误； 对于C，当时， ，函数单调递增， 所以，故C正确； 对于D，当时，，函数单调递减，显然D正确． 故选：CD． 11．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示．则对于任意，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用导函数的图象和性质，进而可得的大致图象，根据原函数和导函数的单调性和凹凸性即可求解. 【详解】由导函数的图象可知，导函数的图象在轴下方，即，且其绝对值越来越小， 因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角， 故函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢，由此可得的大致图象可为： 因为，设， 所以， A选项：因为函数为减函数， 所以，即， 所以，故A正确； B选项：由导函数图象可知导函数为增函数， 所以，即， 所以，故B错误； C选项：分别作直线，与函数图象交于点，,连接， 作直线交线段于点，交函数图象于点, 所以，， 由图可知， 所以，故C正确； D选项：分别作直线，与函数图象交于点，,连接， 作直线交线段于点，交函数图象于点, 所以，， 由图可知， 所以，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）已知，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到在上单调递减，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由函数，可得成立，所以在上单调递减， 因为，可得，解得， 即实数不等式的解集为． 故答案为：. 13．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）函数在上的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】函数，求导得， 当时，由，得，解得或， 所以所求单调递增区间为，. 故答案为：， 14．（23-24高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出单调区间. 【详解】（1）当时，，求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，因此在上单调递增； 当时，由，得，单调递增，由，得，单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 16．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时定义域为， 且， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）函数的定义域为， 又， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域上恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 17．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）结合二次函数的性质，对分类讨论计算即可得. 【详解】（1）当时，， ， 所求切线方程为，整理得：； （2）， 因为，故时，在上单调递增， 当时，对于， 若，则，此时在上单调递增， 若，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 综上所述：时，在上单调递增； 时，在、上单调递增，在上单调递减. 18．（23-24高二下·吉林延边·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意可得，利用导数的几何意义得切线的斜率即可得到切线方程. （2）求出导函数，由恒成立，当，讨论即可. 【详解】（1）当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即. （2）由题其定义域为R，可得， 当时，，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 当时，由，解得， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时，在区间上，； 在区间上，； 所以在上单调递增；在上单调递减； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以在上单调递增；在上单调递减. 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