湖南省湘潭市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学 第 页 共 6页 1 2024 年下学期九年级期末考试 数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 考生注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，26 道小题．请考生将解答过程全部填（涂） 写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一．选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1．若 2 3 b a = ，则 a b a + 的值为 A． 2 3 B． 3 2 C． 5 3 D．2 2．一元二次方程 22 3x x -− = 的二次项系数和常数项分别是 A．2，－1 B．2，3 C．2，－3 D．－1，3 3．反比例函数 4 y x = − 的图象位于 A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 4．某班有 30 名男同学、20 名女同学，学校想了解该班学生的身体素质，随机抽取 10 名同学进行测试分 析，应抽取男同学 A．4 名 B．6 名 C．8 名 D．10 名 5．用配方法解一元二次方程 2 6 8 0x x+− = ，此方程可变形为 A． ( ) 2 3 1x + = B． ( ) 2 3 1x − = C． ( ) 2 6 17x + = D． ( ) 2 6 17x − = 6． 在Rt ABC△ 中， 90C = ， 5AB = ， 4AC = ，则cos B = A． 3 5 B． 4 5 C． 5 3 D． 3 4 7． 如图，已知 AB∥CD∥EF，BD∶DF＝1∶2，AC＝3，线段 AE 的长为 A．6 B．9 C．12 D．15 （第 7 题图） 班 级 姓 名 考 室 考 号 的 大 致 图 像 是 A ． B ． C ． D ． 九年级数学 第 页 共 6页 2 8．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积 v （单位： 3m ）变化时，气体的密度（单位： 3kg / m ）随之变化．已知密度与体积 v 是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是 A．函数解析式为 7 v  = B．容器内气体密度随着气体的体积 v 的增大而增大 C．当 38kg / m  时， 31.25mv  D．当 34kg / m = 时， 33mv = 9．如图，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 在 DB 上，DF＝2BF．连接 EF 并延长，与 CB 的延长 线相交于点 M．若 BM＝2，则线段 MC 的长为 A．4 B．6 C．8 D．10 （第 8 题图） （第 9 题图） （第 10 题图） 10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，点 P 将一条线段 AB 分割成长、短两条线段 AP、PB，若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与全长之比，这种分割称为黄金分割， 这个点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉 最好．若舞台 AB 长 20 米，主持人从舞台一侧 B 进入，设她至少走 x 米（BP 的长为 x 米）时恰好站在舞 台的黄金分割点上，则 x 满足的方程是 A． 2(20 ) 20x x− = B． 2 20(20 )x x= − C． 2(20 ) 20x x− = D． 220 20x x= − 二、填空题（本题共 8个小题，每小题 3分，共 24分.） 11． 已知点 ( )5, 1P − − 在反比例函数 ( )0 m y m x =  的图象上，则m 的值是________． 12．在△ABC 和△DEF 中， 4 5 DE EF FD AB BC AC = = = ，若 DE＝7cm，EF＝5cm，FD＝8cm，则△ABC 的周 长是 cm． 13．从某地某一个月中随机抽取 5 天，记录这 5 天中午 12 时的气温（单位： C ）如下：22，32，25， 13，18，据此可估计该地这一个月中午 12 时的平均气温为 C ． 14．已知方程 2 5 0x x a− + = 的一个根是 2x = ，则a 的值是 ． 15．右图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．若该传送带把某物体从地面 传送到离地面 10 米高的地方，该物体所经过的路程恰好是 20 米，那么传送带 和地面所成斜坡的坡度 i 为 (答案写成 1∶m 的形式)． 九年级数学 第 页 共 6页 3 16．如图，在△ ABC 中， AB AC= ， 40BAC = ，点 D是边 AC 上的动点（点 D不与点 ,A C 重 合），当 BDC = _____° 时， ABC BDC∽△ △ ． （第 16 题图） （第 17 题图） （第 18 题图） 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ( )1,2A ， ( )3,1B ，以点 O 为位似中心，将 OAB△ 放大为原图 形的 3 倍，则点 A 的对应点的坐标为 ． 18．如图，Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，顶点 A，B 分别在反比例函数 1 y x = （ 0x  ）与 3 y x = − （ 0x  ）的图象上，则∠BAO 的正切值为 ． 三．解答题(本大题 8 个小题，共 66分．19、20题各 6分；21、22 题各 8 分；23、24 题各 9 分；25、26 题各 10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．（本题满分 6 分）计算： 2024 01 2cos30 (2024 ) 2 tan 45− + + − −（ ） 20．（本题满分 6 分）近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变 化．某市 2022 年数字阅读市场规模为 400 万元，2024 年数字阅读市场规模为 576 万元，求该市数字阅读 市场规模的年平均增长率为多少？ y x A O B 九年级数学 第 页 共 6页 4 21．（本题满分 8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点 E是边 AC上一点，且满足 ∠ADE＝∠B． （1）求证：△ADB∽△AED． （2）若 AB＝10，AD＝6，求 AE的长． 22．（本题满分 8分）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”（如图 1），其截面示意图是轴对称图形（如图 2），对称轴是垂直于地面的支撑杆 CD，用绳子拉直 CE后系在 树干 AB上的点 A处，使得 A，E，C在一条直线上，通过调节点 A的高度可控制“天幕”的开合，若 CE＝ CF＝4米，CD⊥EF于点 O．（参考数据：sin75 0.966  ，cos75 0.259  ， tan 75 3.732  ） （1）天晴时打开“天幕”，若∠ACF＝150°，求遮阳宽度 EF；（结果保留一位小数） （2）下雨时收拢“天幕”， ∠ACF由 150°减小到 120°，求点 O下降的高度．（结果保留一位小数） 图 1 图 2 九年级数学 第 页 共 6页 5 23. （本题满分 9分）勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生们在家帮助父母做一些力所能及的家 务．在学期初，小丽同学随机调查了九年级部分同学暑假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学暑 假在家做家务的总时间为 x小时，将做家务的总时间分为五个类别： ( )0 10A x  ， ( )10 20B x  ， ( )20 30C x  ， ( )30 40D x  ， ( )40E x  ．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查所抽取的样本容量为 ；并根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图. （2）扇形统计图中m = ________，类别 D所对应的扇形圆心角的度数是________度. （3）若该校九年级共有 800名学生，根据抽样调查的结果，试估计该校九年级有多少名学生暑假在 家做家务的总时间不低于 20小时？ 24．（本题满分 9分）如图，反比例函数 1 k y x = 和一次函数 2y ax b= + 的图象相交于点 A和点 D，且点 A的横坐标为 1，点 D的纵坐标为 1− ，过点 A作 AB⊥ x 轴于点 B，△AOB的面积为 1． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）若一次函数 2y ax b= + 的图象与 x 轴相交于点 C，求∠ACO 的度数． （3）当 1 2y y 时， x 的取值范围为______________． 12 九年级数学 第 页 共 6页 6 25．（本题满分 10 分）如果关于 x 的一元二次方程 2 0ax bx c＋ ＋＝ 有两个实数根，且其中一个根是另一 个根的 2 倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程 2 3 2 0x x− ＋＝ 的两个根是 1 和 2，则这个 方程就是“二倍根方程”． （1）下列方程是“二倍根方程”的有______；（填序号即可） ① 2 6 8 0x x+ =+ ；② 2 2 0x x− = ；③ 2 3 18 0x x− =＋ ． （2）如果关于 x 的方程 2 9 0x x c− =＋ 是“二倍根方程”，求 c 的值； （3）如果点 ( )p q， 在反比例函数 2 y x ＝ 的图象上，那么关于 x 的方程 2 3 0px x q＋ ＝− 是“二倍根方 程”吗？请说明理由． （4）如果关于 x 的一元二次方程 ( )2 0 0ax bx c a= ＋ ＋ 是“二倍根方程”，试探究a b、 、c 应满足 的数量关系． 26.（本题满分10分）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知△ABC和△DEF均为等边三角 形，O是BC和DF的中点，将△DEF绕点O顺时针旋转． 猜想证明： （1）如图①，在△DEF旋转的过程中，当点D，点F在线段BC 上，且点E在△ABC的内部时，试猜 想线段AE与线段CF的数量关系，并加以证明； （2）如图②，在△DEF旋转的过程中，当点E恰好落在边 AC 上时，连接CF ，试说明（1）的结论 是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由； （3）如图③，若 4AB = ， 4 3 3 DE = ，连接BF，设DE所在直线与BC所在直线交于点M，在△DEF 旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线 段的中点，请直接写出此时BF的长． 图① 图② 图③ E FO C A B D E F O C A B D M EF O C A B D