专题1.9 三角形的证明（4大知识点5大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.9 三角形的证明（4大知识点5大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】等腰三角形的性质与判定 （1）性质 定理：等腰三角形有两边相等；（定义） 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； （2）判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点2】等腰三角形与判定 （1）性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （2）判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 【知识点3】垂直平分线的性质与判定 （1）性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （2）判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【知识点4】角平分线的性质与判定 （1）性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （2）判定 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 考点与题型目录 【考点一】等腰三角形 【题型1】利用等腰三角形性质与判定求值........................................2 【题型2】利用等腰三角形性质与判定证明........................................6 【题型3】利用等边三角形性质与判定求值证明....................................9 【考点二】直角三角形 【题型4】利用直角三角形的性质与判定求值.....................................12 【题型5】利用直角三角形的性质与判定证明.....................................15 【考点三】垂直平分线 【题型6】利用垂直平分线的性质与判定求值.....................................18 【题型7】利用垂直平分线的性质与判定证明.....................................21 【考点四】角平分线 【题型8】利用角平分线的性质与判定求值.......................................24 【题型9】利用角平分线的性质与判定证明.......................................28 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接..........................................................32 【题型11】拓展延伸..........................................................34 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】利用等腰三角形性质与判定求值 ★【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，交于，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．在上截取，连接，证明，得到，，，结合推出，得到，即可求解． 解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 【变式1】（2025·山东临沂·一模）如图，已知 ， 射线 平分 ，C 是 上一点，，以点 O 为圆心，以 适当长为半径作弧，分别交 于点 M，N；以点 C 为圆心，以 长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点；过点作射线交于点 D ．则 （   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】作，根据作图易得，证明为等腰三角形，利用三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 解：作， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵ 平分 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故选C． 【点拨】本题考查尺规作图—作角等于已知角，平行线的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是得到为等腰三角形． ★【变式2】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，D为延长线上一点，，垂足为C，，连接，若，则的面积为 （   ） A． B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．过点A作于G，过点E作于F，先由等腰三角形“三线合一”性质求得，再证明，得，最后由三角形的面积求解即可． 解：过点A作于G，过点E作于F， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴的面积． 故选：B． 【题型2】利用等腰三角形性质与判定证明 ★【例2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）在中，，，过点作的平行线，点是直线上异于点的动点，连接，过点作的垂线交直线于点．如图，当点在点的右侧． （1）求证：； （2）试判定线段，，之间有何数量关系？写出你的结论，并证明． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析． 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识． （1）过作直线，交于，由，，直线，可得，是等腰直角三角形，故，，即可证明，得； （2）由（1）知，是等腰直角三角形，故，，即得． 解：（1）证明：过作直线，交于，如图：   ，， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 由①知，是等腰直角三角形， ，， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·天津·期末）如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．根据全等三角形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得到，继而得到，从而得解； 解：∵ ∴，， ， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， 故正确的为：A，B，C，不正确的为D 故选：D ★【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，为中点；④当为等腰三角形时，．其中正确的有 （填序号）．    【答案】①②③ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，计算各角的度数是解题的关键．①根据三角形外角的性质即可得到；②证明，即可判断；③根据，得，推出，，根据等腰三角形的性质即可判断；④根据三角形外角的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或． 解：①， ， ，， ， ，故①正确； ②， ， 由①知， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，故③正确； ④， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， 当时，， ，故④不正确． 正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【题型3】利用等边三角形性质与判定求值证明 ★【例3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，以为边作等边三角形，点，分别在线段，上，，，与相交于点，延长交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）试判断线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）证明，得到，进而得到，推出，即可证明； （2）连接，由（1）知，得到，证明，得到，，推出，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 解：（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（   ）s后，可得到等边． A．1 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 设点M、N运动后，可得到等边，求出，由等边三角形的性质得到，当时，是等边三角形，得到，求出，即可得到答案． 解：设点M、N运动后，可得到等边， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴时，是等边三角形， ∴， ∴， ∴点M、N运动后，可得到等边 故选：C． ★【变式2】（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，若，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识．根据可得，，，证明是等边三角形，则，进而可求的度数． 解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型4】利用直角三角形的性质与判定求值 ★【例4】．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形． 解：，， ， 设，则， 又， ， 或（舍去）， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据直角三角形的性质、勾股定理求出，，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 解：，，， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1． ★【变式2】（20-21八年级上·广东中山·开学考试）如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． （1）若，则 °； （2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是 ． 【答案】 38 【分析】（1）根据三角形内角和定理易求的度数．已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）在中，，同理在中，，相减即可得到． 本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识；注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． 解：（1）， ， ， ， ， 即． 故答案为：38； （2）．理由如下： 在中，， ， ， ， 即， ． 即； 故答案为：． 【题型5】利用直角三角形的性质与判定证明 ★【例5】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见分析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定．首先证明，推出，，再利用三角形内角和定理，平行线的判定即可一一判断． 解：∵，，， ∴， ∴，，①正确，③错误； 如图，∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，④正确； ∵， ∴，故②正确； ∴正确的有3个， 故选：C． ★【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，在中，于点D，于点E，交于点F，且，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的性质可判断A，B选项，证明，可判断C，D选项． 解：∵，， ∴， ∴， ∴，故选项A正确； ， ， ，故选项B正确； 在和中， ， ∴， ∴，故选项D正确； ， 和不可能全等， ∴，故选项C错误； 故选：C． 【题型6】利用垂直平分线的性质与判定求值 ★【例6】（22-23八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明过程见分析；（2） 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 解：（1）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是求出是的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 分两种情况：①在内，②在外，先根据线段垂直平分线求出是线段的垂直平分线，即可得出，，即可得到结论． 解：如图所示， ，， 、都在线段的垂直平分线上， ， 点到的距离为6，点到的距离为4， ，， ①在内， ， ②在外， ． 故选：C． ★【变式2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，于点H，若，，则 ． 【答案】8 【分析】先作辅助线，然后根据线段垂直平分线的判定和性质，可以得到的长，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质和判定，可以得到的长，从而可以求得的长． 解：如图，在线段上截取， 则， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，作出辅助线是解答本题的关键． ★【题型7】利用垂直平分线的性质与判定证明 【例7】在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）连接，交于点G，由（1）得，再由，得，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图，连接，交于点G， 由（1）得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即垂直平分． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意易得，，则垂直平分，即可判断A；通过证明，得出，即可判断B；根据垂直平分，得出，即可判断C；易得为等边三角形，进而得出，即可判断D． 解：A、∵， ∴点A在垂直平分线上， 由作图可知，， ∴点D在垂直平分线上， ∴垂直平分，故A正确，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意； C、∵垂直平分， ∴， 故C正确，不符合题意； D、∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的中与判定，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 解：∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴，，即平分；故①③正确， 又∵ ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故答案为：①②③④． 【题型8】利用角平分线的性质与判定求值 【例8】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，． （1）用尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，于，若，，求的长度． 【答案】（1）见详解；（2）的长度为 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，勾股定理等，熟练掌握尺规作图、勾股定理、角平分线的性质是解决问题的关键．（1）根据角平分线的尺规作图方法直接作图即可得到答案；（2）根据角平分线的性质可得，设，则，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2） 是的角平分线， ， 又，， ， 在中，，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴的长度为． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则点G到线段的最短距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”根据，，即可得到答案； 解：由作图得平分， ∵，即， ∴点G到线段的最短距离等于的长， 即点G到的距离为1， 故选：A ★【变式2】（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型9】利用角平分线的性质与判定证明 【例9】（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，中，是的平分线，于，于．求证：   （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】此题考查角平分线的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的性质得到，利用等边对等角即可得到； （2）利用即可证明，推出结合，即可证明结论成立． 解：（1）证明：是的角平分线，，， ， ∴； （2）证明：是的角平分线，，， ，， 在和中， ， ； ， 又∵， 垂直平分． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． ★【变式2】（21-22八年级上·重庆璧山·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分（4），其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质可得，，，进而可证得然后利用全等三角形的性质即可判断结论①；利用全等三角形的性质可得，由对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理即可判断结论②；过点作于，于，利用可证得，于是可得，根据角平分线的判定定理即可判断结论③；在上截取，连接，设，交于点，利用可证得，于是可得，进而可证得为等边三角形，则，然后利用及等量代换即可判断结论④． 解：①和是等边三角形， ，，， 在和中， ， ∴， ， 故结论①正确； ②∵， ， ， 则， 故结论②正确； ③如图1，过点作于，于， 则， ∵， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， 故结论③正确； ④如图2，在上截取，连接，设，交于点， 由②可知：， ， 由③可知：平分， ， 又， ， 在和中， ， ∴， ， 为等边三角形， ， ， ， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有：，共个． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】中考链接 【例1】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． ★★【例2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 解：（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 【题型11】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，在等腰中，，，， （1）求证； （2）如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见分析；（2）①，证明见分析；②，证明见分析 【分析】（1）根据题干条件即可直接证得，从而证得； （2）①由（1）可知，从而可得，结合，可知，从而可得； ②过点C作交的延长线于点M，延长交于点N，先证，可得，，从而可证，可得，，从而可得，，即可推出． 解：（1）证明：由题可得： 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：①， 证明：∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 证明：如图，过点C作交的延长线于点M，延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并找出全等的条件是解题的关键． ★★【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，等腰直角绕直角顶点C在所在的平面内转动，连接 （1）探究与的数量关系并证明； （2）若，则当点三点共线时，求的长； （3）若，则当是以为腰的等腰三角形时，连接，并求的长． 【答案】（1），理由见分析；（2）；（3）的长为或． 【分析】（1）根据证明，即可解答； （2）如图2，设，根据是等腰直角三角形，可得，，证明，则，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：①如图3，当时，延长交于O，交于N，证明是的垂直平分线即可解答；②如图4，当时，延长交于N，分别由勾股定理计算的长，由面积法可得的长，从而得的长，即可解答． 解：（1）解：，理由如下：如图1， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，设， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵点B，E，D三点共线， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； （3）解：分两种情况： ①如图3，当时，延长交于O，交于N， ∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； ②如图4，当时，延长交于N， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 综上，的长为或． 【点拨】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 三角形的证明（4大知识点5大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】等腰三角形的性质与判定 （1）性质 定理：等腰三角形有两边相等；（定义） 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； （2）判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点2】等腰三角形与判定 （1）性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （2）判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 【知识点3】垂直平分线的性质与判定 （1）性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （2）判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【知识点4】角平分线的性质与判定 （1）性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （2）判定 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 考点与题型目录 【考点一】等腰三角形 【题型1】利用等腰三角形性质与判定求值........................................2 【题型2】利用等腰三角形性质与判定证明........................................3 【题型3】利用等边三角形性质与判定求值证明....................................4 【考点二】直角三角形 【题型4】利用直角三角形的性质与判定求值......................................5 【题型5】利用直角三角形的性质与判定证明......................................6 【考点三】垂直平分线 【题型6】利用垂直平分线的性质与判定求值......................................7 【题型7】利用垂直平分线的性质与判定证明......................................7 【考点四】角平分线 【题型8】利用角平分线的性质与判定求值........................................8 【题型9】利用角平分线的性质与判定证明........................................9 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接..........................................................10 【题型11】拓展延伸..........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】利用等腰三角形性质与判定求值 ★【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，交于，，，，求的长． 【变式1】（2025·山东临沂·一模）如图，已知 ， 射线 平分 ，C 是 上一点，，以点 O 为圆心，以 适当长为半径作弧，分别交 于点 M，N；以点 C 为圆心，以 长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点；过点作射线交于点 D ．则 （   ） A． B．6 C． D．8 ★【变式2】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，D为延长线上一点，，垂足为C，，连接，若，则的面积为 （   ） A． B．9 C．18 D．36 【题型2】利用等腰三角形性质与判定证明 ★【例2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）在中，，，过点作的平行线，点是直线上异于点的动点，连接，过点作的垂线交直线于点．如图，当点在点的右侧． （1）求证：； （2）试判定线段，，之间有何数量关系？写出你的结论，并证明． 【变式1】（24-25八年级上·天津·期末）如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，为中点；④当为等腰三角形时，．其中正确的有 （填序号）．    【题型3】利用等边三角形性质与判定求值证明 ★【例3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，以为边作等边三角形，点，分别在线段，上，，，与相交于点，延长交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）试判断线段和的数量关系，并说明理由． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（   ）s后，可得到等边． A．1 B． C．4 D．2 ★【变式2】（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，若，且，则的度数为 ． 【题型4】利用直角三角形的性质与判定求值 ★【例4】．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． ★【变式2】（20-21八年级上·广东中山·开学考试）如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． （1）若，则 °； （2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是 ． 【题型5】利用直角三角形的性质与判定证明 ★【例5】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 ★【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，在中，于点D，于点E，交于点F，且，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型6】利用垂直平分线的性质与判定求值 ★【例6】（22-23八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 ★【变式2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，于点H，若，，则 ． ★【题型7】利用垂直平分线的性质与判定证明 【例7】在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【变式1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 ★【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 【题型8】利用角平分线的性质与判定求值 【例8】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，． （1）用尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，于，若，，求的长度． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则点G到线段的最短距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 ★【变式2】（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ． 【题型9】利用角平分线的性质与判定证明 【例9】（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，中，是的平分线，于，于．求证：   （1）； （2）垂直平分． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． ★【变式2】（21-22八年级上·重庆璧山·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分（4），其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】中考链接 【例1】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． ★★【例2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 【题型11】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，在等腰中，，，， （1）求证； （2）如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． ★★【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，等腰直角绕直角顶点C在所在的平面内转动，连接 （1）探究与的数量关系并证明； （2）若，则当点三点共线时，求的长； （3）若，则当是以为腰的等腰三角形时，连接，并求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$