专题2.1 不等关系与不等式基本性质（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.1 不等关系与不等式基本性质（3大知识点4大考点10类题型） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【要点提示】 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【知识点2】不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 【要点提示】 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【要点提示】 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【知识点3】不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 【要点提示】 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： （1）不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． （2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 考点与题型目录 【考点一】不等式的定义 【题型1】不等式的判断.........................................................3 【题型2】生活中的不等式.......................................................4 【考点二】不等式的基本性质 【题型3】利用不等式基本性质辨析...............................................5 【题型4】利用不等式基本性质比较大小...........................................6 【题型5】利用不等式基本性质求取值范围.........................................8 【考点三】不等式的解集 【题型6】求不等式的解集.......................................................9 【题型7】已知不等式的解集求参数取值范围......................................11 【题型8】平面直角坐标系中不等式的解集........................................12 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】直通中考............................................................14 【题型10】拓展延伸...........................................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】不等式的判断 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义逐一判断即可． 解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个， 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的判断，根据不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可． 解：在①；②；③；④；⑤；⑥中，①②⑤⑥四个式子含有不等号，是不等式，共4个； 故选B 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 【题型2】生活中的不等式 【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的卡片相邻两边长分别为和，第二种规格的卡片相邻两边长分别为和，问哪种规格的纪念卡片面积较大？说明理由． 【答案】第二种规格的面积较大，见分析 【分析】本题考查了列代数式，分别表示出两种卡片的面积，进而比较大小，即可求解． 解：第一种规格的面积： 第二种规格的面积： 因为，所以第二种规格的面积较大． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查不等式的定义．根据“水温不高于”可以写为． 解：根据“水温不高于”可以写为． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键． 根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 解：根据题意可得：这天气温的变化范围是， 故选：D． 【考点二】不等式的基本性质 【题型3】利用不等式基本性质辨析 ★【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（22-23七年级下·广东东莞·期中）如果，下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质判断即可． 解：A、不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，成立，故此选项符合题意； B、当时，有，不成立，故此选项不符合题意； C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不成立，故此选项不符合题意； D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不成立，故此选项不符合题意； 故选：A． 【题型4】利用不等式基本性质比较大小 ★【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ （1）上述解题过程中，从第________步开始出现错误； （2）错误的原因是什么？ （3）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）②；（2）不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向没有改变；（3） 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （3）先利用不等式的性质，两边同时乘以，不等号的方向改变； 再利用不等式的性质，两边同时加1，不等号的方向不变，即可得解． 解：（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误， 故选：②； （2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、算术平方根、不等式的性质，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据可得，从而可得，再根据不等式的性质即可得． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 故答案为：． ★【变式2】（23-24七年级下·北京大兴·期末）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有 （填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a b（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算、不等式的性质，理解题中作差法比较大小是解答的关键． （1）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后利用已知判断化简式子与0的大小关系即可得到答案； （2）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后根据已知得到化简式子与0的大小关系即可得到答案； 解：（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则成立， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则， ∴成立， 故答案为：． 【题型5】利用不等式基本性质求取值范围 ★【例5】（21-22八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，不等式的性质，根据题意得出是解题关键．将点和代入一次函数，得出，进而得出，即可求出k的取值范围． 解：∵一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，且．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意得出，结合求出；；再根据即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理：， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 故答案为：． ★【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 解：由题可知，， 解得：， 故答案为：． 【题型6】求不等式的解集 【例6】（20-21七年级下·湖北十堰·期中）运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式． （1）x-1＜5                       （2）x＜3x-12 【答案】（1）x＜12；（2）x＞6． 【分析】（1）根据不等式的性质1和不等式的性质2即可求解； （2）根据不等式的性质1和不等式的性质3即可求解． 解：（1） （2） 【点拨】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式1】（20-21八年级下·广东佛山·阶段练习）我市2020年1月1日的气温是，这天的最高气温是，最低气温是，则当天我市的气温的变化范围可用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】利用最低气温和最高气温即可表示出气温的变化范围． 解：∵最高气温是，最低气温是 ∴ 故答案为． 【点拨】本题主要考查列不等式，掌握列不等式的方法是解题的关键． ★【变式2】（22-23八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】通过移项，合并，系数化1，根据不等式的性质即可求出的解集． 解： ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型． 【题型7】已知不等式的解集求参数取值范围 【例7】（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解． 解：因为不等式的解集是， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 【变式1】（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 解：根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． ★【变式2】（22-23七年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点拨】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 【题型8】平面直角坐标系中不等式的解集 【例8】（21-22八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数的图像经过点A（，）和B（4，4），与轴交于点C，与轴交于点D． （1）求一次函数的表达式； （2）求C、D点的坐标，并根据函数图像，直接写出当＜＜0时，的取值范围． 【答案】（1）；（2）（，0）；（0，-2）； 【分析】（1）一次函数的图像经过点A（，）和B（4，4）建立方程组，解方程组即可求得一次函数的解析式； （2）根据C点的纵坐标为0求得其横坐标，根据D点的横坐标为0求得其纵坐标；根据的取值范围建立的不等式组，解不等式组即可得到答案． 解：（1）设一次函数的解析式为， 得 ， 解方程组得， ∴一次函数的表达式为； （2）∵ 当时，， ∴D点为（0，-2）， ∵ 时，， ∴C点为（，0）， 根据﹣5＜＜0得不等式组 解不等式组得 ∴当﹣5＜＜0时，的取值范围是． 【点拨】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组的解法、不等式组的解法，解题的关键是熟练掌握一次函数、二元一次方程组、不等式组的相关知识． 【变式1】（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． ★【变式2】（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，若点在直线 与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】先根据点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部，可知点在直线的下方，即当时，，再将代入，从而得出，即．本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，根据点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部，得到点在直线的下方是解题的关键． 解：点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部， 点在直线的下方，即当时，， 又当时，， ， ． 故答案为：． 二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】中考链接 【例1】（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． ★★【例2】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】（1）过4秒或6秒；（2）3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 解：（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，为上一点，，连接． （1）当时，的值为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的混合运算，不等式的性质． （1）设，利用勾股定理求得，，代入计算即可求解； （2）设，，同理求得，要求的最小值，即求的最大值，据此求解即可． 解：（1）设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）设，， ∴，， ∴ ， 要求的最小值，即求的最大值， 令，则， ∴ ， 要求的最大值，即求的最小值， 令，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为， ∴的最小值， 故答案为：． ★★【例2】（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，则点与点的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标； ②点与点的“识别距离”的最小值为______． 【知识迁移】 （3）已知点，直接写出点与点“识别距离”的最小值及对应的点坐标． 【答案】（1）3；（2）①点的坐标为或；②2；（3）点与的“识别距离”的最小值为 【分析】（1）根据新定义分别计算，，结合，可得答案； （2）①设点B的坐标为，根据“识别距离”的定义可得，化简绝对值即可得；②先求出时a的值，再根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可； （2）参考②，先求出时m的值，再根据“识别距离”的定义分三种情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可． 解：（1）∵点， ∴，，而， ∴点与点的“识别距离”为； （2）①设点B的坐标为，而， 点与的“识别距离”为 解得 则点B的坐标为或； ②由得：， 因此，分以下两种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当或时，， 则点A与点的“识别距离”为， 综上，点与点的“识别距离”大于或等于2， 故点A与点的“识别距离”的最小值为2； （3）由得：或， 解得或， 因此，分以下三种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为， 此时，， 则点C的坐标为． 【点拨】本题考查了新定义的含义，点坐标、绝对值运算，不等式的性质等知识点，较难的是题（3），理解新定义，正确分情况讨论是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 不等关系与不等式基本性质（3大知识点4大考点10类题型） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【要点提示】 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【知识点2】不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 【要点提示】 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【要点提示】 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【知识点3】不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 【要点提示】 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： （1）不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． （2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 考点与题型目录 【考点一】不等式的定义 【题型1】不等式的判断.........................................................3 【题型2】生活中的不等式.......................................................3 【考点二】不等式的基本性质 【题型3】利用不等式基本性质辨析...............................................3 【题型4】利用不等式基本性质比较大小...........................................4 【题型5】利用不等式基本性质求取值范围.........................................4 【考点三】不等式的解集 【题型6】求不等式的解集.......................................................4 【题型7】已知不等式的解集求参数取值范围.......................................5 【题型8】平面直角坐标系中不等式的解集.........................................5 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】直通中考.............................................................6 【题型10】拓展延伸............................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】不等式的判断 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2】生活中的不等式 【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的卡片相邻两边长分别为和，第二种规格的卡片相邻两边长分别为和，问哪种规格的纪念卡片面积较大？说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【考点二】不等式的基本性质 【题型3】利用不等式基本性质辨析 ★【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·广东东莞·期中）如果，下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4】利用不等式基本性质比较大小 ★【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ （1）上述解题过程中，从第________步开始出现错误； （2）错误的原因是什么？ （3）请写出正确的解题过程． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） ★【变式2】（23-24七年级下·北京大兴·期末）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有 （填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a b（填“”，“”或“”）． 【题型5】利用不等式基本性质求取值范围 ★【例5】（21-22八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点．若，则k的取值范围为 ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，且．若，则的取值范围是 ． ★【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ． 【题型6】求不等式的解集 【例6】（20-21七年级下·湖北十堰·期中）运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式． （1）x-1＜5                       （2）x＜3x-12 【变式1】（20-21八年级下·广东佛山·阶段练习）我市2020年1月1日的气温是，这天的最高气温是，最低气温是，则当天我市的气温的变化范围可用不等式表示为 ． ★【变式2】（22-23八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 【题型7】已知不等式的解集求参数取值范围 【例7】（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 【变式1】（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． ★【变式2】（22-23七年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【题型8】平面直角坐标系中不等式的解集 【例8】（21-22八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数的图像经过点A（，）和B（4，4），与轴交于点C，与轴交于点D． （1）求一次函数的表达式； （2）求C、D点的坐标，并根据函数图像，直接写出当＜＜0时，的取值范围． 【变式1】（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． ★【变式2】（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，若点在直线 与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的取值范围是 ． 二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】中考链接 【例1】（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ★★【例2】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点A，B到原点距离之和的最小值． 【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，为上一点，，连接． （1）当时，的值为 ； （2）的最小值为 ． ★★【例2】（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，则点与点的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标； ②点与点的“识别距离”的最小值为______． 【知识迁移】 （3）已知点，直接写出点与点“识别距离”的最小值及对应的点坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$