精品解析：山东省聊城市阳谷县四校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级上学期期末水平调研数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 如图，△ABC和阴影三角形的顶点都在小正方形的顶点上，则与△ABC相似的阴影三角形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可得到答案. 【详解】∵，，AC=2， ∴AB：AC：BC=：2：= ：：1 A.三边比值=： ：1，不符合题意， B. 三边比值=3： ：，不符合题意， C. 三边比值= ：：1，符合题意， D. 三边比值= ：：2，不符合题意， 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定定理，分别求出各个选项中三角形的三边长的比值，是解题的关键. 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过证明△ACD∽△ABC，可得，通过证明△ACD∽△CBD，可得，通过△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得，通过证明△GEF∽△GBD，可得，即可求解． 【详解】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠ABC， 又∵∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴， 故A选项不合题意； ∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC， ∴△ACD∽△CBD， ∴ 故B选项不合题意； ∵AF⊥BG， ∴∠AFB＝90°， ∴∠FAB+∠GBA＝90°， ∵∠GDB＝90°， ∴∠G+∠GBA＝90°， ∴∠G＝∠FAB， 又∵∠ADE＝∠GDB＝90°， ∴△ADE∽△GDB， ∴， ∴AD•BD＝DE•DG， ∵△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD， ∴CD2＝DE•DG， ∴， 故C选项不合题意； ∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°， ∴△GEF∽△GBD， ∴ 故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质． 3. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 5千米 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点B作于D，由题意得，，利用三角形内角和定理求出，再求出，得到千米，，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图所示，过点B作于D， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴千米，， ∴千米， ∴千米， 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可． 【详解】∵四边形内接于， ∴ ， 由圆周角定理得， ， ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5. 如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系可进一步得出结论． 【详解】解：∵点I是的内心， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故选：D． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴且， ∵ ∴且 解得 ∴， 解得且， 故选C． 7. 某企业2021年营业额为100万元，2021年、2022年、2023年总营业额为500万元，设平均每年营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程． 【详解】解：设平均每年营业额增长率为， 则列方程为， 故选D． 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先观察解析式可得两函数图象在y轴上交于一点，再根据二次函数图象和一次函数图象的性质分析即可． 【详解】观察解析式发现：一次函数与二次函数与y轴的交点为同一点，故排除B、C选项； A、二次函数图象开口向上，则，但是一次函数y随x的增大而减小，则，a的取值矛盾，故A不符合题意； D、二次函数图象开口向上，则，一次函数y随x的增大而增大，则，符合，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象性质，若能根据解析式先排除掉部分选项，则先进行排除．另外，用假设法来搞定这种数形结合题也是一种很好的方法． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在反比例函数的图像上，纵坐标分别为1和3，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥AD于E，依据△ABE∽△OAD，即可得到，设A（k，1），B（，3），即可得到，进而得出k的值． 【详解】如图，过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥AD于E，则∠E=∠ADO=90°， 又∵∠BAO=90°， ∴∠OAD+∠AOD=∠OAD+∠BAE=90°， ∴∠AOD=∠BAE， ∴△ABE∽△OAD， ∴， 设A（k，1），B（，3），则OD=k，AD=1，AE=2，BE=， ∴， 解得k=±， ∵k＞0， ∴k=， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标与k之间的关系．解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形． 10. 如图，已知二次函数 、、为常数，且的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ②∵抛物线的顶点为，， ，， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； ③抛物线经过点， ，即，故③错误； ④抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，随的增大而减小，即④正确； ⑤， ， ，则⑤正确； 综上，正确是①④⑤． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 三角形中， ，则值为__________． 【答案】105°或15° 【解析】 【分析】根据角的正弦函数与三角形边的关系，可求出各边的长，然后运用三角函数定义求解． 【详解】解：本题分两种情况： ①如图①时，AD为BC边上的高． 由AB=2，AC=，∠B=30°得， AD=ABsinB=2×0.5=1， ∵sin∠ACD=AD：AC=1：=， ∴∠ACD=45°=∠B+∠BAC， ∴∠BAC=15°； ②如图②时，AD为BC边上的高． 由AB=2，AC=，∠B=30°得， ∠BAD=60°， ∴AD=ABsinB=2×0.5=1， ∵sin∠ACD=AD：AC=1：=，， ∴∠ACD=45°，∠CAD=45°， ∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=105°． 故答案为105°或15°. 【点睛】本题考查了分类讨论解直角三角形的能力，注意要分两种情况讨论． 12. 若、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是______用“”表示． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键．分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，，，，若与以E，C，F为顶点的三角形相似，则BE的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设BE=x，当∽△ECF时，即，当∽△FCE时，即，解方程即可． 【详解】解：设BE=x， 当∽△ECF时，即 整理得， 解得， 经检验都符合题意， 当∽△FCE时，即， 解得． 经检验符合题意， 故答案为或． 【点睛】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的k的几何意义的应用，相似三角形的性质与判定．关键是正确作出辅助线构造相似三角形． 过点作轴于轴于，可证，由线段关系求得的面积，再根据反比例函数的的几何意义即得结果． 【详解】解：如图，过点作轴于轴于， ， ， ， ， ∵的面积为，则， ， ， ， ， 由图可知， ， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（3，1），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，得到，则点A的对应点的坐标是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据位似图形的定义，以原点O为位似中心，将原三角形放大3倍，则对应点坐标也变为原来的3倍． 【详解】解：以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍， 则点A的横纵坐标都变为原来的3倍，对应的点或． 故答案是：或． 【点睛】本题考查位似图形，解题的关键是掌握位似图形的定义． 16. 如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则______（弧长）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接， 则， ∵ 的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， ∴ 的长度为． 故答案为：． 17. 如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为，（为坐标原点，点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键；连接、，由是的切线，得，再由勾股定理得，则当时，线段最短，最后再由勾股定理即可求解； 【详解】解：连接、， 、， ，， 是的切线， ， ， 由勾股定理知：， 当时，最小，则线段最短， 在中，， ， ， 最小， 故答案为： 三、四、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程 （1）; （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法、平方差公式的应用）．解题的关键是根据方程特点选择合适的分解方法，将二次方程转化为一次方程求解． （1）通过拆分中间项进行因式分解，将方程化为，求解一次方程； （2）移项后利用平方差公式分解为，求解一次方程． 【小问1详解】 解： ， 则或， 解得． 【小问2详解】 解： 则或 解得． 20. 已知：关于x的一元二次方程. （1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程两根为，，且满足，求的值. 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可． （2）首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 原方程必有两不等实数根． 【小问2详解】 解：∵方程的两根为，， ，， ， 即：， 解得：． 21. 五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，测得斜坡底端A距塔基中心E距离米，斜坡坡度i为，圆圆站在斜坡上距A点6.5米的B处，遥控无人机悬停在点B的正上方37.6米的C处，从C处测得古塔的顶部D处的俯角为（古塔在圆圆和无人机的正前方）． （参考数据：，，） （1）求古塔的高度； （2）已知目高为1.6米，若无人机保持现有高度并沿着平行于的方向，以4米/秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【答案】（1）古塔的高度是28.1米 （2）经过6秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，再根据已知可设米，米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）连接交于点，根据题意可得：，再根据已知易得：米，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，，， 斜坡坡度为， ， 设米，米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 米， （米， 在中，， （米， （米， 古塔的高度约为28.1米； 【小问2详解】 解：连接交于点， 由题意得：， 米，米， （米， ， ， ， ， 解得：， （米， （秒， 经过6秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 22. 如图，已知中，，以为直径的圆交斜边于．过作于，将沿直线翻折得到． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，延长交于，求的长． 【答案】（1） 解：如图，连接， 由翻折得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质，切线的判定与性质，翻折变换，三角函数，熟练掌握切线的判定与性质，翻折变换是解题的关键． （1）由翻折得到，利用角平分线和，得到，再证明即可； （2）连接，判定是的切线，得出，在中可得，利用及求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ∵，是的直径， ∴是的切线，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∴， 得， ∴， ∴． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【答案】（1）20元； （2）不能达到1500元， 假设能达到，由题意，得， 整理，得， ， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【详解】解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2） 略 （3）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得， ， ， ， 当元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，和二次函数的最值，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值． 24. 感知∶ （1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶ （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）． 拓展∶ （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 【答案】（1）； （2）CE=a-b； （3）∵∠DEF=∠B ∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC ∴∠BFE=∠DEC． 作CG//FE交DE于点G，如图3． ∴∠DEF=∠EGC ∴∠B=∠EGC ∴△FBE∽△EGC ∴= ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B+∠BCD=180° ∵∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC ∴∠DGC=∠BCD 又∵∠EDC=∠CDG ∴△DGC∽△DCE ∴= ∴= ∴DC·FE=BE·DE 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC ∴AB·FE=BE·DE 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由已知易证△ADB≌△DEC，从而由全等三角形的性质即可求得CE的长度； （3）作CG//FE交DE于点G，易证得△FBE∽△EGC，从而可得=；可证得△DGC∽△DCE，可得=，即有=，再由AB=CD即可得要证的结论． 【详解】（1）∵△ABC∽△DAE ∴ 故答案为：； （2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠EDC=∠BAD 又∵DA=DE ∴△ADB≌△DEC ∴EC=BD，AB=DC=b ∴BD=BC-DC=a-b． 即：CE=a-b． （3） 略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，（3）问中作辅助线是难点，灵活运用这些知识是重点． 25. 如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； （3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当P点运动到时，最大值为 （3）存在，H点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）过点P作轴交于点E，根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，最终利用函数法求最值； （3）分为边和对角线两种情况，进行讨论求解，先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点E， 设，则， ，其中， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 当时，最大值为，此时； 【小问3详解】 解：平移后的函数解析式为， 将与联立，得， 解得两条抛物线交点M的坐标为， 如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ，，， ， ， 解得， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，即， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得 ； 如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，，即，， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期末水平调研数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 如图，△ABC和阴影三角形的顶点都在小正方形的顶点上，则与△ABC相似的阴影三角形为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 5千米 4. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 某企业2021年营业额为100万元，2021年、2022年、2023年总营业额为500万元，设平均每年营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在反比例函数的图像上，纵坐标分别为1和3，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，已知二次函数 、、为常数，且的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 三角形中， ，则值为__________． 12. 若、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是______用“”表示． 13. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，，，，若与以E，C，F为顶点的三角形相似，则BE的长为______． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为________． 15. 在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（3，1），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，得到，则点A的对应点的坐标是_______． 16. 如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则______（弧长）． 17. 如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为，（为坐标原点，点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为______． 三、四、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程 （1）; （2）. 20. 已知：关于x的一元二次方程. （1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程两根为，，且满足，求的值. 21. 五一假期，圆圆带着无人机来到公园开展综合实践活动——测量一古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，测得斜坡底端A距塔基中心E距离米，斜坡坡度i为，圆圆站在斜坡上距A点6.5米的B处，遥控无人机悬停在点B的正上方37.6米的C处，从C处测得古塔的顶部D处的俯角为（古塔在圆圆和无人机的正前方）． （参考数据：，，） （1）求古塔的高度； （2）已知目高为1.6米，若无人机保持现有高度并沿着平行于的方向，以4米/秒的速度向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 22. 如图，已知中，，以为直径的圆交斜边于．过作于，将沿直线翻折得到． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，延长交于，求的长． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 24. 感知∶ （1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶ （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）． 拓展∶ （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 25. 如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； （3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $