精品解析：四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．全卷共三个大题，25个小题；满分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号； 3．考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 为了解某市中学生睡眠情况，适合采用全面调查法 B. 一组数据2，5，5，6，6，4，6的中位数是7 C. 若明天下雨的概率为90%，则明天下雨是必然事件 D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定 4. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知 的半径为5，直线 与 有公共点，则圆心 到直线 的距离不可能为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 4.5 D. 1 6. 如图，在 中，弦，，则 的半径是（ ） A. B. C. D. 7. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A. 2500（1+x）2＝9100 B. 2500（1+x）（1+2x）＝9100 C. 2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100 D. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 8. 一抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A. y＝+1 B. y＝﹣1 C. y＝ D. y＝﹣1 9. 一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为(　　) A. 10π B. C. π D. π 11. 如图，正方形 边长为6，，M、N分别是和的中点，则 长为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数 （a，b，c为常数，且）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 点与点关于原点对称，则的值为___________． 14. 已知 、是方程的两个根，那么______． 15. 如图，已知点A(－2，0)，B(3，0)，C(5，－4)，则三角形ABC的面积是________． 16. 如图，正方形ABCD内接于 ，点E为AB上一点，连接DE并延长，交 于点F．若，，则AF的长为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 化简：． 19. 已知：如图，，， ，求证：． 20. 某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有_________名； （2）把条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，“剩大量”对应的扇形的圆心角是_________度； （4）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐． 21. 已知关于 的一元二次方程 （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若方程有两实数根，且满足，求的值． 22. 某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部. （1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元? （2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式． （3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？ 23. 西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，≈1.732) 24. 如图， ，，均为 的直径，点 是弧的中点，点 在 上，且四边形是平行四边形，． （1）求证：； （2）若点在的延长线上，且，证明：是 的切线； （3）求 的半径． 25. 抛物线与 轴交于点， 两点，与 轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数解析式和直线的解析式； （2）如图 ，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为 ，交于点 ．若点的横坐标为 ，请用 的式子表示 ，并求 的最大值； （3）如图，点 是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点 ，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．全卷共三个大题，25个小题；满分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号； 3．考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选： C． 2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 为了解某市中学生睡眠情况，适合采用全面调查法 B. 一组数据2，5，5，6，6，4，6的中位数是7 C. 若明天下雨的概率为90%，则明天下雨是必然事件 D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查、中位数、随机事件、概率的意义以及方差的意义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．分别依据全面调查与抽样调查、中位数、随机事件、概率的意义以及方差的意义进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．为了解某市中学生的睡眠情况适宜采用抽样调查，故此选项不符合题意； B．一组数据2，5，5，6，6，4，6的中位数是5，故此选项不符合题意； C．明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，原说法错误，故此选项不符合题意； D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，因为，则乙组数据更稳定，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为 ，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为 ，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选： ． 5. 已知的半径为5，直线 与有公共点，则圆心 到直线 的距离不可能为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 4.5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直线 与应是相交或相切的位置关系，根据圆心距小于等于半径即可判断． 【详解】∵直线 与有公共点 ∴直线 与应是相交或相切的位置关系 ∴圆心距小于等于半径 ∵5.5>5 ∴B选项错误 故选B． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，当圆心距大于半径时直线和圆相离，当圆心距等于半径时直线和圆相切，当圆心距小于半径时直线和圆相交． 6. 如图，在中，弦，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，利用圆周角定理可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：连接，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的半径是， 故选：A． 7. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A. 2500（1+x）2＝9100 B. 2500（1+x）（1+2x）＝9100 C. 2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100 D. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 【答案】D 【解析】 【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到3600万元，即可列方程． 【详解】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，解题的关键是找等量关系．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1＋x）2=b． 8. 一抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A. y＝+1 B. y＝﹣1 C. y＝ D. y＝﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同，首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同， ∴a＝， ∵顶点为（﹣2，1）， ∴抛物线解析式为y＝+1． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，顶点式的确定，正确理解抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同，活用顶点坐标是解题的关键． 9. 一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：由根与系数的关系可知：，， ∴ ∴一次函数解析式为：， 故一次函数的图象一定不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质． 10. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为(　　) A. 10π B. C. π D. π 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示： 在Rt△ACD中，AD=3，DC=1， 根据勾股定理得：AC=， 又将△ABC绕点C顺时针旋转60°， 则顶点A所经过的路径长为l=． 故选C． 11. 如图，正方形 边长为6，，M、N分别是和 的中点，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取 中点H， 的中点P，连接并延长交 于点G，连接 并延长交于点Q，根据正方形 边长为6，得，， 则，，根据M、N分别是和 的中点，得是的中位线， 是的中位线， ，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得． 【详解】解：如图所示，取 中点H， 的中点P，连接并延长交 于点G，连接 并延长交于点Q， ∵正方形 边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和 的中点， ∴， ∴是的中位线， 是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 12. 已知二次函数 （a，b，c为常数，且）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口朝下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴ ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①错误； 根据图象知道抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②错误； 根据图象知道当时，， 故③错误； ∵抛物线开口向下，时抛物线与x轴相交， ∴时的抛物线位于x轴下方，即， ∴当时， 故④正确． 故选∶A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 点与点关于原点对称，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的点横坐标和纵坐标都互为相反数，求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称点的点横坐标和纵坐标都互为相反数． 14. 已知、是方程的两个根，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出，，根据求出，代入即可． 【详解】解：、是方程的两个根， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，解答本题的关键是掌握两根之和和两根之积的表达式． 15. 如图，已知点A(－2，0)，B(3，0)，C(5，－4)，则三角形ABC的面积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】在直角坐标系上求出AB的距离为5，C到x轴的距离为4，再根据三角形面积公式即可求出. 【详解】因为点A(－2,0)，B(3,0)，C(5，－4)，所以AB＝3＋2＝5，C到x轴的距离为4， 则三角形ABC的面积是：×5×4＝10. 【点睛】此题主要考查直角坐标系内的计算，解题的关键是线段的长再求解面积. 16. 如图，正方形ABCD内接于，点E为AB上一点，连接DE并延长，交于点F．若，，则AF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角与圆心角的关系推出等边三角形，根据圆内接正方形求出半径的长，最后直接代值即可． 【详解】连接， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形． ∵正方形ABCD内接于 ∴ ∵ ∴在中， ∴在中， 故答案为： 【点睛】此题考查圆的综合题型，解题关键是同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，解题技巧是等腰直角三角形三边关系为． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】运用负指数幂的运算，非零数的零次幂，绝对值的性质，三次根的性质化简，实数的加减混合运算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查负指数幂，零次幂，绝对值，三次根式的混合运算，掌握以上知识的运算，及实数的运算法则是解题的关键． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的相关运算法则成为解答本题的关键． 19. 已知：如图，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，则，即，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴． 20. 某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有_________名； （2）把条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，“剩大量”对应的扇形的圆心角是_________度； （4）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐． 【答案】（1）1000 ；（2）画图见解析；（3）54；（4）约3600（人）． 【解析】 【分析】（1）从统计图中可以得到“没有剩”的有400人，占调查人数的40%，可求出调查人数； （2）用总人数减去其它类型的人数，求出“剩少量”的人数，从而补全统计图； （3）用360°乘以“剩大量”的人数所占的百分比即可； （3）1000人浪费的食物可供200人使用一餐，可求出18000人浪费的食物可供多少人使用一餐． 【详解】解：（1）这次被调查的学生数：400÷40%＝1000（名）． 故答案为：1000； （2）剩少量的人数：1000﹣400﹣250﹣150＝200（名），补全统计图如下： （3）“剩大量”对应的扇形的圆心角是：360°54°． 故答案为：54； （4）180003600（人）， 答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供约3600人食用一餐． 【点睛】此题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，样本估计总体是统计常用的方法． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若方程有两实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数关系，，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， 故当时，方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵方程有两实数根， ∴，， ∵， ∴，解得，，， 经检验，，是所列方程的解， 由得， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．解（2）时要注意根与系数的关系的前提是一元二次方程有实数根． 22. 某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部. （1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元? （2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式． （3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？ 【答案】（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到4800元； （2）； （3）每台彩电降价150元时,商场每天销售这种彩电的利润最大,最大利润是5000元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部.即可求出每天利润； （2）根据：利润=（每台实际售价﹣每台进价）×销售量,每台实际售价=2900﹣x,销售量=8+4×,列函数关系式； （3）利用二次函数的顶点坐标公式,求函数的最大值． 试题解析：（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部. 所以：这种手机平均每天的销售利润为：（元）； （2）根据题意,得, 即； （3）对于, 当时, 所以,每台彩电降价150元时,商场每天销售这种彩电的利润最大,最大利润是5000元． 考点：二次函数的应用． 23. 西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，≈1.732) 【答案】12.20米 【解析】 【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度． 【详解】设AB=x米． Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米． Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°x米． CD=BD﹣BC=(1)x=6， 解得：x=9+3， 即AB=(9+3)米． ∵BM=HM﹣DE=3.3﹣1.3=2， ∴AM=AB﹣BM=7+312.20(米)． 答：这棵树高12.20米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题． 24. 如图， ，，均为的直径，点是弧的中点，点 在上，且四边形是平行四边形，． （1）求证：； （2）若点 在的延长线上，且，证明：是的切线； （3）求的半径． 【答案】（1） 证明：∵点是弧的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2） 证明：连接交于点 ．如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，又由，，即可证明； （2）连接交于点 ．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线； （3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径为． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵点是的中点， ∴点 是的中点． ∵点 是 的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）． ∴的半径为． 【点睛】此题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 25. 抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点 是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数解析式和直线 的解析式； （2）如图，点 在线段 上方的抛物线上运动（不与重合），过点 作，垂足为 ， 交 于点．若点 的横坐标为，请用的式子表示 ，并求 的最大值； （3）如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点 ，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）， （2）；最大值为 （3）或或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （ ）分 为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线 的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线 的解析式为； 【小问2详解】 解：若点 的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时， 取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：①当 为平行四边形的边，点 在对称轴右侧时，如图 ，则有，且，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，设 交对称轴于点 ， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点 到对称轴的距离为 ， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴ ， ∴； ②当 为平行四边形的边，点 在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，设 交对称轴于点 ， 同理①可证， ∴，， ∴点 到对称轴的距离为 ， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当 为平行四边形的对角线时，如图，设 的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点 的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $