高三数学开学摸底考03（新高考通用）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025届高三下学期开学摸底考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三下学期开学摸底考 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B D B C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．7 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. （2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人， 所以所有可能的取值为， 所以，，， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 随机变量的数学期望 16．（15分） 【解析】（1）由若时，恒有， 所以当时，恒成立， 设， 则令， 则，显然在单调递增， 故当时，， 当时，，则对恒成立， 则在单调递增， 从而当时，，即在单调递增， 所以当时，，符合题意； 当时，，又因为， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，， 则单调递减，此时，不符合题意. 综上所述，a的取值范围为 （2）要证当时，，即证， 设， 则， 令， 则单调递增， 所以当时，，则单调递增， 所以当时，， 则当时，，即单调递增， 所以当时，，原式得证 17．（15分） 【详解】（1）因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 18．（17分） 【详解】（1）为等积数列，. ； （2）当时， 是公共积为的等积数列，， 又. 又， ，即原命题得证； （3）设 是公共积为1的等积数列，且， 对任意的，都存在正整数，使得， ，这项均为中的项， 由题可知，， 必有， 又， 是公比为的等比数列. 是公比为的等比数列. 19．（17分） 【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为． （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上． ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025届高三下学期开学摸底考 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为　 A． B．2 C． D．4 4．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．平行四边形ABCD中，，，，若，，则（ ） A．4 B．6 C．18 D．22 7．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是虚数单位，若，则（    ） A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第二象限 C． D．复数是关于的方程的一个根 10．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（    ） A． B．数列是递增数列 C．当n＝15时，取得最大值为225 D．的最小值为1 11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是的对称中心 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 13．设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为 . 14．已知分别为椭圆的左､右焦点，过椭圆C在轴上的点A与的直线与交于点，且不在线段上，，，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 (1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； (2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 16．（15分）已知函数． （1）若时，恒有，求a的取值范围； （2）证明：当时，． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 18．（17分）设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积. (1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及； (2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项； (3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列. 19．（17分）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三下学期开学摸底考 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为　 A． B．2 C． D．4 4．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．平行四边形ABCD中，，，，若，，则（ ） A．4 B．6 C．18 D．22 7．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是虚数单位，若，则（    ） A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第二象限 C． D．复数是关于的方程的一个根 10．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（    ） A． B．数列是递增数列 C．当n＝15时，取得最大值为225 D．的最小值为1 11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是的对称中心 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 13．设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为 . 14．已知分别为椭圆的左､右焦点，过椭圆C在轴上的点A与的直线与交于点，且不在线段上，，，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 (1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； (2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 16．（15分）已知函数． （1）若时，恒有，求a的取值范围； （2）证明：当时，． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 18．（17分）设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积. (1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及； (2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项； (3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列. 19．（17分）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三下学期开学摸底考 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】解不等式，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解. 【详解】由，解得； 由，解得； 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集和补集的概念计算即可. 【详解】由题意可得：，则． 故选：D． 3．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为　 A． B．2 C． D．4 【解析】双曲线的一条渐近线与直线垂直， ， ，． 故选：． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，，有. 故函数在单调递增，故， 即，所以，即， 令，则，，有. 故函数在单调递减，故，即， 所以，即. 综上：.故选：D 5．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，设外接圆的半径为， 四棱锥的外接球的半径为， 则，即， 又侧面底面，底面为正方形， 侧面底面，，平面， 所以平面， 所以， 所以四棱锥的外接球的表面积.故选：B 6．平行四边形ABCD中，，，，若，，则（ ） A．4 B．6 C．18 D．22 【答案】C 【解析】由题意可知，以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示 因为， 所以. 设，则， 由，得， 即，解得，所以. 设，则， 由，得， 即，解得，所以. 所以， .故选：C. 7．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得， 的单调增区间为. 在上单调递增，，. 由，解得， 的单调减区间为， 又函数在上单调递减，，. 综上，，即实数的取值范围为，故选：C 8．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 【答案】C 【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形： ①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同， 所以，，，， 因为事件与事件互斥，所以，又， 所以事件M与事件N不相互独立，故A错误； ，故B错误； 由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确； 因为事件N与事件Y互斥，所以， 又，所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误.故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是虚数单位，若，则（    ） A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第二象限 C． D．复数是关于的方程的一个根 【答案】ABD 【分析】求得复数的虚部判断选项A；求得复数对应的点所在象限判断选项B；求得的值判断选项C；代入验证法判断选项D. 【详解】由题意可得，， 复数的虚部为，故A正确； ，对应的点在第二象限，故B正确； ，故C错误； 由 可得复数是关于的方程的一个根.故D正确. 故选：ABD 10．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（    ） A． B．数列是递增数列 C．当n＝15时，取得最大值为225 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】利用已知可求得，进而可得通项公式与前项和公式，再结合选项逐项判断即可. 【详解】因为，，所以，解得，，， 对于A．令n＝9，解得，故A正确； 对于B．d＝－2＜0，数列是递减数列，因此数列不是递增数列，故B错误； 对于C．，当n＝15时，取得最大值为225．故C正确； 对于D．， 令，，∴f（x）在上单调递增，∴的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是的对称中心 D． 【答案】BCD 【分析】求出，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据的解的情况，可判断C项；由对称中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项. 【详解】由题意知. 令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增； 令，解得，所以在上单调递减. 又，. 所以，在处有极大值，在处有极小值. 所以的极大值点为-2，A项错误； 又极大值，极小值，作出的图象， 有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确； ，令，解得， 又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确； 因为点是的对称中心，所以有，即. 令， 又， 所以 ，，所以.故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 【答案】7 【解析】在中，由余弦定理得， 因为为边上的中线，所以， 所以， 所以，即的长为7. 13．设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出两个函数的图象上任意一点出切线的斜率的值域，再将题意转化为两个值域的子集关系，根据子集关系列式可得结果. 【详解】设函数在点处的切线为，函数在点处的切线为， 因为，则， 因为，所以，所以， 而，所以， 依题意可知，对，总，使得，所以， 所以且，解得所以实数的最小值为故答案为： 【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集. 14．已知分别为椭圆的左､右焦点，过椭圆C在轴上的点A与的直线与交于点，且不在线段上，，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据已知设，，则.根据椭圆的定义以及已知条件推得，所以.进而在以及中，根据余弦定理以及角之间的关系，得出关系式，化简整理即可得出之间的关系，代入离心率公式，即可得出答案. 【详解】 由已知，不妨设，，则. 由椭圆的定义可知. 因为点A在轴上，分别为的左､右焦点， 所以. 由，得， 即， 则，所以，所以. 因为， 所以， 即， 即， 整理可得，，则. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 (1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； (2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【答案】(1)有关联(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据二联表中数据，求解卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，即可利用超几何分布的概率公式求解. 【详解】（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. （2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人， 所以所有可能的取值为， 所以，，， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 随机变量的数学期望 16．（15分）已知函数． （1）若时，恒有，求a的取值范围； （2）证明：当时，． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由若时，恒有， 所以当时，恒成立， 设， 则令， 则，显然在单调递增， 故当时，， 当时，，则对恒成立， 则在单调递增， 从而当时，，即在单调递增， 所以当时，，符合题意； 当时，，又因为， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，， 则单调递减，此时，不符合题意. 综上所述，a的取值范围为 （2）要证当时，，即证， 设， 则， 令， 则单调递增， 所以当时，，则单调递增， 所以当时，， 则当时，，即单调递增， 所以当时，，原式得证 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【详解】（1）因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 18．（17分）设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积. (1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及； (2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项； (3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据等积数列定义求解可得答案； （2）当时，根据等积数列的定义，、及可得答案； （3）设，利用是公共积为1的等积数列得，存在正整数，使得，必有，再有，得是公比为的等比数列可得答案. 【详解】（1）为等积数列，. ； （2）当时， 是公共积为的等积数列，， 又. 又， ，即原命题得证； （3）设 是公共积为1的等积数列，且， 对任意的，都存在正整数，使得， ，这项均为中的项， 由题可知，， 必有， 又， 是公比为的等比数列. 是公比为的等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用等积数列的定义和等比数列的定义求解. 19．（17分）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据抛物线的定义，把到的距离与到点的距离之和的最小值转化为到准线的距离为和到点的距离之和的最小值，在根据平面几何即可得出答案； （2）①设，计算出直线的方程和直线的方程，然后联立并根据韦达定理即可证明；②计算出，再根据基本不等式求解. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为． （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上． ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$