16.2二次根式的运算（10种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

16.2二次根式的运算（10种题型基础练+能力提升练） 题型一：二次根式的乘除法运算 1．（23-24八年级上·广东清远·期末）计算： ． 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）已知，则 ． 3．（20-21八年级下·安徽亳州·期末）计算：的结果是 ． 4．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 题型二：求二次根式的值 6．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．估计的值应在（   ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 8．若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是 （只需填一个）． 9．若实数x，y满足，求的值． 题型三：最简二次根式 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列根式中，是最简二次根式的是：（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 12．已知a<b，化简二次根式（   ） A． B． C． D． 题型四：已知最简二次根式求参数 13．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 14．若最简二次根式与能够合并，则= . 15．若是最简二次根式，则自然数 ． 16．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 题型五：同类二次根式 17．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）若最简二次根式与能合并，则 ． 18．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 19．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 20．当x= 时，最简二次根式与能够合并． 题型六：二次根式的加减、混合运算 21．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）计算的结果是 ． 22．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七：分母有理化 23．已知，，则m和n的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（）的结果等于（　　） A． B． C． D． 25．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）先化简，再求值：，其中： 26．（22-23八年级下·广东广州·期中）材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______ ； (2)将式子分母有理化； (3)化简：． 题型八：化简求值 27．（2023·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 28．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 30．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）若为的小数部分，则的值为 ． 31．（24-25九年级上·安徽马鞍山·开学考试）计算 (1)． (2) 32．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）计算： (1) (2) 33．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先化简，再求值：，其中分别为的整数和小数部分． 34．（2024·安徽淮北·三模）先化简，再求值：，其中． 35．已知 ，．求： (1)的值； (2)的值． 题型九：比较二次根式的大小 36．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 37．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）比较大小： 填“”、“”或“”． 38．（23-24八年级上·全国·单元测试）用“”或“”号填空： ； ； ． 39．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）比较大小： （填“>”或“<”“=”）． 题型十：二次根式的应用 40．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 41．（2024·安徽池州·三模）我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202～1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Heron，约50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在海伦的著作《度量论》一书中，他给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年～公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为，那么这个三角形的面积为（公式里的为半周长，即）．已知三角形的三边长分别为3，6，7，利用上面的公式计算三角形的面积为 ． 42．海伦一秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为5、6、7，那么这个三角形的面积为 ． 43．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则边上的高的长为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 8．已知点的坐标满足，，且，则点的坐标是 9．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 10．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整． ； ； …… 由此，我们可以解决下面这个问题： ，求出S的整数部分． 解： …… ∴S的整数部分是 ． 11．如图1，点D、E分别在等边的边、上，且，与交于点F．    （1）则 °． （2）如图2，延长到P，使，若，，则的长为 ． 12．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 三、解答题 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 14．材料一：若a是正整数，a除以3的余数为1，则称a是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”． 材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由； (2)若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的p． 15．（24-25八年级上·山西晋中·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 17．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 18．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 19．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 20．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，点，，若，则称点A与点B互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点A与点B互为“等差点”． (1)若点A的坐标是，则在，，中，是点A“等差点”的是________； (2)若点A的坐标是与点互为“等差点”，且m，n互为相反数，求点B的坐标． 21．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，求：的值． 22．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 23．（2024·安徽合肥·三模）先化简，再求值：，其中． 24．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 25．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整分得到该无理数的小数部分，例如的整数部分是1，则是的小数部分． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)已知无理数的整数部分是m，小数部分是n，求的值． 26．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法是：根据，得， ，即． 把作为整体代入，得． 请你用上述方法，解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 27．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 28．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 29．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期中）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ (3)由线段、、、首尾相连围成一个图形，连接、，与相交于点，和的面积分别是6和12，设的面积为，的面积为，求面积的最小值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2二次根式的运算（10种题型基础练+能力提升练） 题型一：二次根式的乘除法运算 1．（23-24八年级上·广东清远·期末）计算： ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】二次根式的乘法 【分析】此题考查了二次根式的乘法，根据二次根式乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：3 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴x2﹣y2＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 3．（20-21八年级下·安徽亳州·期末）计算：的结果是 ． 【答案】6 【难度】0.94 【知识点】二次根式的除法 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答的关键 4．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 5．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）按照从左至右的顺序进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 题型二：求二次根式的值 6．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 7．估计的值应在（   ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、求二次根式的值 【分析】利用算术平方根的定义，估算出的范围，然后减去3即可得到答案. 【详解】解：∵，即， ∴， ∴的值应在1和2之间； 故选择：C. 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算无理数的方法是解本题的关键． 8．若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是 （只需填一个）． 【答案】﹣2（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【详解】解：∵|x|≤3， ∴﹣3≤x≤3． ∵x为整数，∴x=﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3． 分别代入可知，只有x=﹣2，3时为整数． ∴使为整数的x的值是﹣2或3（填写一个即可）． 故答案为： 9．若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值、利用算术平方根的非负性解题、二次根式有意义的条件 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键． 题型三：最简二次根式 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）下列根式中，是最简二次根式的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 12．已知a<b，化简二次根式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】∵a<b，依题意可知a，b异号， ∴a＜0 ∴= 故选D． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 题型四：已知最简二次根式求参数 13．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数、化为最简二次根式 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 14．若最简二次根式与能够合并，则= . 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式的性质即可进行求解． 【详解】依题意得a=2a-5， 解得a=5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知同类最简二次根式的被开方数相同． 15．若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴1+n=1或1+n=0， 解得：n=0或n=-1(舍去)， ∴自然数n=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键． 16．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数、代入消元法、零指数幂 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 题型五：同类二次根式 17．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）若最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了同类二次根式，解题的关键是掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 18．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式和最简二次根式等知识点，根据同类二次根式的定义得出，求出即可，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 【详解】∵， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：7． 19．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．先化简，再结合同类二次根式的定义（被开方数相同），即可作答． 【详解】解： ∴这个二次根式可以是； 故答案为：（答案不唯一） 20．当x= 时，最简二次根式与能够合并． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】根据最简二次根式与能够合并，得与为同类二次根式，列式求出x即可. 【详解】∵最简二次根式与能够合并， ∴与为同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：2. 【点睛】本题是对同类二次根式的考查，熟练掌握同类二次根式知识是解决本题的关键. 题型六：二次根式的加减、混合运算 21．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先进行乘法运算并化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解；掌握（，）和合并同类二次根式法是解题的关键. 【详解】解：原式； 故答案为：． 22．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减和二次根式的性质化简，即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：D． 题型七：分母有理化 23．已知，，则m和n的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】分母有理化 【分析】将化简后和进行比较即可得出答案． 【详解】∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了分母有理化和实数的大小比较，利用分母有理化进行化简是解题的关键． 24．计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（）的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】设，原式变形后计算即可求出值． 【详解】解：设a＝， 原式＝（1﹣a）（a+）﹣（1﹣a﹣）×a ＝a+﹣a2﹣﹣a+a2+ ＝． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）先化简，再求值：，其中： 【答案】， 【难度】0.94 【知识点】分式加减乘除混合运算、分母有理化 【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分母有理化的方法求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． 26．（22-23八年级下·广东广州·期中）材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______ ； (2)将式子分母有理化； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据有理化因式的定义求解； （2）把分子分母都乘以，然后根据平方差公式计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：的有理化因式为； 故答案为：； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和平方差公式是解决问题的关键． 题型八：化简求值 27．（2023·福建厦门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.94 【知识点】已知字母的值，化简求值、分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 28．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： ，解得：x>2， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 29．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了求代数式的值，将化为，再利用完全平方公式进行简便计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 30．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）若为的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知条件式，化简求值 【分析】估算出在哪两个连续整数之间求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是估算出在哪两个连续整数之间． 31．（24-25九年级上·安徽马鞍山·开学考试）计算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂、实数的混合运算、化简绝对值 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确运用运算法则是解题关键． （1）根据二次根式，绝对值，零次幂的运算规律运算即可； （2）根据二次根式，绝对值的运算规律运算即可． 【详解】（1） 解： （2） 解： 32．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）先去绝对值，运用完全平方公式去括号，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： =． 33．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先化简，再求值：，其中分别为的整数和小数部分． 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、整式的加减中的化简求值、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键， 先利用乘方公式，单项式乘多项式的运算法则计算，最后代入求值． 【详解】解： ∵ ∴ ∵分别为的整数和小数部分 ∴ ∴原式． 34．（2024·安徽淮北·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，先把括号内的式子通分，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】．解：原式 当时， 原式 35．已知 ，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)6 【难度】0.85 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解决本题的关键是要根据因式分解和完全平方公式对代数式进行变形． （1）先将代数式进行因式分解，然后再分别计算两个数的和，两个数的乘积，最后代入分解后的代数式即可求解； （2）先将分式通分，然后根据完全平方公式变形，再将两个数的和，两个数的乘积代入变形后的代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 题型九：比较二次根式的大小 36．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 37．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）比较大小： 填“”、“”或“”． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】比较二次根式的大小、求一个数的绝对值 【分析】根据比较两个负数的大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的大小比较，关键是掌握实数大小的比较方法． 38．（23-24八年级上·全国·单元测试）用“”或“”号填空： ； ； ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，熟知二次根式比较大小的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；． 39．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）比较大小： （填“>”或“<”“=”）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，先比较两个二次根式的平方，进而即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 题型十：二次根式的应用 40．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的意义，先根据题意求出，再根据公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， 故答案为：． 41．（2024·安徽池州·三模）我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202～1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Heron，约50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在海伦的著作《度量论》一书中，他给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年～公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为，那么这个三角形的面积为（公式里的为半周长，即）．已知三角形的三边长分别为3，6，7，利用上面的公式计算三角形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查新定义下三角形的面积．根据题意，直接将数值代入公式即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为3，6，7 ． 故答案为：． 42．海伦一秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为5、6、7，那么这个三角形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的应用 【分析】根据题目所给公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键 43．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 【答案】(1)米 (2)元 【难度】0.85 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式求解即可得到答案； （2）先用大长方形面积减去小长方形的面积，再乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，广场的周长为：， 广场的周长为米； （2）解：铺地砖的面积为：（平方米）， 这个广场铺满地砖的费用为：（元）． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，不是最简二次根式，故A不符合要求； ，是最简二次根式，故B符合要求； ，不是最简二次根式，故C不符合要求； ，不是最简二次根式，故D不符合要求； 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、化为最简二次根式 【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴①正确； ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 同理：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴若平分，则，与矛盾， ∴③错误； 如图所示：连接、， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵中，，中，， ∴， ∴， ∴④正确； 综上可知，正确的有①②④， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简和同类二次根式，先将各项进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则边上的高的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据的值，求出的值，代入公式计算即可求出，再根据三角形面积公式即可求出边上的高，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴边上的高的长为， 故选：． 6．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的运算法则，化简，理解和掌握二次根式的运算法则即化简方法是解题的关键． 根据二次根式的运算法则和二次根式的性质进行化简，从而作出判断． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，该选项不符合题意；     B. ，原计算错误，该选项不符合题意；     C. ，原计算错误，该选项不符合题意；         D. ，原计算正确，该选项符合题意；     故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 8．已知点的坐标满足，，且，则点的坐标是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值、求点到坐标轴的距离 【分析】先根据二次根式求出y,再根据要求求出x即可. 【详解】∵ ∴y=4 ∵， ∴x=-3 ∴P为. 【点睛】本题考查的是坐标，熟练掌握绝对值和二次根式是解题的关键. 9．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【难度】0.65 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 10．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整． ； ； …… 由此，我们可以解决下面这个问题： ，求出S的整数部分． 解： …… ∴S的整数部分是 ． 【答案】见解析；18 【难度】0.4 【知识点】二次根式的应用 【分析】根据题目给出的不等式，变形确定s的整数界点值，根据夹逼法确定整数值． 【详解】∵ ； ； ； ∴18＜S＜19， ∴S整数部分为18， 故答案为：； ； ；18； 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，不等式的性质，估算的思想，熟练确定S位于哪两个整数之间是解题的关键． 11．如图1，点D、E分别在等边的边、上，且，与交于点F．    （1）则 °． （2）如图2，延长到P，使，若，，则的长为 ． 【答案】 60 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质、二次根式的混合运算 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，且，可证；再由三角形的外角性质可求的度数； （2）在上截取，连接交于点G，交于点L，由（1）得，同理，，则，而，所以，再证明，则，，，即可求出的长． 【详解】解：（1）如图1， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为60； （2）如图2，在上截取，连接交于点G，交于点L， 由（1）得，同理，， ， ， ， 设， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 故答案为：．   ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 三、解答题 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 14．材料一：若a是正整数，a除以3的余数为1，则称a是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”． 材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由； (2)若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的p． 【答案】(1)124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数”，理由见解析． (2)所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算、列代数式、求二次根式的值 【分析】(1)根据“三拖一数”的定义即可一一判定； (2) 任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d，根据题意可知：2a+d=9，b+c=8，化简整理可得p=4500+99b+9c-498d+b+cd，若p为“三拖一数”，则b+cd必须为“三拖一数”，可设b+cd=3k+1（且k为整数），则k=，分类讨论可确定d=7、a=1或d=1、a=4，再根据是有理数，则是有理数的完全平方数，列出情况分类讨论即可确定满足条件的p． 【详解】（1）解：124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数” 理由如下： 124是“三拖一数” 1838不是“三拖一数” （2）解：任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d， 根据题意可知：2a+d=9，b+c=8 p是“三拖一数”且能被3整除， 是“三拖一数”， 设（且k为整数）， ， 当时 ，，， 当时 ，，（舍）， 当时 ，，， 因为有理数，则是有理数的完全平方数， ， 当，， ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； 当，， ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； 综上，所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【点睛】本题考查了新定义运算，列代数式，二次根式的求值问题，应用了分类讨论的思想，理解题意，逐条件分析是解决本题的关键． 15．（24-25八年级上·山西晋中·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可解答； （2）根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可解答； （3）将二次根式的除法转化为乘法，根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则运算，，然后化简后合并即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ． 16．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】利用二次根式的性质化简、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 17．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)第n个等式，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据题意写出第6个等式； （2）根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则证明结论． 【详解】（1）第6个等式：； （2）第个等式：． 证明： ， ∵左边=右边， 故该等式成立． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． 18．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】化为最简二次根式、二次根式的应用 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练的计算与化简二次根式的解本题的关键； （1）先求解，再代入公式计算即可； （2）先求解，，，再代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，． ∴． 根据海伦公式，得该三角形的面积． （2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，， ∴，，． 根据秦九韶公式，得该三角形的面积． 19．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式： （1）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此得到，则； （2）根据（1）所求得到，据此化简二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 20．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，点，，若，则称点A与点B互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点A与点B互为“等差点”． (1)若点A的坐标是，则在，，中，是点A“等差点”的是________； (2)若点A的坐标是与点互为“等差点”，且m，n互为相反数，求点B的坐标． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标的新定义，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式，找到规律，解决问题． （1）读懂新定义，根据新定义解题即可； （2）根据新定义，列出方程组，求出，，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：根据新定义可以得、与点互为“等差点”； 因为点的坐标是，点，则有，所以点与点不是互为“等差点”． 因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”． 因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”． 故答案为：，； （2）解：由题意得， ． 、互为相反数， ， 解得， ，． ． 21．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，求：的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法和二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴ ， ， ， ． 22．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 23．（2024·安徽合肥·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)8． 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值． （1）由，的值，求出与的值，将原式提取公因式得到，代入计算即可； （2）由（1）得，，将原式利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 25．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整分得到该无理数的小数部分，例如的整数部分是1，则是的小数部分． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)已知无理数的整数部分是m，小数部分是n，求的值． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简求值： （1）根据无理数的估算方法得到，据此可得答案； （2）根据无理数的估算方法得到，进而得到，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴无理数的整数部分是7， ∴无理数的小数部分是， ∴， ∴ ． 26．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法是：根据，得， ，即． 把作为整体代入，得． 请你用上述方法，解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键； （2）根据完全平方公式计算可得，然后利用整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 27．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)121 (3) 【难度】0.65 【知识点】已知条件式，化简求值、已知字母的值，化简求值、分母有理化、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可； （3）求出的值，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ ； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 28．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)，方法见详解； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知条件式，化简求值、分母有理化 【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案； （2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案； （3）根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案； 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解：由题意可得， ， ； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法． 29．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 30．（23-24八年级下·安徽六安·期中）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ (3)由线段、、、首尾相连围成一个图形，连接、，与相交于点，和的面积分别是6和12，设的面积为，的面积为，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米 (3)面积的最小值为 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，则，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵，当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， ∵、的面积分别是6和12， ∴，， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴的最小值为． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$