精品解析：福建省南安第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段考试数学试题

南安一中2024~2025学年度高一年第一次阶段考 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 3. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 4. 若集合，，则能使成立的所有a的集合是（ ）． A B. C. D. 5. 已知为正实数，且，则的最小值是（ ） A B. 3 C. D. 6 6. 互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若对，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 的一个必要条件是 D. 函数在上的值域为 11. 波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 14. 已知是定义在上的函数，，且对于任意都有，，若，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设为全集，集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数取值范围． 16. 在“①函数的定义域为R，②，使得，③方程有一根在区间内”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． 问题：已知条件p：______，条件q：函数在区间上不单调，若p是q的必要条件，求实数a的最大值． 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 18. 已知，函数. （1）若，求的单调递增区间； （2）函数在上的值域为，求，需要满足的条件. 19. 莫比乌斯函数由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，德国数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应，．现对任意，定义莫比乌斯函数. （1）求； （2）若正整数互质，证明：； （3）已知，记（为的质因数个数，为质数，）的所有因数从小到大依次为．若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2024~2025学年度高一年第一次阶段考 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得到，根据题意得到，再由集合交集的概念得到结果． 【详解】由集合， ， 根据集合交集的概念得到：． 故选：D． 2. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再求得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 4. 若集合，，则能使成立的所有a的集合是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 5. 已知为正实数，且，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由“1”的变换，变形为，展开后利用基本不等式求最小值． 【详解】由条件可知， ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为． 故选：B． 6. 互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法先比较的大小关系，再利用作差和配方法求得的大小关系，从而得到正确选项. 【详解】因为， 又因为实数互不相等，故，即； 又因为，所以， 即，故. 综上： 故选：D 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的定义域，再利用函数的单调性可求得的解集． 【详解】函数，所以定义域为，解得， 因为是单调递增函数，是单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 由不等式得，解得， 故选：C． 8. 已知函数．若对，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数变形，求出它的值域，再求出函数的值域，根据题干中条件求解即可. 【详解】，令， 则令， m在上单调递减，上单调递增，所以，则， 易知在区间上单调递增，则， 又，使得， 所以,解得：， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数值域为 C. 的一个必要条件是 D. 函数在上的值域为 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A利用抽象函数的定义域求法即可解得；选项B先对函数分离常数，即可得到值域；选项C举反例即可得到结果；选项D利用二次函数在闭区间上的单调性即可求得值域. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，所以， 解得，故的定义域为，故A正确. 对于选项B：函数变形为，因为， 所以，当x趋于1时，趋于正无穷或者负无穷， 所以函数的值域为，故B正确. 对于选项C：若，则，故； 但时当时，如得不到，故C错误. 对于选项D：，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值，最大值，故值域为，故D错误. 故选：CD 11. 波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】解:对于选项A，当时，，当时，， 而，当时，， 若是无理数，则是无理数，有， 若是有理数，则是有理数，当,(正整数数，为最简真分数）， 则,（为正整数数,为最简真分数）, 此时，综上:时，，所以选项A正确， 对于选项B，取，则, 所以,所 以选项B错误， 对于选项C，当和无理数时，，显然有， 当（是正整数， 是最简真分数）时， ,，故， 当时，，有， 当时，，，有， 当a为无理数， 时，，有， 综上: ，所以选项C正确； 对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立， 当 (正整数数，互质)，由，得到 ， 整理得到.又正整数，互质，所以，所以，所以选项D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据黎曼函数的定义，对每个选项的情况分别分成或或内的无理数以及有理数讨论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】3 【解析】 【分折】利用换元法，结合题目的等量关系，求出解析式，即可求解． 【详解】令， ， ， ， ． 故答案为：3． 13. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围． 【详解】对任意的实数，都有，即成立， 可得函数图像上任意两点连线斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故答案为：． 14. 已知是定义在上的函数，，且对于任意都有，，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得的值，由此求得的值． 【详解】在中，令，得， 由，得， 又，， 因此，则有，即， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设为全集，集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解； （2）由已知结合集合的包含关系对集合是否为空集进行分类讨论即可求解． 【小问1详解】 由题意可得， 当时，， 所以， 因为， 所以 【小问2详解】 由（1）知，， 若，即，解得，此时满足； 若，要使，则，解得， 综上，若，所求实数的取值范围为． 16. 在“①函数的定义域为R，②，使得，③方程有一根在区间内”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． 问题：已知条件p：______，条件q：函数在区间上不单调，若p是q的必要条件，求实数a的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在区间上不单调的等价条件为，三个可选择的条件求出的范围都是，利用集合间的关系求范围即可. 【详解】条件q：函数在区间上不单调 因为的对称轴为，在区间上不单调 故，则 若选①：函数的定义域为，则，则 若p是q的必要条件，则是的子集，则 ，故a的最大值为； 若选②：，使得 由于表示数轴上的实数到和的距离之和，故有最小值为 ，当且仅当即时取得 ，使得，故， 同理可得a的最大值为； 若选③，方程有一根在区间内，则，且在内，可得，则； 同理可得a的最大值为； 【点睛】根据充分条件与必要条件求范围问题应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对二次项系数的情况分类讨论，列出需满足的条件求解即可； （2）通过分离常数，结合基本不等式，即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 若不等式的解集为， 当，即时，，不合题意； 当，即时，即的解集为， 则，即，解得； 综上所述：的取值范围为. 【小问2详解】 因为，即， 且，可得， 设，则， 可得， 又因为，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 可得，所以的取值范围为. 18. 已知，函数. （1）若，求的单调递增区间； （2）函数在上的值域为，求，需要满足的条件. 【答案】（1）的单调递增区间为，；（2）或. 【解析】 【分析】（1）分两种情况取绝对值，得到函数的解析式，再利用二次函数的单调性即可得出结果； （2）分段函数求值域，对分情况讨论，由值域得到的值. 【详解】（1）因为，， 当时，，开口向上，对称轴为， 故函数在区间上单调递增； 当时，，开口向下，对称轴为， 故函数在区间上单调递增； 所以的单调递增区间为，. （2）因为在上的值域为， 所以， 即， （i）当时，， 所以时，， 又， 所以， 得，此时， 而， 所以得， 所以. （ii）当时， ， 所以， ①当时， ， 所以， 得，； ②当时，， 所以， 所以， 所以或，不成立. 由（i）、（ii）可知或 【点睛】本题主要考查了含绝对值函数处理方法，考查了二次函数的单调性，值域问题；考查了分类讨论思想.属于中档题. 19. 莫比乌斯函数由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，德国数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应，．现对任意，定义莫比乌斯函数. （1）求； （2）若正整数互质，证明：； （3）已知，记（为的质因数个数，为质数，）的所有因数从小到大依次为．若，求. 【答案】（1）；； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，，根据所给定义计算可得； （2）对的取值是否为1进行分类讨论，对的取值进行分别计算即可求得结论； （3）列出的真因数，根据所给定义计算可得； 小问1详解】 因为，易知，所以； 因为，因为5的指数，所以； 【小问2详解】 ①若或，因为，所以； ②若，且存在质数，使得或的质因数分解中包含，则的质因数分解中一定也包含， 所以， ③若，且不存在②中的，可设， 其中均为质数，则， 因为互质，所以互不相等， 所以， 综上可知. 【小问3详解】 ， ∴， ， 则， ， ， ， ∴. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于充分理解莫比乌斯函数的定义，并根据计算规则得出其规律 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $