2024-2025学年七年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）《相交线平行线》全章十八大题型解题技巧

2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 全章十八大题型解题技巧 知识要点归纳 【知识点1】对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 注意： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 注意：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 【知识点5】平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 【知识点6】平行公理 1．平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行． 2．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【知识点7】平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+2=180° 那么AB//CD 【知识点8】平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【知识点9】命题、定理、证明 1．命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 注意：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2．定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明． 注意： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．举反例证明假命题时，所举例符合命题题设，但不符合命题结论。 【知识点10】平移 1． 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 注意 （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2． 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 注意 （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3． 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 对顶角、邻补角的识别】 【例1-1】．下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列各图中，∠1和∠2是邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．如图，是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 对顶角、邻补角的性质】 【例2-1】．张小泉剪刀是我国剪刀的一块金字招牌，所铸剪刀，选用闻名的“龙泉”钢为原料，镶钢均匀，磨工精细，刀口锋利，开闭自如，因而名噪一时．如图1是张小泉剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，为测量古塔的外墙底角的度数，甲、乙两人的测量方案如下：    方案一 方案二   甲：分别作，的延长线，，量出的度数，就得到的度数．   乙：作的延长线，量出的度数后可通过得到的度数． 下列判断正确的是（    ） A．甲能得到的度数，乙不能 B．乙能得到的度数，甲不能 C．甲、乙都能得到的度数 D．甲、乙都不能得到的度数 【变式2-2】．古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 【变式2-3】．如图，建筑工人经常要测量两堵围墙所成的，但人不能进入围墙，聪明的你帮助工人师傅想想办法吧．要求：写出测量方案，给出的表达式． 【题型3 垂线的定义及应用】 【例3-1】．如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，三条直线交于点O，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】．．如图，已知直线与直线相交于点O，下列条件中不能说明的（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】．．如图，点为直线上一点，，当 时，． 【题型4 利用垂线的定义求角度】 【例4-1】．如图，点A、O、B在同一直线上，是的平分线，，且． (1)试求的度数； (2)直接写出图中的补角． 【变式4-1】．．如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数． 【变式4-2】．如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 【变式4-3】．如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【题型5 垂线的画法】 【例5-1】．下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【变式5-2】．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为； (3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 【变式5-3】．按要求画图： (1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使； (2)如图2，P是的边上的一点． ①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H 【题型6 垂线的性质】 【例6-1】．如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式6-1】．如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【变式6-2】．如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【变式6-3】．如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 【题型7 同位角、内错角、同旁内角的识别】 【例7-1】．对于题目：“如图，写出与是同旁内角的所有角” 甲的答案： 乙的答案： 则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同旁内角的定义，根据“两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角”即可得到答案． 【详解】解：的同旁内角有，，， 甲、乙合在一起也不正确， 故选：D． 【变式7-1】．如图（1），三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有 对：如图（2），四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点，则图中的同旁内角有 对． 【变式7-2】．两条直线被第三条直线所截，如果一对同位角相等，那么内错角也相等，同旁内角互补.试将下列说理过程补充完整. 解：如图，设， °（平角的定义）， ， 又 （平角的定义）， （　　）. 【变式7-3】．如图，写出图中所有的内错角和同旁内角． 解：内错角是与，与；（第一步） 同旁内角是与，与．（第二步） 上面的解答过程是否正确？若不正确，请指出哪一步出错，并写出你认为正确的结论． 【题型8 相交线的规律探究】 【例8-1】．平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【变式8-2】．．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【变式8-3】．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 【题型9 平行公理及推论】 【例9-1】．数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 【变式9-1】如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【变式9-2】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【变式9-3】．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【题型10 平行线的画法】 【例10-1】．如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【变式10-1】．如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【变式10-2】．如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 【变式10-3】．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． (2)线段的长度是点___________到点__________的距离． (3)比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 【题型11 平行线的判定】 【例11-1】．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式11-1】．如图，已知，，，与平行吗？ 【变式11-2】．如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 【变式11-3】．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【题型12 平行线的性质】 【例12-1】．如图，，点E在上，连接，若平分，，则的度数为 ． 【变式12-1】．如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若，求的度数． 【变式12-2】．如图在中，，求的度数． 【变式12-3】．如图，在四边形中，连接，，．求证：．    【题型13 平行线的判定、性质综合应用】 【例13-1】．图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【变式13-1】．如图，，点E是直线上的一点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连结，若，，则是否平分？请说明理由． 【变式13-2】．如图，已知：中，D、E、F、G分别在、和上，连接、和，，． (1)判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求的度数． 【变式13-3】．如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【题型14 平行线中的拐点问题】 【例14-1】．如图，已知，，，则 ． 【变式14-1】．如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【变式14-2】．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【变式14-3】．已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 【题型15 生活中的平移】 【例15-1】．在如图的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】．小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案．下列选项中的图形，可以通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】．下列运动属于平移的是（    ） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【变式15-3】．下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 【题型16 平移的性质】 【例16-1】．如图，将沿射线方向平移得到，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为 ． 【变式16-1】．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式16-2】．如图，△经过一次平移到△的位置，请回答下列问题： （1）点的对应点是点 ， ， ； （2）连接，那么平移的方向就是 的方向，平移的距离就是线段 的长度，可量出约为 cm； （3）连接、、，与线段相等的线段有 ． 【变式16-3】．如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 【题型17 平移的作图】 【例17-1】．如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 【变式17-1】．如图所示，将平移，可以得到，点的对应点为点，请画出点的对应点、点的对应点的位置，并作出． 【变式17-2】．三角形的位置如图所示． (1)将三角形向右平移5 格得到三角形，请画出三角形； (2)将第（1）题中平移所得到的三角形向下平移4 格得到三角形，请画出三角形； (3)经（1），（2）两题两次平移后得到的图形，能通过将三角形经过一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程；如果你认为不可以，请简要说明理由． 【变式17-3】．如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 (1)在图中画出平移后的 (2)画出点A到线段的垂线段； (3)若，与相交于点H，则______，______ 【题型18 命题、定理、证明】 【例18-1】．将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 【变式18-1】．张、王、李三人预测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果： 王说：“丁队得冠军，乙队得亚军”；李说：“甲队得亚军，丙队得第四”； 张说：“丙队得第三，丁队得亚军”． 赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 ． 【变式18-2】．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【变式18-3】．如图，直线和直线，直线和直线都被直线所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①，，②，③. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 全章十八大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 【知识点1】对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 注意： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 注意：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 【知识点5】平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 【知识点6】平行公理 1．平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行． 2．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【知识点7】平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+2=180° 那么AB//CD 【知识点8】平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【知识点9】命题、定理、证明 1．命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 注意：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2．定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明． 注意： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．举反例证明假命题时，所举例符合命题题设，但不符合命题结论。 【知识点10】平移 1． 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 注意 （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2． 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 注意 （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3． 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 对顶角、邻补角的识别】 【例1-1】．下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】．下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题主要考查了对顶角．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案． 【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的∠1与∠2不互为邻补角； 根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角． 故选：D． 【变式1-2】．下列各图中，∠1和∠2是邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义、邻补角的定义理解 【分析】本题考查邻补角的定义，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是两条直线相交组成的角，本选项不符合题意； B、是对顶角，本选项不符合题意； C、不是两条直线相交组成的角，本选项不符合题意； D、符合邻补角的定义，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】．如图，是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的识别，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角；根据对顶角的定义判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义知，中的两个角都不是对顶角，选项C中的两个角是对顶角； 故选：C． 【题型2 对顶角、邻补角的性质】 【例2-1】．张小泉剪刀是我国剪刀的一块金字招牌，所铸剪刀，选用闻名的“龙泉”钢为原料，镶钢均匀，磨工精细，刀口锋利，开闭自如，因而名噪一时．如图1是张小泉剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角定义，由对顶角相等，求出，然后根据邻补角的定义，即可求出答案． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【变式2-1】．如图，为测量古塔的外墙底角的度数，甲、乙两人的测量方案如下：    方案一 方案二   甲：分别作，的延长线，，量出的度数，就得到的度数．   乙：作的延长线，量出的度数后可通过得到的度数． 下列判断正确的是（    ） A．甲能得到的度数，乙不能 B．乙能得到的度数，甲不能 C．甲、乙都能得到的度数 D．甲、乙都不能得到的度数 【答案】C 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，方案一，由对顶角相等可得，甲能得到的度数； 方案二，由邻补角互补可得，，乙能得到的度数； 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角相等，邻补角互补．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式2-2】．古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 【答案】方案1利用了邻补角的性质；方案2利用了对顶角的性质 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查对顶角和邻补角，牢记对顶角的定义和性质（对顶角相等），邻补角的定义是解题的关键． （1）根据邻补角求出结果即可； （2）根据对顶角相等求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵与为邻补角， ∴根据邻补角的性质可得：， ∴量出的度数，便知的度数； 方案2：∵与为对顶角， ∴根据对顶角相等可得：， ∴量出的度数，便知的度数． 【变式2-3】．如图，建筑工人经常要测量两堵围墙所成的，但人不能进入围墙，聪明的你帮助工人师傅想想办法吧．要求：写出测量方案，给出的表达式． 【答案】见解析 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】根据邻补角的定义，得出是的邻补角，测量出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：反向延长射线，得出射线， 测量的度数，． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，注意：如果和互为邻补角，则． 【题型3 垂线的定义及应用】 【例3-1】．如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意； B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意； D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】．如图，三条直线交于点O，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了余角及对顶角；由互余可求得的度数，再由对顶角相等即可求解． 【详解】解：，， ， ； 故选：C． 【变式3-2】．．如图，已知直线与直线相交于点O，下列条件中不能说明的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：A、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； B、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意； C、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意； D、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意． 故选：D 【变式3-3】．．如图，点为直线上一点，，当 时，． 【答案】/70度 【知识点】垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了垂直的定义以及平角的定义，掌握垂直得以及平角为是解题的关键，把当成条件，然后去推出的度数． 【详解】解： ， ， 又，， ， 当时，． 故答案为：． 【题型4 利用垂线的定义求角度】 【例4-1】．如图，点A、O、B在同一直线上，是的平分线，，且． (1)试求的度数； (2)直接写出图中的补角． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的补角、垂线的定义理解 【分析】此题考查两角互补的关系、角平分线的意义、平角的意义，以及角的和与差等知识点． （1）利用是的平分线，得出，求出，再利用平角的意义求得问题； （2）利用互补两角的和是直接写出即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意得：由（1）可知：，， ∴， ∴与互补的角有； 【变式4-1】．．如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数． 【答案】， 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、对顶角、垂直的定义等知识点，掌握角平分线的定义及对顶角相等的性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义得出，对顶角的性质可得的度数，再利用角的和差即可求得； （2）再利用角平分线的定义可求解的度数，再根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴，． 【变式4-2】．如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)对顶角相等，； (2)． 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度、几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】（）利用对顶角相等的性质解答即可； （）根据对顶角相等，可知，结合，即可求解； 本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴（对顶角相等）， 故答案为：对顶角相等，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】．如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，垂直的定义： （1）根据可得，等量代换可得，再根据平角的定义即可求解； （2）根据角的和差关系可得，根据垂直的定义可得，进而可得，则． 【详解】（1）解： ， ． ， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ． 【题型5 垂线的画法】 【例5-1】．下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】本题主要考查了垂线的作法．根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可； 【详解】解：根据分析可得C的画法正确； 故选：C． 【变式5-1】．根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短、画垂线 【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短： （1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可； （2）过点B作于C，根据垂线段最短可知点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求． 【变式5-2】．如图，点是的边上的一点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为； (3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【知识点】画垂线、点到直线的距离 【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成为解题的关键． （1）如图取格点D,连接交于点，直线即为所求； （2）直接根据方格作图即可； （2）根据点到直线距离解答即可． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求； （2）解：如图：线段即为所求． （3）解：点到直线的距离为，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：，． 【变式5-3】．按要求画图： (1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使； (2)如图2，P是的边上的一点． ①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、画垂线 【分析】此题主要考查了基本作图，作线段和作垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键． （1）根据线段的作法连接即可，再延长，截取即可 （2）根据过直线上一点作垂线的方法，得出即可． 【详解】（1）解：，即为所求： （2）和如图2所求： 【题型6 垂线的性质】 【例6-1】．如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式6-1】．如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：因为，， 所以直线与重合， 其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 【变式6-2】．如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】点到直线，垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查点到直线垂线段最短，解题的关键是理解题意；根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是点到直线，垂线段最短； 故答案为点到直线，垂线段最短． 【变式6-3】．如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 【答案】见解析 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，过B作河的垂线，要使最短，直线a，，连接即可得出N，作出即可． 【详解】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． 【题型7 同位角、内错角、同旁内角的识别】 【例7-1】．对于题目：“如图，写出与是同旁内角的所有角” 甲的答案： 乙的答案： 则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同旁内角的定义，根据“两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角”即可得到答案． 【详解】解：的同旁内角有，，， 甲、乙合在一起也不正确， 故选：D． 【变式7-1】．如图（1），三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有 对：如图（2），四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点，则图中的同旁内角有 对． 【答案】 6 24 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．根据同旁内角的定义即可求得此题． 【详解】解：图（1）中与，与，与，与，与，与，共6对同旁内角； 根据图（1）可知，图（2）中、、组成的图形中共有6对同旁内角；、、组成的图形中共有6对同旁内角；、、组成的图形中共有6对同旁内角；、、组成的图形中共有6对同旁内角； ∴图（2）中同旁内角共有对， 故答案为：6；24． 【变式7-2】．两条直线被第三条直线所截，如果一对同位角相等，那么内错角也相等，同旁内角互补.试将下列说理过程补充完整. 解：如图，设， °（平角的定义）， ， 又 （平角的定义）， （　　）. 【答案】180；∠2；180；同角的补角相等 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了补角的性质，解题的关键是熟练相关的性质， 根据补角的性质即可解答； 【详解】解：如图，设， (平角的定义)， 又 (平角的定义)， (同角的补角相等). 故答案为：180；∠2；180；同角的补角相等. 【变式7-3】．如图，写出图中所有的内错角和同旁内角． 解：内错角是与，与；（第一步） 同旁内角是与，与．（第二步） 上面的解答过程是否正确？若不正确，请指出哪一步出错，并写出你认为正确的结论． 【答案】不正确，见解析 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了内错角与同旁内角，根据内错角和同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：不正确，第二步出错． 同旁内角是与，与，与，与，与． 【题型8 相交线的规律探究】 【例8-1】．平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、相交线 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 【变式8-1】．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【答案】45 【知识点】相交线 【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案． 【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点． 【变式8-2】．．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【知识点】图形类规律探索、相交线 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    【变式8-3】．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 【答案】(1)2；3或5 (2)9 (3) (4)65；130对 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、归纳与类比、已知字母的值 ，求代数式的值、相交线 【分析】（1）按要求画出图形，数一数即可； （2）按要求画出图形，数一数即可； （3）由（1）（2）的图及结果，按照不重不漏的原则，分别找出取、、、等最多交点数与之间的关系，即可求解； （4）代入（3）的代数式求解即可，根据对顶角的定义，可知每两条直线相交的一个交点处有两对对顶角，从而可求． 【详解】（1）解：当时，如图： 故答案：． 当时，如图 故答案：3或5． （2）解：当时，如图 故答案：． （3）解：由（1）（2）得： 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； ．．．．．． 条直线时，交点个数最多：    故答案：． （4）解：当时，， ． 答：有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生65个交点，此时共有130对对顶角． 【点睛】本题考查了以直线交点数为背景的探究规律问题，准确找出规律是解题的关键． 【题型9 平行公理及推论】 【例9-1】．数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行公理的应用、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理及其推论，根据平行公理及其推论即可求解，掌握平行公理及其推论是解题的关键． 【详解】解：由“画图操作”可得到的数学知识是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 由“观察发现”可得到的数学知识是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ∴可得到的数学知识分别是， 故选：． 【变式9-1】如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点P，C，Q在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式9-2】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【知识点】平行公理的应用、平行公理推论的应用、平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【变式9-3】．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【题型10 平行线的画法】 【例10-1】．如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键． （1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可； （2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可； （3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可； 【详解】（1） （2） （3） 【变式10-1】．如图，已知． (1)过点画，垂足为； (2)过点画，交于点． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了简单的作图和平行线的性质等知识点， （1）由垂线的作图方法进行作图，即可求出图形； （2）由角的作图方法和平行线的性质，即可求出图形； 熟练掌握作图步骤和平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如图所示： 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌ ∴即为所求； （2）如图所示： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E， ∴即为所求． 【变式10-2】．如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了作射线和平行线，根据相关作图步骤进行作图是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据平行线的做法和直线的定义，即可作图． 【详解】（1）解：如图所示：射线即为所求； （2）解：如图所示：直线即为所求； 【变式10-3】．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． (2)线段的长度是点___________到点__________的距离． (3)比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 【答案】(1)见解析 (2)C， (3)，垂线段最短 【知识点】垂线段最短、用直尺、三角板画平行线、画垂线、点到直线的距离 【分析】本题主要考查作图、平行线、垂线段最短、点到直线的距离等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可，②如图，取格点K，再画直线交于E即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求作； ②如图，直线即为所求作． （2）解：线段的长度是点C到直线的距离． 故答案为：C，． （3）解：．理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【题型11 平行线的判定】 【例11-1】．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】与余角、补角有关的计算、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式11-1】．如图，已知，，，与平行吗？ 【答案】，理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证． 【详解】解：，理由如下， 证明，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式11-2】．如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键；先证明，通过等量代换可证，再根据平行线的判定可证． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 【变式11-3】．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型12 平行线的性质】 【例12-1】．如图，，点E在上，连接，若平分，，则的度数为 ． 【答案】23 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键。 先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：23． 【变式12-1】．如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)108° 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线性质，是解题的关键 （1）根据，，得，即得； （2）根据，得，根据角平分线性质得， ，即得 【详解】（1），且， ， ； （2），， ， 又为的角平分线， ， ， （方法不唯一） 【变式12-2】．如图在中，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】此类题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟知平行线的性质．先求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式12-3】．如图，在四边形中，连接，，．求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，等量代换得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得证． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【题型13 平行线的判定、性质综合应用】 【例13-1】．图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【变式13-1】．如图，，点E是直线上的一点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连结，若，，则是否平分？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)平分，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定以、角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据、，求出，再根据得到，最后判断平行即可解答； （2）根据、得到，再根据得到即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下：   ∵， ∴（两直线平行， 同旁内角互补） ∵， ∴．      ∵， ∴，       ∴ （内错角相等，两直线平行）． （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴（两直线平行， 同旁内角互补）， ∵， ∴．     ∵， ∴， ∴平分． 【变式13-2】．如图，已知：中，D、E、F、G分别在、和上，连接、和，，． (1)判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，证明见详解 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）等量代换后可得，继而得到； （2）由平行线同旁内角互补，可得，根据平行线内错角相等可得，依据可进行求解． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式13-3】．如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键． （1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论； （2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 【题型14 平行线中的拐点问题】 【例14-1】．如图，已知，，，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式14-1】．如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 【变式14-2】．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式14-3】．已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）85 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质，通过平行线的性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． ①如图（1），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； ②如图（2），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案； ③根据题意得：，，由②结合得：，再由②的结论即可求解． 【详解】解：①如图（1）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ， ； ②如图（2）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ； ∴； ③∵，， ，， ∵，由②得， ∵， ∴， ∴， ∵，由①得， ∴． 故答案为：85． 【题型15 生活中的平移】 【例15-1】．在如图的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； B、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； C、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； D、图案能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式15-1】．小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案．下列选项中的图形，可以通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移变换、旋转、翻折变换的性质是解答此题的关键． 根据图形平移的性质和旋转、翻折的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确，符合题意； B、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； C、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误，不符合题意； D、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式15-2】．下列运动属于平移的是（    ） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【答案】D 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、空中放飞的风筝不是平移，不符合题意； B、乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式不是平移，不符合题意； C、篮球被运动员投出并进入篮筐的过程不是平移，不符合题意； D、茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行属于平移，符合题意； 故选D． 【变式15-3】．下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，根据平移的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、冷水加热过程中小气泡变成大气泡不属于平移，故不符合题意； B、乘电梯从一楼到十楼属于平移，故符合题意； C、随风飘动的树叶在空中的运动不属于平移，故不符合题意； D、钟表上走动的分针不属于平移，故不符合题意； 故选：B． 【题型16 平移的性质】 【例16-1】．如图，将沿射线方向平移得到，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据题意得出，再根据平移的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式16-1】．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 【变式16-2】．如图，△经过一次平移到△的位置，请回答下列问题： （1）点的对应点是点 ， ， ； （2）连接，那么平移的方向就是 的方向，平移的距离就是线段 的长度，可量出约为 cm； （3）连接、、，与线段相等的线段有 ． 【答案】 点到点的方向 2 、 【知识点】利用平移的性质求解 【详解】本题考查了平移的性质，熟记平移性质是解题的关键，是基础题，难度不大． （1）根据平移前后的三角形的对应顶点填写； （2）根据平移的性质进行解答； （3）根据平移的性质，对应点的连线相等进行解答． 【解答】解：（1）观察图形可知，点与点是对应点，与是对应角，与是对应边； 故答案为：，，； （2）根据对应点的连线就是平移的方向，线段的长度等于平移的距离， 故答案为：点到点的方向，，2； （3）对应点的连线都等于平移的距离，相等， 故答案为：、． 【变式16-3】．如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的基本性质是解题的关键．根据平移的性质，可得答案． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移2个单位， ∴， ∴，的高的高的高， ∴， 故答案为：6． 【题型17 平移的作图】 【例17-1】．如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可； （2）根据平移的性质进行判断． 【详解】（1）解：如图，△DEF为所作； ； （2）解：线段与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 【变式17-1】．如图所示，将平移，可以得到，点的对应点为点，请画出点的对应点、点的对应点的位置，并作出． 【答案】见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】本题主要考查图形的平移，平移前后的图形的对应点的连线平行且相等．连接，过、分别做的平行线，并且在平行线上截取，连接，，，得到的即为平移后的新图形． 【详解】解：如图 【变式17-2】．三角形的位置如图所示． (1)将三角形向右平移5 格得到三角形，请画出三角形； (2)将第（1）题中平移所得到的三角形向下平移4 格得到三角形，请画出三角形； (3)经（1），（2）两题两次平移后得到的图形，能通过将三角形经过一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程；如果你认为不可以，请简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)可以，将三角形沿斜下方平移，使点A落在位置 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】本题考查了作图——平移变换．确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点，、，依次连接即可； （2）利用网格特点和平移的性质画出，、的对应点，、，依次连接即可； （3）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求； （2）解：如图，三角形为所求； （3）解：可以，将三角形沿斜下方平移，使点A落在位置． 【变式17-3】．如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 (1)在图中画出平移后的 (2)画出点A到线段的垂线段； (3)若，与相交于点H，则______，______ 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)， 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点F，E，D即可； （2）根据垂线段的定义画出图形； （3）利用平行线的性质解决问题． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）线段即为所求； （3）由平移变换的性质可知，， ，， 平分， ， ， 故答案为：， 【题型18 命题、定理、证明】 【例18-1】．将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【知识点】写出命题的题设与结论、对顶角相等 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 【变式18-1】．张、王、李三人预测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果： 王说：“丁队得冠军，乙队得亚军”；李说：“甲队得亚军，丙队得第四”； 张说：“丙队得第三，丁队得亚军”． 赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 ． 【答案】丁 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查了学生的逻辑思维能力及推理论证能力，解题的关键是假设某种情况成立，然后进行推理论证即可．根据张、王、李三人对比赛的预测结果和他们都预测对了一半，通过假设他们其中一句是正确的，分析排除错误的判断，从而得到正确的结论． 【详解】解：因为三人都只猜对了一半， ①当王预测的丁队得冠军正确时候，则乙得亚军错误， 张预测的丁队得亚军错误，而其预测的丙对得第三正确， 则李预测的丙队得第四错误，甲队得亚军正确， 此时的正确排名是：丁、甲、丙、乙； ②当王预测的乙队得亚军正确时候，则丁队得冠军错误， 张预测的丁队得亚军错误，则丙队得第三正确， 李预测的丙对得第四错误，则甲队得亚军正确， 这与乙队得亚军矛盾，故这种假设错误． 故答案为：丁． 【变式18-2】．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假、根据给出的论断组命题并证明 【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可； （2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假． 【详解】解：（1）由，，得到； 由，，得到； 由，，得到； 故能组成3个命题． （2）由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，∴， ，． 由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，， ． 由，，得到，是真命题．理由如下： ∵，，． ，， ． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式18-3】．如图，直线和直线，直线和直线都被直线所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①，，②，③. 【答案】由①②得到③或由①③得到② 【知识点】根据平行线判定与性质证明、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】由①②得到③或由①③得到②：由于、，得到，又，则，可得到，即有．由①③得到②类似可证． 【详解】由①②得到③ 已知：如图，、，． 求证：． 证明：∵、， ∴， 又∵BE∥CF， ∴， ∴， ∴． 由①③得到② 已知：如图，、，． 求证：． 证明：∵、， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题称为定理，也考查了平行线的性质。 学科网（北京）股份有限公司 $$