七年级数学下册《相交线平行线》7.3 命题、定理、证明八大题型解题技巧-2024-2025学年七年级下册题型技巧培优系列（人教版）

2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 7.3 命题、定理、证明八大题型解题技巧 知识要点归纳 知识点1.命题 1. 判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出来的事项。一般形式是“如果.....，那么.....”的形式，如果后面的部分是题设，那么后面的就是结论。 2. 命题的分类 （1） 真命题：如果题设成立，那么结论也一定成立，这样的命题叫真命题。 （2） 假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 知识点2.定理、证明 1.定理：有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。 定理可以作为继续推理的依据。 2. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性是需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明。 3. 证明的一般步骤： （1） 分清命题的题设结论，结果与图形有关的，根据题意画出图形，并在图形上标出字母与符号。 （2） 根据题设、结论，结合图形写出已知求证。 （3） 经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程。 知识点3.假命题的证明 举反例，反例必须具备（1）符合命题题设（2）不符合命题的结论。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 判断是否命题】 【例1-1】．下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【例1-2】．下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【变式1-1】．下列语句：钝角大于；两点之间，线段最短；希望明天下雨；作；同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列语句中，是命题的是（    ） A．延长线段到 B．两点之间线段最短 C．画 D．等角的余角相等吗 【变式1-3】．下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 【题型2 判断命题真假】 【例2-1】．下列命题中，是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．两锐角之和一定是钝角 【例2-2】．给出下列命题：①数轴上的点与有理数一一对应；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；③两点之间，线段最短．其中是假命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】．给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【变式2-3】．给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 【题型3 举例区分定理、命题】 【例3-1】．下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【例3-2】．“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 【变式3-1】．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【变式3-2】．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式3-3】．下面关于定理的说法正确的是（　　） A．定理是真命题 B．定理的正确性不需要证明 C．定理可以作为推理论证的依据 D．定理的正确性需证明 【题型4 区分命题的题设、结论】 【例4-1】．“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 【例4-2】．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【变式4-1】．将命题“对顶角相等”用“如果…那么…”的形式可以改写为 ． 【例4-2】．给出命题：“如果，那么．” (1)写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． (2)请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 【变式4-3】．如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【题型5 指出命题的逆命题】 【例5-1】．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【例5-2】．下列说法中正确的是（    ） A．任何一个命题都有逆命题 B．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．任何一个定理都有逆定理 D．若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题 【变式5-1】．下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【变式5-2】．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【变式5-3】．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【题型6 推理与证明】 【例6-1】．如图，如果，那么，判断这个命题的真假．若是真命题，则写出推理的根据；若是假命题，则添加一个条件，使该命题成为真命题，并给予证明． 【例6-2】（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【变式6-1】．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【变式6-2】．已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 【变式6-3】．．（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【题型7 文字表述的命题的证明】 【例7-1】．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明． 【变式7-1】．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【变式7-2】已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系． (1)如图1，，，∠1与∠2的关系是______； 证明： (2)如图2，，，则∠1与∠2的关系是______； 证明： (3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______． 【变式7-3】．举出反例说明下列命题是假命题： （1）不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变； （2）一个数的绝对值大于这个数的本身； （3）一个锐角与一个钝角的和等于一个平角； （4）一个角的余角大于这个角． 【题型8 命题的有关应用】 【例8-1】．如图，给出三个论断：①；②；③，试回答下列问题： (1)请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果*，*，那么*）． (2)选择（1）中你写出的任一命题，说明它的正确性． 【例8-2】．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【变式8-1】．如图，直线和直线，直线和直线都被直线所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①，，②，③. 【变式8-2】．已知线段，线段，线段，小明认为，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？ 【变式8-3】．某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 7.3 命题、定理、证明八大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 知识点1.命题 1. 判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出来的事项。一般形式是“如果.....，那么.....”的形式，如果后面的部分是题设，那么后面的就是结论。 2. 命题的分类 （1） 真命题：如果题设成立，那么结论也一定成立，这样的命题叫真命题。 （2） 假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 知识点2.定理、证明 1.定理：有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。 定理可以作为继续推理的依据。 2. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性是需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明。 3. 证明的一般步骤： （1） 分清命题的题设结论，结果与图形有关的，根据题意画出图形，并在图形上标出字母与符号。 （2） 根据题设、结论，结合图形写出已知求证。 （3） 经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程。 知识点3.假命题的证明 举反例，反例必须具备（1）符合命题题设（2）不符合命题的结论。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 判断是否命题】 【例1-1】．下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解：、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段上取点C，使为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：． 【例1-2】．下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，是命题，故A不符合题意； B．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题，故B符合题意； C．两直线与第三条直线相交，同位角相等，是命题，故C不符合题意； D．不平行的两条直线有一个交点，是命题，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】．下列语句：钝角大于；两点之间，线段最短；希望明天下雨；作；同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义逐一进行判断即可，掌握判断一件事情的语句叫做命题是解题的关键． 【详解】解：钝角大于，是命题； 两点之间，线段最短，是命题； 希望明天下雨，不是命题； 作，不是命题； 同旁内角不互补，两直线不平行，是命题； 综上可知：是命题， 故选：． 【变式1-2】．下列语句中，是命题的是（    ） A．延长线段到 B．两点之间线段最短 C．画 D．等角的余角相等吗 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题．根据命题的定义解答即可． 【详解】解：A、延长线段到，不是命题； B、两点之间线段最短，是命题； C、画，不是命题； D、等角的余角相等吗，不是命题； 故选：B． 【变式1-3】．下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题，根据命题的概念逐项判断即可得出答案，熟练掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解此题的关键． 【详解】解：A、如果，那么，是命题，不符合题意； B、对顶角相等，是命题，不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，不符合题意； D、过一点作已知直线的垂线，不是命题，符合题意； 故选：D． 【题型2 判断命题真假】 【例2-1】．下列命题中，是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．两锐角之和一定是钝角 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、对顶角相等、两直线平行内错角相等、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题与定理，熟知各项性质是解答此题的关键．根据平行线的性质，平方根定义，对顶角性质，角的分类，分别作出判断即可． 【详解】解：A．两平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题不正确，不是真命题，故A不符合同意； B．对顶角相等，是真命题，故B符合同意； C．若，则，命题不正确，不是真命题，故C不符合同意； D．两锐角之和不一定是钝角，例如，角是锐角，原命题错误，不是真命题，故D不符合题意． 故选：B． 【例2-2】．给出下列命题：①数轴上的点与有理数一一对应；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；③两点之间，线段最短．其中是假命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】实数与数轴、两点之间线段最短、垂直于同一直线的两直线平行、判断命题真假 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别根据平行线的判定、数轴、两点之间线段最短对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①数轴上的点与实数一一对应，原命题是假命题； ②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ③两点之间，线段最短，是真命题； 综上分析可知，是假命题的有1个， 故选：B． 【变式2-1】．给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算、两直线平行同位角相等、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则的逆命题为：若，则，正确，是真命题，不符合题意； ②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意； ③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【知识点】点到直线的距离、平行公理的应用、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【分析】根据平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离的定义逐项判断即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离、命题，熟记各定义和性质是解题关键． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则此项是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题，符合题意； D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，则此项是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】．给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 【答案】①②/②① 【知识点】求一个角的补角、判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对①进行判断；根据有理数的性质对②进行判断；根据补角的定义对③进行判断． 【详解】解：直角都相等，所以①正确； 若且，则，所以②正确； 一个角的补角不一定大于这个角，所以③错误． 故答案为①②． 【题型3 举例区分定理、命题】 【例3-1】．下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【答案】B 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意； B、定理都是真命题，正确，符合题意； C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意； D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【例3-2】．“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】两点确定一条直线、定理与证明 【分析】根据定义、定理、基本事实的概念判断即可． 【详解】“过平面上两点，有且只有一条直线”属于基本事实． 故选：C． 【点睛】本题主要考查定义、定理、基本事实的区分，牢记定义、定理、基本事实的概念是解题的关键． 【变式3-1】．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【知识点】判断是否是命题、定理与证明 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 【变式3-2】．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【知识点】定理与证明 【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键． 【变式3-3】．下面关于定理的说法正确的是（　　） A．定理是真命题 B．定理的正确性不需要证明 C．定理可以作为推理论证的依据 D．定理的正确性需证明 【答案】ACD 【知识点】判断命题真假、定理与证明 【分析】利用定理的定义和基本事实的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、基本事实和定理都是真命题，正确，符合题意； B、基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明，故错误，不符合题意； C、基本事实和定理都可以作为推理论证的依据，正确，符合题意； D、基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明，正确，符合题意， 故选择ACD. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推论、论证得到的真命题称为定理，熟练掌握相关基本概念是解题的关键． 【题型4 区分命题的题设、结论】 【例4-1】．“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 【答案】 与都不为零 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的条件与结论，根据命题的结构特征进行解答，即可求解． 【详解】解：“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是，结论是与都不为零， 故答案为：，与都不为零． 【例4-2】．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 【变式4-1】．将命题“对顶角相等”用“如果…那么…”的形式可以改写为 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【知识点】写出命题的题设与结论、对顶角相等 【分析】本题考查命题的扩充改写，先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进行适当扩充即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【例4-2】．给出命题：“如果，那么．” (1)写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． (2)请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 【答案】(1)条件为：，结论为：；该命题是真命题； (2)逆命题是假命题，举例见解析 【知识点】写出命题的逆命题、写出命题的题设与结论、举例说明假（真）命题、判断命题真假 【分析】本题考查的真假命题的判断，逆命题的含义． （1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置并进行判断；再举出反例即可． 【详解】（1）解：命题“如果，那么．”的条件为：， 结论为：； 该命题是真命题； （2）解：此命题的逆命题为：如果，那么； 此命题的逆命题是假命题， 当为相反数时，它们的平方相等，但本身不相等， 如时，，而． 【变式4-3】．如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【题型5 指出命题的逆命题】 【例5-1】．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【知识点】互逆定理、判断命题真假、根据平行线判定与性质证明、对顶角相等 【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 【例5-2】．下列说法中正确的是（    ） A．任何一个命题都有逆命题 B．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．任何一个定理都有逆定理 D．若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题 【答案】A 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、互逆定理 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是掌握命题与逆命题，定理与逆定理的概念和它们的关系．根据命题与逆命题，定理与逆定理的概念逐项判断． 【详解】解：A、任何一个命题都有逆命题，故该选项正确； B、原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题，故该选项错误； C、不一定每个定理都有逆定理，故该选项错误； D、一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故该选项错误； 故选：A． 【变式5-1】．下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【知识点】互逆定理、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【知识点】互逆定理、写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【变式5-3】．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【知识点】互逆定理、写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 【题型6 推理与证明】 【例6-1】．如图，如果，那么，判断这个命题的真假．若是真命题，则写出推理的根据；若是假命题，则添加一个条件，使该命题成为真命题，并给予证明． 【答案】假命题，添加，证明见解析 【知识点】判断命题真假、根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．命题真假的判断， 注意同位角相等，两直线平行这一定理是解答本题的关键， 本题不是唯一答案， 给考生了一定发挥空间， 考生可按照自己掌握知识的熟练程度来解决问题． 根据平行线的性质添加条件再证明可得答案． 【详解】解：假命题，添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 【例6-2】（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【知识点】判断是否为互逆命题、判断命题真假、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【变式6-1】．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 【变式6-2】．已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 【答案】(1)①，；②见解析；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； (2)，或 【知识点】写出命题的题设与结论、根据平行线的性质探究角的关系、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，命题的形式；解题的关键是熟知平行线的性质． （1）①②根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同旁内角互补）进行推导与证明即可； ③根据题意找条件及结论即可． （2）根据垂直的定义可得或，根据题意可知，进而即可求解． 【详解】（1）解：①图1中与数量关系为； 图2中与数量关系为； 故答案为：，； ②选择图1：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）； 选择图2：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∴， ∵比的2倍少， ∴，则， ∴，则， 当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 综上：，或． 【变式6-3】．．（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）见解析；（2）两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行 【知识点】写出命题的逆命题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，证明，根据两直线平行，同位角相等证明即可； （2）根据平行线的判定和性质、互逆命题的概念解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题是两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行． 【题型7 文字表述的命题的证明】 【例7-1】．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】根据题意，写出已知、求证并根据同位角相等，两条直线平行即可得出结论． 【详解】已知：， 求证：． 证明：如图： ∵ ∴ ∴  (同位角相等，两直线平行) ． 【点睛】本题考查了同位角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 【例7-2】．求证:对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.) 【答案】证明见解析. 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【详解】试题分析：根据题设与结论画出符合条件的图形，根据图形写出已知、求证，然后进行证明即可. 试题解析：已知：如图，直线AB与CD交于点O． 求证：∠1＝∠2．已知:如图， 证明：∵AB、CD相交于O(已知)， ∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(邻补角的定义)， ∴∠1＝∠2(同角的补角相等). 【变式7-1】．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 【变式7-2】已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系． (1)如图1，，，∠1与∠2的关系是______； 证明： (2)如图2，，，则∠1与∠2的关系是______； 证明： (3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______． 【答案】(1)∠1＝∠2，证明见解析 (2)∠1＋∠2＝180°，证明见解析 (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【知识点】举例说明假（真）命题、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据平行线性质可得答案； （2）根据平行线性质，可得答案； （3）由（1）（2）可得一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 【详解】（1）∠1=∠2， 证明： 如图1： ∵， ∴∠1=∠3， ∵， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠2； 故答案为：∠1=∠2； （2）∠2+∠1=180°， 证明： 如图2： ∵， ∴∠1=∠4， ∵， ∴∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠1=180°； 故答案为：∠2+∠1=180°； （3）由（1）（2）可得： 一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 故答案为：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． 【变式7-3】．举出反例说明下列命题是假命题： （1）不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变； （2）一个数的绝对值大于这个数的本身； （3）一个锐角与一个钝角的和等于一个平角； （4）一个角的余角大于这个角． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析； 【知识点】举例说明假（真）命题、举反例 【分析】（1）根据不等式的性质，两边同时乘以一个负数即可进行判断； （2）根据正数的绝对值等于它本身举例； （3）只要举出不互补的一个锐角与一个钝角即可； （4）在大于45°的范围内举例即可. 【详解】解：（1）如：，两边同时乘以，则，不等号的方向改变； （2）如：5的绝对值等于5，但5不大于5本身； （3）如：锐角等于，钝角等于，但它们的和就等于； （4）如：一个角是，它的余角是，但. 【点睛】本题考查了利用举反例的方法说明一个命题是假命题，属于基础知识，掌握方法、正确举出反例是解题的关键. 【题型8 命题的有关应用】 【例8-1】．如图，给出三个论断：①；②；③，试回答下列问题： (1)请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果*，*，那么*）． (2)选择（1）中你写出的任一命题，说明它的正确性． 【答案】(1)如果①，②，那么③；如果②，③，那么①；如果①，③，那么② (2)见解析 【详解】解：（1）如果①，②，那么③；如果②，③，那么①；如果①，③，那么②． （2）命题一：如果①，②，那么③．说明如下： 因为，所以．因为，所以． （2）命题一：如果①，②，那么③．说明如下： 因为，所以．因为，所以． 命题三：如果①，③，那么②．说明如下： 因为，所以，即．因为，所以，，所以． 以上3个命题，任写一个即可． 【例8-2】．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【变式8-1】．如图，直线和直线，直线和直线都被直线所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①，，②，③. 【答案】由①②得到③或由①③得到② 【分析】由①②得到③或由①③得到②：由于、，得到，又，则，可得到，即有．由①③得到②类似可证． 【详解】由①②得到③ 已知：如图，、，． 求证：． 证明：∵、， ∴， 又∵BE∥CF， ∴， ∴， ∴． 由①③得到② 已知：如图，、，． 求证：． 证明：∵、， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题称为定理，也考查了平行线的性质。 【变式8-2】．已知线段，线段，线段，小明认为，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？ 【答案】都不对，见解析. 【分析】根据点C在线段AB上与在线段AB外两种情况进行讨论． 【详解】解：都不对.理由如下： 当点C在AB之间时，如图1所示， ∵AB=6，BC=2， ∴AC=AB-BC=6-2=4，即t=4． 当点C在AB外时，如图2所示， ∵AB=6，BC=2， ∴AC=AB+BC=6+2=8，即t=8． 综上所述，t=4或t=8． 故他们的说法都不对. 【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【变式8-3】．某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 【答案】参观团只能去C、D两地 【分析】本题主要考查了逻辑推理，由②可知，当去E时，则由⑤可知必须去A、D，则由①④可知必须去B、C，则与③矛盾，则不去E，一定要去D，再由④可知，要去D，由③可知不去B，由①可知不去A，据此可得答案． 【详解】解：由②D、E两地至少去一处可知，若去E地，则由⑤知，必须去A、D两地，由①和④知必须去B、C两地，但与③矛盾， ∴不能去E地， ∴必须去D地 ∴由④知必须去C地，再由③知，不能去B地， ∴由①知也不能去A地，由⑤知也不能去E地， 故该参观团只能去C、D两地． 学科网（北京）股份有限公司 $$