第02讲 一元一次不等式（五类知识点+十三大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第02讲 一元一次不等式（十三大题型） 学习目标 1．了解不等式的解、解集及其表示的方法； 2．知道一元一次不等式的概念； 3. 掌握一元一次不等式的解法； 4. 会解一元一次不等式的应用. 知识点1 不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点2 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点3 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点4 一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 知识点5 列一元一次不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点：(1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． 【即学即练1】下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【解析】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； C选项，的解集是，解不等式得，故正确； D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． 【即学即练2】下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【解析】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 【即学即练3】在数轴上正确表示不等式的解集的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提．求出不等式的解集，再在数轴上将解集表示出来即可． 【解析】解：， ， ， ， 将在数轴上表示为： ． 故选：A． 【即学即练4】不等式的非正整数解有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再求出满足要求的非正整数解即可． 【解析】解： ， ， ∴不等式的非正整数解有：，，0一共3个． 故答案为：3． 【即学即练5】关于x的方程解为负数，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，能得出关于a的不等式是解此题的关键． 根据解方程，可得x的值，根据方程的解是负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【解析】解：由，解得， 由关于x的方程解为负数，得． 解得， 故答案为：． 题型1：不等式的解 不等式的解集 【典例1】．如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得出是不等式的解，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴是不等式的解，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式解的意义． 【变式1-1】．在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据各数的大小即可做出判断． 【解析】在四个数中，， 故满足不等式的有， 故选：B 【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键． 【变式1-2】．下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【解析】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； C选项，的解集是，解不等式得，故正确； D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式1-3】．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 【解析】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 题型2:不等式解集的表示 【典例2】．把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【解析】试题分析： 将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析： （1）将表示在数轴上为： （2）将表示在数轴上为： （3）将表示在数轴上为： （4）将表示在数轴上为： 点睛：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“或（）时”，数轴上表示数“”的点用“空心圆圈”，“（或）时”，数轴上表示数“”的点用“实心圆点”. 【变式2-1】．下列各数中，能使不等式成立的是（　　） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据不等式解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，把x的值代入检验就可以作出判断． 【解析】详解：当时，，故不正确； 当时，，故正确； 当时，，故不正确； 当时，，故不正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式解的定义，是一个基础的题目，利用代入法即可求解． 【变式2-2】．不等式的非负整数解的个数是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先根据x＜4不等式，写出非负整数解，注意：非负整数是指正整数和零，不要把零忘记了． 【解析】不等式x＜4的非负整数解有3，2，1，0，共4个．故选A． 【点睛】本题是一道有关非负整数的题目，解题的关键掌握非负整数的概念； 【变式2-3】．在－4，－2，－1，0，，1.5，2中，哪些数能使不等式x－1>－2成立？ 【答案】0，，1.5，2能使不等式x－1>－2成立． 【分析】（1）解法一：将各数分别代入不等式即可得解.解法二：利用不等式的基本性质解不等式得x>－1，已知中的数有0，，1.5，2均大于-1 【解析】将各数分别代入不等式，可知0，，1.5，2能使不等式x－1>－2成立． 【点睛】此题考查了不等式的解，熟练掌握不等式解的意义是解本题的关键． 题型3:一元一次不等式的概念 【典例3】．下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据“含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是1的不等式是一元一次不等式．”逐项判断即可． 【解析】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、变形得：，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是等式，不是一元一次不等式，不符合题意； D、，含未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意． 故选：A． 【变式3-1】．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【解析】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 【变式3-2】．下列各式是一元一次不等式的有 个． ，，，，， 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．利用一元一次不等式的定义进行判断即可． 【解析】解：是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是等式，不是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 故是一元一次不等式的有个， 故答案为：． 【变式3-3】．给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 【答案】②④ 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元一次不等式． 【解析】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意； ②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意； ③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意； ④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意； ⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意． 故答案为：②④ 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 题型4:根据一元一次不等式的概念求参数 【典例4】．若是一元一次不等式，则 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义可知，从而可求出n的值． 【解析】解：是一元一次不等式， ， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的特点是解题的关键． 【变式4-1】．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 【变式4-2】．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【解析】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次列式求解即可得到答案． 【解析】解：是关于的一元一次不等式， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题的关键． 题型5:一元一次不等式的解法 【典例5】．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；数轴表示见详解 【分析】（1）-（8）根据解不等式的步骤：先去分母，然后去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【解析】解： （1）， 解得：；解集在数轴上表示如下： （2）， 移项得：， 化简得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （3）， 去分母得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （4）， 移项得：， 合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下： （5）， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （6）， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （7）， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下： （8）， 移项合并同类项得：， 系数化为1解得：．解集在数轴上表示如下： 【点睛】题目主要考查解不等式的步骤及解法、在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 【变式5-1】．解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）移项合并同类项进行计算即可； （2）先去分母再移项合并同类项进行计算即可． 【解析】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式5-2】．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【答案】(1)，在数轴上表示解集见解析； (2)，在数轴上表示解集见解析； (3)，在数轴上表示解集见解析； (4)，在数轴上表示解集见解析； (5)，在数轴上表示解集见解析． 【分析】（1）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可； （2）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可； （3）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可； （4）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可； （5）根据不等式的性质求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法将解集表示出来即可． 【解析】（1）解： ， ， 解得：； 在数轴上表示解集为： （2）解： ， ， 解得：； 在数轴上表示解集为： （3）解： 解得：， 在数轴上表示解集为： （4）解： 解得：， 在数轴上表示解集为： （5）解： ， 解得：， 在数轴上表示解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 【变式5-3】．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．先把不等式的分母化为整数，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可． 【解析】解：， 整理，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型6:判断数轴上的解集表示、辨析解法步骤 【典例6】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．  B．  C．    D．   【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集是解题的关键．先解一元一次不等式，然后在数轴上表示解集，进行判断即可． 【解析】解：， 解得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示：    故选：B． 【变式6-1】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】先解出一元一次不等式，再把解集表示在数轴上． 【解析】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， ∴； 解集在数轴上表示如下：    故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式以及数轴上的表示，解题的关键是准确的计算，求出不等式的解集． 【变式6-2】．下列解不等式的步骤中，错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项、合并同类项，得 D．系数化为1，得 【答案】D 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，然后与各选项比较即可． 【解析】 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 【变式6-3】．下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；任务二：，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二． 【解析】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，这一步错误的原因是：不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：该不等式的解集为：，用数轴表示如下： 题型7：不等式的基本性质在不等式的解集中的应用 【典例7】．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边同除以或乘以一个负数不等号方向发生改变，得出，求出即可． 【解析】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式7-1】．如果关于的不等式的解集是，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的取值方法求参数，根据“不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”，由此即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【解析】解：∵的解集为， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式7-2】．若关于x的不等式的解集为 ，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】关键不等式的性质，解答即可． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【解析】关于x的不等式的解集为 ， 故， 解得， 故答案为：． 【变式7-3】．当 时，不等式的解集是． 【答案】/小于3 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等号方向改变，根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案，得出未知数的系数小于0是解题的关键． 【解析】解：关于的不等式的解集为， ， ， 故答案为：． 题型8:根据解集写出不等式；根据解集求参数 【典例8】．写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解集，解题的关键是理解一元一次不等式解集的定义．根据题意写出符合要求的不等式即可． 【解析】解集为的一元一次不等式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式8-1】．请写出一个解集为的一元一次不等式 （未知数的系数不能为1）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知解集写出不等式即可． 【解析】解：根据题意得， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元一次不等式解的定义，熟练掌握运算步骤是解本题的关键． 【变式8-2】．已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【解析】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 【变式8-3】．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【解析】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 题型9:一元一次不等式的整数解及求参问题 【典例9】．求不等式的正整数解． 【答案】不等式的正整数解为1，2 【解析】解：， ， ， ， 所以此不等式的正整数解为1，2． 【变式9-1】．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【解析】解： 不等式的负整数有，，，，共四个， 故选：C． 【变式9-2】．若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最大整数解，代入得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【解析】解：解不等式，得， 不等式的最大整数解是1， 将代入，得， 解得， 故答案为：1． 【变式9-3】．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解； 首先求出不等式的解集，得出这三个正整数解分别是1，2，3，进而可得m的取值范围． 【解析】解：解不等式得：， ∵关于x的不等式只有3个正整数解， ∴这三个正整数解分别是1，2，3， ∴， 故答案为：． 题型10:一元一次不等式的代数应用 【典例10】．当取何值时，的值不大于？ 【答案】当的值时，的值不大于． 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据题意，列出不等式，进行求解即可．解题的关键是正确的列出不等式． 【解析】解：由题意得， 去分母得 解得， 所以当的值时，的值不大于． 【变式10-1】．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次不等式，解方程得，由解为正数知，解之即可得出答案． 【解析】解：解方程得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， 解得， 故选：D． 【变式10-2】．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得 关于x的方程的解是非负数 解得: 故选:B 【变式10-3】．若关于x的方程的解大于的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先求出一元一次方程以及一元一次不等式，然后再根据题意列出不等式，求解不等式即可得出答案． 【解析】解： ， ， ∵的解大于的解， ∴， 解得：． 题型11:一元一次不等式在数轴的应用 【典例11】．数轴上的点P位于原点的左侧，与点P对应的实数用代数式表示．那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴、解不等式，先根据数轴上，原点左侧的数都小于0列不等式，然后解不等式即可求解． 【解析】解：∵数轴上的点P位于原点的左侧，与点P对应的实数用代数式表示， ∴，解得， 故选：D． 【变式11-1】．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和点A表示的数即可求出m的值； （2）首先根据题意表示出，然后根据三等分点的特点表示出，最后利用求不等式即可． 【解析】（1）∵， ∴， 即m的值为； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【点睛】此题综合考查了数轴的有关内容及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握以上知识点 【变式11-2】．如图，在数轴上，点分别表示数1、，则数轴上表示数的点应落在 ．（填“点的左边”、“线段上”或“点的右边”）    【答案】线段上 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，利用作差法，可得点在B点的左边． 【解析】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：−2x+3>1， 解得x<1； −x>−1， 两边同时加上2，得：−x+2>−1+2， 解得−x+2>1， ∴数轴上表示数−x+2的点在A点的右边， 根据作差法，得： −2x+3−(−x+2)=−x+1， 由x<1，得：−x>−1， −x+1>0， −2x+3−(−x+2)>0， ∴−2x+3>−x+2， ∴数轴上表示数−x+2的点在B点的左边， ∴数轴上表示数−x+2的点应落在线段AB上， 故答案为：线段AB上； 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的性质，数轴上数的大小，掌握一元一次不等式的性质及数轴上数的大小是解题的关键． 【变式11-3】．如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【解析】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 题型12:一元一次不等式的实际应用 【典例12】．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系，列出不等式．设答对道题，答错或不答的题目为道，根据选手要得到70分以上（含70分），列出不等式，解不等式即可． 【解析】解：设答对道题，答错或不答的题目为道，根据题意，得： ， 解得， ∴至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）． 故选：A． 【变式12-1】．老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设老师买了x副圆规，根据“老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生”即可列出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 【解析】解：设老师买了x副圆规， 由题意得：， 故答案为：． 【变式12-2】．小华想利用暑假去太原植物园，了解热带雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小华在网上了解到该植物园的票价是每人50元，15人及以上按团体票，可享五折优惠．小华现有500元的活动经费，且每人往返车费共3元，则至多可以去多少人？ 【答案】至多可以去17人 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设可以去人，根据计费规则以及总费用不高于500元列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【解析】解：设可以去人， 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的最大值为17． 答：至多可以去17人． 【变式12-3】．为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解析】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 题型13:一元一次不等式的其他应用及难点分析 【典例13】．如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次不等式、解一元一次方程，先分别解一元一次不等式，再根据不等式的解集相同可得，即可求解． 【解析】解：， 解得， ， 解得， ∵关于x的不等式的解集与的解集相同， ∴， 解得， 故答案为：2． 【变式13-1】．若关于x 的方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次不等式，先解方程得，即可得，再求解即可． 【解析】解：， 去分母得，， 去括号得，， ∴， ∵原方程的解是负数， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式13-2】．已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝ 时，n取得最小值 ． 【答案】 72 5 【分析】先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值． 【解析】解：移项得，， ∵m、n为正整数， ∴， ∴m≥67.5， 若n取得最小值，则与75无限接近且m为正整数， ∴当m＝72时，n最小＝5， 故答案为：72；5． 【点睛】本题考查了二元一次方程分正整数解，解一元一次不等式等知识，根据题意得到关于m的不等式并根据正整数解的定义确定m的值是解题关键． 【变式13-3】．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案． 【解析】 ①②得： ∴ 将代入②得： ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 【变式13-4】．已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝ 时，n取得最小值 ． 【答案】 72 5 【分析】先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值． 【解析】解：移项得，， ∵m、n为正整数， ∴， ∴m≥67.5， 若n取得最小值，则与75无限接近且m为正整数， ∴当m＝72时，n最小＝5， 故答案为：72；5． 【点睛】本题考查了二元一次方程分正整数解，解一元一次不等式等知识，根据题意得到关于m的不等式并根据正整数解的定义确定m的值是解题关键． 一、单选题 1．下列不等式中，是一元一次不等式的有(   )个． ①x＞﹣3；②xy≥1；③x2＜3；④ ﹣≤1；⑤＞1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【解析】解：根据一元一次不等式的定义，①x＞﹣3，④ ﹣≤1是一元一次不等式，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式应满足的条件是解答的关键． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【解析】解：∵， 在数轴上表示如图 故选B． 【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键． 3．解不等式时，去分母步骤正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边都乘以6即可得解. 【解析】解:不等式两边都乘以6得， 故选: D. 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质: (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变; (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变; . (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变. 4．下列说法中，错误的是（    ） A．不等式的正整数解有一个 B．不等式的整数解有无数个 C．－2是不等式的一个解 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】解出不等式即可判断C，D，根据不等式的整数解，即可判断A，B． 【解析】解：A，不等式的正整数解只有1，故选项正确，不符合题意； B，不等式的整数解有无数个，故选项正确，不符合题意； C，不等式的解集是，所以－2是不等式的一个解，故选项正确，不符合题意； D，不等式的解集是，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的求解，不等式的整数解，解题的关键是：会解不等式，理解不等式的整数解． 5．与不等式的解集相同的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断． 【解析】由，解得：， A、由，解得：，故符合题意； B、由，解得：，故不符合题意； C、由，解得：，故不符合题意； D、由，解得：，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是关键． 6．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0 【答案】C 【分析】根据不等式的解法，给左右两边同时除以（a－1），且a－1≠0，根据不等式的解集为x＜1发现，不等号的方向发生了改变，由此可知a－1小于0，进而可以推出a的取值范围． 【解析】解：要解此不等式要在不等号的两边同时除以（a－1）且a≠1，不等号右边变为1， ∵不等号的方向发生了改变， ∴a－1＜0，解得a＜1， 故选C. 【点睛】本题考查解一元一次不等式，能够熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 7．不等式4（x－1）＜3x－2的正整数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】去括号、移项、合并同类项，然后系数化成1即可求得不等式组的解集，然后确定正整数解即可． 【解析】解：去括号，得：4x-4＜3x-2， 移项，得：4x-3x＜4-2， 合并同类项，得：x＜2， 则正整数解是：1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 8．已知关于的不等式与的解集相同，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，对应即可得出答案． 【解析】解：， 解得， ， 解得， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是根据两不等式解集相同得出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练的运用解不等式的知识解出不等式是关键． 9．初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要3.2元，洗一张相片需要1.4元，在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足2元，那么参加合影的同学人数（    ） A．至多6人 B．至多5人 C．至少6人 D．至少5人 【答案】C 【分析】本题可设参加合影的人数为x，根据平均每人分摊的钱不足2元，列出不等式，解出x即可． 【解析】解：设参加合影的人数为x， 则有：1.4x＋3.2＜2x −0.6x＜−3.2 x＞ 所以至少6人． 故选：C． 【点睛】本题考查的是不等式的运用，解此类题目时常常是先设出未知数，再根据题意列出不等式、求解． 10．关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是(      ) A．a＜－4 B．a＞5 C．a＞－5 D．a＜－5 【答案】B 【分析】先解关于x的方程，再根据方程的解是负数，即可得到关于a的不等式，解出即可得到结果． 【解析】解：由5－a(1－x)＝8x－(3－a)x，解得， ， ， 解得a＞5， 故选B． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程及解一元一次不等式，解答本题的关键是先解关于x的方程，用含a的代数式表示x． 二、填空题 11．已知不等式是一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义列方程求解即可． 【解析】解：不等式是一元一次不等式 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，涉及到解绝对值方程，根据含义列出方程是解题的关键． 12．如果，则的取值范围是 ；不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，可得a的取值范围；根据解不等式，可得答案． 【解析】， ， ， ， 即，则的取值范围是； ， ， ， 不等式的解集是． 故答案为： 【点睛】本题考查了不等式的解集，解题关键是利用不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 13．的值不大于的值，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可． 【解析】解：由题意，得： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是理解不大于即小于或等于． 14．已知等腰三角形的周长为，则这个等腰三角形的腰长x的范围是 ． 【答案】 【分析】设等腰三角形的底边长为ycm，根据三角形三边的不等关系及周长，可得关于x的不等式，解不等式即可． 【解析】设等腰三角形的底边长为ycm， 由已知得，， ∴， 解得：x>3， ∵y=12-2x>0， ∴x<6 ∴ 故答案为： 【点睛】本题是一元一次不等式的简单应用，考查了三角形三边的不等关系、等腰三角形的定义，解一元一次不等式，关键是清楚三角形三边的不等关系及实际问题中三角形的边长为正这个隐含条件． 15．某种商品的价格在第一季度上升了10%，在第二季度下降了，但并不低于原价，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设某种商品的原价为1，则该商品在第一季度及第二季度的价格均可表示出来，根据不等关系：第二季度的价格≥原价，列出不等式并解不等式即可． 【解析】设某种商品的原价为1，则该商品在第一季度的价格为：1+10%，在第二季度的价格为(1+10%)[1－(a－5)%] 由题意，得：(1+10%)[1－(a－5)%]≥1 解得： ∵a>5 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是把两个季度的实际价格表示出来，并找出不等关系． 16．当 时，代数式的值是非负数． 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式解不等式即可． 【解析】依题意 去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得： 化系数为1，得： 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 17．已知关于的不等式的正整数解有个，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式整数解的个数得出关于某个字母的不等式组是解题的关键．解出不等式求出的范围，根据不等式有且只有个正整数解列出关于不等式，解之可得答案． 【解析】解：， ， ， 不等式有个正整数解，则最大的正整数解一定是． ， 解得：， 故答案为：． 18．若关于x，y的方程组的解使4x＋7y＞2成立，则k的取值范围是 ． 【答案】k＞3 【分析】将第一个方程×2－第二个方程，得到4x+7y=2k-2-2，然后代入4x+7y＞2，解关于k的一元一次不等式即可． 【解析】 由①×2﹣②得：4x+7y=2k-2-2，∴2k-2-2＞2，∴2k＞6，解得：k＞3． 故答案为k＞3． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法．利用整体法求解是解答本题的关键． 三、解答题 19．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；数轴表示见详解 【分析】（1）-（8）根据解不等式的步骤：先去分母，然后去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【解析】解： （1）， 解得：；解集在数轴上表示如下： （2）， 移项得：， 化简得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （3）， 去分母得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （4）， 移项得：， 合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下： （5）， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （6）， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （7）， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下： （8）， 移项合并同类项得：， 系数化为1解得：．解集在数轴上表示如下： 【点睛】题目主要考查解不等式的步骤及解法、在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 20．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)x-1＞2x； (2)-x>1；   (3)-≤1. 【答案】（1）x＜-2（2）x＞2（3）x≥-2 【分析】(1)直接移项合并同类项进行计算求解，注意未知数的系数是负数的符号要变号,解出后在数轴上表示出来（2）先去分母，再移项合并同类项进行计算，结果在数轴上表示（3）先去分母，然后移项合并同类项进行计算求解，结果在数轴上表示出来. 【解析】(1)移项，得x-2x>1. 合并，得-x＞1. 系数化为1，得x＜-2. 其解集在数轴上表示为：   (2)去分母，得5x-1-3x>3. 移项，得2x>4. 系数化为1，得x>2. 把不等式的解集在数轴上表示为：   (3)去分母，得2(2x-1)-(9x+2)≤6. 去括号，得4x-2-9x-2≤6. 移项，得4x-9x≤6+2+2. 合并同类项，得-5x≤10. 系数化为1，得x≥-2. 把不等式的解集在数轴上表示为： 【点睛】此题重点考查学生对解不等式的应用能力，去分母，合并同类项是解题的关键. 21．下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；任务二：，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二． 【解析】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，这一步错误的原因是：不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：该不等式的解集为：，用数轴表示如下： 22．若满足代数式的值与代数式的值相等，且求的取值范围． 【答案】 【分析】先根据题意求出x的值，再将x代入不等式求出的取值范围即可． 【解析】解:由题意，得 解得 将代入得 解得 所以的取值范围是 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式的问题，掌握解一元一次方程和一元一次不等式的方法是解题的关键． 23．已知不等式的最小整数解为方程的解，求的值． 【答案】3.5 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法．先求不等式的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程，从而可以得到的值． 【解析】解： 解得，， 不等式的最小整数解为， ， 解得． 24．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或90分以上），求这个队至少要答对多少道题？ 【答案】这个队至少答对13道题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，利用得分答对题目数答错或放弃题目数，结合得分不低于90分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解析】解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题， 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为13， ∴这个队至少答对13道题． 25．老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔教不超过老李养兔数的．一年前老张至少买了多少只种兔？ 【答案】一年前老张至少买了8只种兔． 【分析】设一年前老张至少买了只种兔，根据题意列出不等式方程即可． 【解析】设一年前老张至少买了只种兔， 根据题意可得：， 整理得： ， 解得：， 答：一年前老张至少买了8只种兔． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式． 26．某工程队计划在10天内修路8千米，施工前2天修完千米后，计划发生改变，准备至少提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【答案】以后几天内平均至少要修路千米． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，不等关系式：千米后天所修的长度千米，据此列不等式，即可求解；找出不等关系式是解题的关键． 【解析】解：设以后平均每天修路x千米，由题意得， ， 解得：； 答：以后几天内平均至少要修路千米． 27．【探究归纳】 解不等式：（1）；（2）．总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集 的解集的“子集”（填是或不是）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 【答案】(1)是 (2)1或2或3 【分析】本题考查了解一元一次不等式，理解题中新定义是解答的关键． （1）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义判断即可； （2）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义得到关于a的不等式，然后解不等式得到a的取值范围，进而可求解． 【解析】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∴的解集是解集的“子集”， 故答案为：是； （2）解：解不等式，得， 解不等式，得． 关于的不等式的解集是的解集的“子集”， ，解得． 是正整数， 的值为1或2或3． 28．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． (1)填空：34、48的“翠屏数”分别是________、________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； (3)若一个两位数为x，它的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，若，直接写出符合条件的x的值． 【答案】(1)43，84 (2)见解析 (3)81或82或91或92或93 【分析】本题考查了因式分解的应用、解一元一次不等式、理解“翠屏数”的定义，并按照定义分析是解题的关键． （1）由 “翠屏数”的定义可得答案； （2）由题意可得：这个两位数是，它“翠屏数”是，从而可得，再证明即可； （3）根据题意可得：，从而可转化为：， 即，再由为正整数求解即可． 【解析】（1）由“翠屏数”的定义可得，34、48的“翠屏数”分别是43，84； 故答案为：43，84； （2）一个两位数，它的个位数字为a，十位数字为b， 这个两位数是，它“翠屏数”是， ， 为正整数， 能被11整除， 这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）x的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y， ， ， 可转化为：， 即， 为正整数， 或或或或， 符合条件的x的值为81或82或91或92或93 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元一次不等式（十三大题型） 学习目标 1．了解不等式的解、解集及其表示的方法； 2．知道一元一次不等式的概念； 3. 掌握一元一次不等式的解法； 4. 会解一元一次不等式的应用. 知识点1 不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点2 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点3 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点4 一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 知识点5 列一元一次不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点：(1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． 【即学即练1】下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 【即学即练2】下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【即学即练3】在数轴上正确表示不等式的解集的是（　　） A．B．C．D． 【即学即练4】不等式的非正整数解有 个． 【即学即练5】关于x的方程解为负数，则实数a的取值范围是 题型1：不等式的解 不等式的解集 【典例1】．如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 【变式1-2】．下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 【变式1-3】．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 题型2:不等式解集的表示 【典例2】．把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－. 【变式2-1】．下列各数中，能使不等式成立的是（　　） A．1 B．2 C．0 D． 【变式2-2】．不等式的非负整数解的个数是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】．在－4，－2，－1，0，，1.5，2中，哪些数能使不等式x－1>－2成立？ 题型3:一元一次不等式的概念 【典例3】．下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式3-2】．下列各式是一元一次不等式的有 个． ，，，，， 【变式3-3】．给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 题型4:根据一元一次不等式的概念求参数 【典例4】．若是一元一次不等式，则 ． 【变式4-1】．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【变式4-2】．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式4-3】．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 题型5:一元一次不等式的解法 【典例5】．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6）； （7）； （8）． 【变式5-1】．解下列不等式： (1) (2) 【变式5-2】．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【变式5-3】．解不等式： 题型6:判断数轴上的解集表示、辨析解法步骤 【典例6】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．     D．   【变式6-1】．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A．  B．  C．  D．   【变式6-2】．下列解不等式的步骤中，错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项、合并同类项，得 D．系数化为1，得 【变式6-3】．下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型7：不等式的基本性质在不等式的解集中的应用 【典例7】．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 【变式7-1】．如果关于的不等式的解集是，则的取值范围是 【变式7-2】．若关于x的不等式的解集为 ，则m的取值范围是 ． 【变式7-3】．当 时，不等式的解集是． 题型8:根据解集写出不等式；根据解集求参数 【典例8】．写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【变式8-1】．请写出一个解集为的一元一次不等式 （未知数的系数不能为1）． 【变式8-2】．已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【变式8-3】．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 题型9:一元一次不等式的整数解及求参问题 【典例9】．求不等式的正整数解． 【变式9-1】．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【变式9-2】．若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 【变式9-3】．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 题型10:一元一次不等式的代数应用 【典例10】．当取何值时，的值不大于？ 【变式10-1】．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】．若关于x的方程的解大于的解，求a的取值范围． 题型11:一元一次不等式在数轴的应用 【典例11】．数轴上的点P位于原点的左侧，与点P对应的实数用代数式表示．那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围． 【变式11-2】．如图，在数轴上，点分别表示数1、，则数轴上表示数的点应落在 ．（填“点的左边”、“线段上”或“点的右边”）    【变式11-3】．如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 题型12:一元一次不等式的实际应用 【典例12】．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 【变式12-1】．老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 【变式12-2】．小华想利用暑假去太原植物园，了解热带雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小华在网上了解到该植物园的票价是每人50元，15人及以上按团体票，可享五折优惠．小华现有500元的活动经费，且每人往返车费共3元，则至多可以去多少人？ 【变式12-3】．为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 题型十13:一元一次不等式的其他应用及难点分析 【典例13】．如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则 ． 【变式13-1】．若关于x 的方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【变式13-2】．已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝ 时，n取得最小值 ． 【变式13-3】．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式13-4】．已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝ 时，n取得最小值 ． 一、单选题 1．下列不等式中，是一元一次不等式的有(   )个． ①x＞﹣3；②xy≥1；③x2＜3；④ ﹣≤1；⑤＞1． A．1 B．2 C．3 D．4 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．解不等式时，去分母步骤正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法中，错误的是（    ） A．不等式的正整数解有一个 B．不等式的整数解有无数个 C．－2是不等式的一个解 D．不等式的解集是 5．与不等式的解集相同的不等式是（    ） A． B． C． D． 6．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0 7．不等式4（x－1）＜3x－2的正整数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知关于的不等式与的解集相同，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 9．初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要3.2元，洗一张相片需要1.4元，在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足2元，那么参加合影的同学人数（    ） A．至多6人 B．至多5人 C．至少6人 D．至少5人 10．关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是(      ) A．a＜－4 B．a＞5 C．a＞－5 D．a＜－5 二、填空题 11．已知不等式是一元一次不等式，则 ． 12．如果，则的取值范围是 ；不等式的解集是 ． 13．的值不大于的值，的取值范围是 ． 14．已知等腰三角形的周长为，则这个等腰三角形的腰长x的范围是 ． 15．某种商品的价格在第一季度上升了10%，在第二季度下降了，但并不低于原价，则的取值范围是 ． 16．当 时，代数式的值是非负数． 17．已知关于的不等式的正整数解有个，则的取值范围是 ． 18．若关于x，y的方程组的解使4x＋7y＞2成立，则k的取值范围是 ． 三、解答题 19．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6）； （7）； （8）． 20．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)x-1＞2x； (2)-x>1；   (3)-≤1. 21．下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 22．若满足代数式的值与代数式的值相等，且求的取值范围． 23．已知不等式的最小整数解为方程的解，求的值． 24．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或90分以上），求这个队至少要答对多少道题？ 25．老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔教不超过老李养兔数的．一年前老张至少买了多少只种兔？ 26．某工程队计划在10天内修路8千米，施工前2天修完千米后，计划发生改变，准备至少提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 27．【探究归纳】 解不等式：（1）；（2）．总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集 的解集的“子集”（填是或不是）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 28．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． (1)填空：34、48的“翠屏数”分别是________、________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； (3)若一个两位数为x，它的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，若，直接写出符合条件的x的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$