第1章 整式的乘法 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

整式乘法单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．计算a6•a2的结果是（　　） A．a12 B．a8 C．a4 D．a3 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则：am•an="a"m+n（m，n是正整数）求解即可求得答案． 【详解】a6•a2=a8． 故选B． 2．下列运算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．a3+a3＝a6 C．a3•a3＝a6 D．a2•a3＝a6 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可判断出A，C，D的正误,再根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变可判断出B的正误． 【详解】解：A、a3•a3＝a6，故此选项错误； B、a3+a3＝2a3，故此选项错误； C、a3•a3＝a3+3＝a6，故此选项正确； D、a2•a3＝a2+3＝a5，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法和合并同类项法则，熟记法则是解题关键． 3．在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可． 【详解】解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 即：， 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示两个图形中阴影部分的面积是正确解答的关键． 4．已知，，则的值为（    ） A． B．12 C．18 D．2 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则的逆用计算，，即可选择． 【详解】由于，， 所以 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题关键． 5．若，则内应填的式子是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据题意得出= ，利用分式的性质求解即可． 【详解】根据题意得出= 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 6．要使方程x(x2＋a)＋3x－2b＝x3＋5x＋4成立，则a，b的值分别是(    ) A．2，2 B．－2，－2 C．2，－2 D．－2，2 【答案】C 【分析】先将等式左边去括号合并同类项，再根据多项式相等的条件即可求出a与b的值． 【详解】∵x(x2＋a)＋3x－2b＝x3+（a+3）x+4=x3+5x+4， ∴a+3＝5，−2b＝4， 解得： a＝2，b＝−2． 故选C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，用到的知识点有去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 7．下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】将4个算式进行变形，看那个算式符合（a+b）（a﹣b）的形式，由此即可得出结论． 【详解】解：①（x﹣2y）（2y+x）=（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2； ②（x﹣2y）（﹣x﹣2y）=﹣（x﹣2y）（x+2y）=4y2﹣x2； ③（﹣x﹣2y）（x+2y）=﹣（x+2y）（x+2y）=﹣（x+2y）2； ④（x﹣2y）（﹣x+2y）=﹣（x﹣2y）（x﹣2y）=﹣（x﹣2y）2； ∴能用平方差公式计算的是①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是将四个算式进行变形，再与平方差公式进行比对．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记平分差公式是解题的关键． 8．方程5(2x＋5)2＋(3x－4)(－3x－4)＝11x2＋50x＋41的解是（    ） A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．原方程无解 【答案】B 【分析】首先把方程整理成一般形式，再进一步解方程即可． 【详解】整理得：50x+100＝0，解得：x=－2． 故选B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和解一元一次方程的方法． 9．实数 满足 ，则 的值是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则， ，根据完全平方公式变形即可得到结论． 【详解】解：设，， ∴， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 10．杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术年一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律．观察下列各式及其展开式：；请你猜想展开式的第三项的系数是（    ） A．36 B．45 C．55 D．66 【答案】B 【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）10的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2； （a+b）4的第三项系数为6=1+2+3； （a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4； 不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1）， ∴（a+b）10展开式的第三项的系数是1+2+3+…+9=45． 故选：B． 【点睛】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11． ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式进行填空即可求解． 【详解】解：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 12．若，则 ． 【答案】27 【分析】根据幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，掌握幂的乘方法则是解题的关键． 13．已知，则= . 【答案】5 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则和等量代换即可解答. 【详解】解：∵， ∴ ∴. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握是解题的关键. 14．若a2＋ab＝15，b2＋ab＝6，则a2－b2＝ ． 【答案】9 【分析】单独方程不能求出a和b的值，可整体相减求出结果． 【详解】∵a2+ab＝15，b2+ab＝6 两式相减得：a2+ab﹣b2﹣ab＝15﹣6＝9 即a2﹣b2＝9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了代数式求值，关键是用整体相减的方法． 15．如图，现有若干张卡片，分别是正方形卡片A、B和长方形卡片C，卡片大小如图所示．如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片 张． 【答案】10 【分析】首先根据题意将所要拼成的长方形的面积计算出来，然后进一步根据正方形卡片A、B、C的各自的面积加以分析判断即可. 【详解】由题意得： 长为，宽为的长方形的面积为：， ∵A类卡片面积为，B类卡片面积为，C类卡片面积为， ∴需要A类卡片3张，B类卡片3张，C类卡片10张， 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 16．已知（x2+mx+n）与（x﹣2）的乘积中，不含x的一次项和x的二次项，则m﹣n的值为 ． 【答案】 【分析】根据多项式与多项式相乘法的法则进行计算得，再根据题意与的乘积中，不含x的一次项和x的二次项，令，求出m，n的值进行解答即可得． 【详解】解： = = 因为与的乘积中，不含x的一次项和x的二次项， ∴， 解得 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则． 17．若等式对一切实数都成立，则 ， ． 【答案】 【分析】由等式的一次项系数相同，常数项相同据此可列两个等式，将两式分别相加，相减即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ①②得， 解得； ①②得， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了多项式的定义，找准系数及常数项是解题的关键． 18．观察下列等式： 39×41＝402－12，48×52＝502－22，56×64＝602－42，65×75＝702－52，83×97＝902－72，…请你把发现的规律用字母表示出来：m×n＝ . 【答案】 【分析】观察可以发现，40，1；50，2；60，4∴m•n＝（）2﹣（）2． 【详解】∵40，1； ∴39×41＝402﹣12＝（）2﹣（）2； 同理50，2；60，4 ∴48×52＝502﹣22＝（）2﹣（）2； 　56×64＝602﹣42＝（）2﹣（）2… ∴m•n＝（）2﹣（）2． 故答案为（）2﹣（）2． 【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）计算： (1)(－x)·x2(－x)6； (2)(－2x2)3＋x2·x4－(－3x3)2. 【答案】 (1)－x9；(2)－16x6. 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； （2）先算积的乘方、同底数幂的乘法，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）（﹣x）•x2•（﹣x）6 ＝﹣x1+2+6 ＝﹣x9； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2 ＝﹣8x6+x6﹣9x6 ＝﹣16x6． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记公式是解题的关键． 20．（6分）（1）若，，则的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）50；（2）2 【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案； （2）利用完全平方公式将原式变形得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， ， ∴． 解得：． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及完全平方公式，正确将原式变形是解题关键． 21．（8分）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；(2)2ab+b2． 【分析】去括号时，括号外面是正号，则去掉括号后，括号里的各项不改变符号，去括号时，括号外面是负号，则去掉括号后，括号里的各项要改变符号；根据上述法则判断哪一步错误，再正确的去掉括号，合并同类项即可. 【详解】解：(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号； (2)原式=a2+2ab-(a2-b2) =a2+2ab-a2+b2 =2ab+b2． 故答案为(1)第二步，去括号时没有变号；(2)2ab+b2． 【点睛】本题主要考查整式的运算，解题关键要掌握去括号法则； 22．（8分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[说理]记．试说明：； (3)[应用]若，求的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义规定即可解答； （2）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； （3）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，幂的乘方的运算法则，读懂题意理解新定义规定是解题的关键． 23．（9分）南山植物园中现有A，B两个园区．已知A园区为长方形，长为(x＋y)米，宽为(x－y)米；B园区为正方形，边长为(x＋3y)米． (1)请用代数式表示A，B两园区的面积之和并化简． (2)现根据实际需要对A园区进行整改，长增加(11x－y)米，宽减少(x－2y)米，整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米． ①求x，y的值； ②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C，D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表： C D 投入(元/米2) 12 16 收益(元/米2) 18 26 求整改后A，B两园区旅游的净收益之和．(净收益＝收益－投入) 【答案】（1）2x2+6xy+8y2；（2）①②57600元； 【分析】（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A、B两园区的面积，再相加即可求解； （2）①根据等量关系：整改后A区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980米；列出方程组求出x，y的值； ②代入数值得到整改后A、B两园区的面积之和，再根据净收益=收益﹣投入，列式计算即可求解． 【详解】解：（1）A，B两园区的面积之和：（x+y）（x﹣y）+（x+3y）（x+3y） =x2﹣y2+x2+6xy+9y2 =2x2+6xy+8y2（平方米） 答：A、B两园区的面积之和为（2x2+6xy+8y2）平方米； （2）①整改后的长为：（x+y）+（11x﹣y） =x+y+11x﹣y =12x（米）， 整改后的宽为：（x﹣y）﹣（x﹣2y） =x﹣y﹣x+2y =y（米）， 依题意有： ， 解得． ②由题意得：12xy=12×30×10=3600（平方米）， （x+3y）（x+3y） =x2+6xy+9y2 =900+1800+900 =3600（平方米）， （18﹣12）×3600+（26﹣16）×3600 =6×3600+10×3600 =57600（元）． 答：整改后A、B两园区旅游的净收益之和为57600元． 【点睛】考点：整式的混合运算． 24．（9分）我们规定：，例如． (1)试求和的值； (2)判断与（的值均不相等）的值是否相等？请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据，分别代入a、b的值，再根据同底数幂的乘法计算即可； （2）根据分别计算与，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ； （2）∵， ∴， ， ∵的值均不相等， ∴． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法运算和新定义运算的含义，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 25．（10分）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1 即S=22014﹣1 即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）． 【答案】（1）211﹣1 （2）1+3+32+33+34+…+3n=． 【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值． （2）同理即可得到所求式子的值． 【详解】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210， 将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211， 将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1， 则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1． （2）设S=1+3+32+33+34+…+3n， 两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1， 下式减去上式得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=， 则1+3+32+33+34+…+3n=． 26.（10分）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：把一根铁丝截成两段， 探究1：小明截成了两根长度不同的铁丝，并用两根不同长度的铁丝分别围成两个正方形，已知两正方形的边长和为20cm，它们的面积的差为40cm2，则这两个正方形的边长差为 ． 探究2：小红截成了两根长度相同的铁丝，并用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形，若长方形的长为x cm，宽为y cm， （1）用含x、y的代数式表示正方形的边长为 ； （2）设长方形的长大于宽，比较正方形与长方形面积哪个大，并说明理由． 【答案】探究1：2cm；探究2：（1）；（2）正方形的面积大于长方形的面积． 【分析】探究一：根据平方差公式进行解答； 探究二：（1）根据正方形周长与边长的关系，即可解答； （2）作差进行比较，即可解答． 【详解】解：探究1：设两个正方形的边长分别为a，b，则a＋b＝20， a2－b2＝40 （a＋b）（a－b）＝40 20（a－b）＝40， a－b＝2（cm）， 故答案为2cm． 探究二： （1）；故答案为. （2）()2－xy＝ ∵x＞y， ∴＞0， ∴()2＞xy， ∴正方形的面积大于长方形的面积． 【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式，解题关键是读懂题意. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 整式乘法单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．计算a6•a2的结果是（　　） A．a12 B．a8 C．a4 D．a3 2．下列运算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．a3+a3＝a6 C．a3•a3＝a6 D．a2•a3＝a6 3．在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（    ） A． B．12 C．18 D．2 5．若，则内应填的式子是（   ） A． B． C．3 D． 6．要使方程x(x2＋a)＋3x－2b＝x3＋5x＋4成立，则a，b的值分别是(    ) A．2，2 B．－2，－2 C．2，－2 D．－2，2 7．下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 8．方程5(2x＋5)2＋(3x－4)(－3x－4)＝11x2＋50x＋41的解是（    ） A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．原方程无解 9．实数 满足 ，则 的值是 （   ） A． B． C． D． 10．杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术年一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律．观察下列各式及其展开式：；请你猜想展开式的第三项的系数是（    ） A．36 B．45 C．55 D．66 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11． ． 12．若，则 ． 13．已知，则= . 14．若a2＋ab＝15，b2＋ab＝6，则a2－b2＝ ． 15．如图，现有若干张卡片，分别是正方形卡片A、B和长方形卡片C，卡片大小如图所示．如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片 张． 16．已知（x2+mx+n）与（x﹣2）的乘积中，不含x的一次项和x的二次项，则m﹣n的值为 ． 17．若等式对一切实数都成立，则 ， ． 18．观察下列等式： 39×41＝402－12，48×52＝502－22，56×64＝602－42，65×75＝702－52，83×97＝902－72，…请你把发现的规律用字母表示出来：m×n＝ . 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）计算： (1)(－x)·x2(－x)6； (2)(－2x2)3＋x2·x4－(－3x3)2. 20．（6分）（1）若，，则的值． （2）已知，，求的值． 21．（8分）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 22．（8分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[说理]记．试说明：； (3)[应用]若，求的值． 23．（9分）南山植物园中现有A，B两个园区．已知A园区为长方形，长为(x＋y)米，宽为(x－y)米；B园区为正方形，边长为(x＋3y)米． (1)请用代数式表示A，B两园区的面积之和并化简． (2)现根据实际需要对A园区进行整改，长增加(11x－y)米，宽减少(x－2y)米，整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米． ①求x，y的值； ②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C，D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表： C D 投入(元/米2) 12 16 收益(元/米2) 18 26 求整改后A，B两园区旅游的净收益之和．(净收益＝收益－投入) 24．（9分）我们规定：，例如． (1)试求和的值； (2)判断与（的值均不相等）的值是否相等？请说明理由． 25．（10分）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1 即S=22014﹣1 即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）． 26.（10分）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：把一根铁丝截成两段， 探究1：小明截成了两根长度不同的铁丝，并用两根不同长度的铁丝分别围成两个正方形，已知两正方形的边长和为20cm，它们的面积的差为40cm2，则这两个正方形的边长差为 ． 探究2：小红截成了两根长度相同的铁丝，并用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形，若长方形的长为x cm，宽为y cm， （1）用含x、y的代数式表示正方形的边长为 ； （2）设长方形的长大于宽，比较正方形与长方形面积哪个大，并说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$